《路面設計原理與方法》 第四講 水泥砼路面應力分析

第四講水泥混凝土路面應力分析一早期荷載應力計算（COLDER1920年）計算公式假定地基脫空，板是懸臂變截面梁，由此推導出計算公式。MPAIYHAH213322二地基假定溫克勒地基彈性半空間地基三計算公式基本假定形變分量Z極其微小，可以不計，Z；2理論分析從板上割取長和寬各為和高為得單元，根據(jù)單元的平衡條件（；），可導出當板表面作用豎向荷載，地基對板的作用反力，板中面的撓曲微分方程為22W由溫克勒地基假定，（，）W（，）得22WW經(jīng)過假定，提出了應力分析的理論公式。3荷載位置4應力計算【】荷載作用于板中（荷位）板底最大應力ICCLBPHLEHK10267312234G,【】荷載作用于板邊（荷位）ECL15408952【】荷載作用于板角（荷位）圖61路面板與地基脫開CRLPH3120625半徑的修正在彈性薄板假定中，忽略了豎向應力的影響，并假定任何垂直于中面的直線在彎曲以后仍然為直線。如果作用在面板上的力不出現(xiàn)集中現(xiàn)象，荷載半徑與厚度相差并不大，則以上的假定是符合實際的假如出現(xiàn)集中現(xiàn)象，同相比，小于某一限度，則以上的假定不再符合實際。應按照厚板理論進行計算。由此采用當量半徑取代實際半徑。和的關系按下式確定當時，當時，RHBR618）6阿靈頓試驗路年美國在阿靈頓（）進行了混凝土路面足尺試驗，通過試驗，對應力計算公式進行了修正。【】荷載作用于板中（荷位）認為實測應力小于計算值，和提出了應力修正公式。當，時，板底最大應力修正公式L（619）ILBPH0316401782LG當L5，時，板底最大應力修正公式。L（620）I632L由計算結果可知，修正結果比沒有修正的結果小928【】荷載作用于板邊（荷位）在沒有翹曲的情況下，對于常用的輪印，實測應力與理論計算結果很一致；假如值較大，則實測應力大于理論計算結果；假如較小，則實測應力小于理論計算結果，但差異很小。在白天有翹曲的情況下，對于常用的輪印，實測應力略大于理論計算結果；在夜晚有翹曲的情況下，對于常用的輪印，實測應力明顯大于理論計算結果。提出了修正。當時L（621）2LGL45720HPBLE由計算結果可知，凱利結果比沒有修正的結果大【】荷載作用于板角（荷位）提出的修正公式相當于將地基的反應模量減少為原有的四分之一。（622）CRLH31062通過觀測，在白天有翹曲的情況下，對于常用的輪印，板與地基保持接觸，實測應力與理論計算結果一致；在夜晚有向上翹曲的情況下，對于常用的輪印，實測應力明顯大于理論計算結果，且大于公式的計算結果，提出了修正公式。（623）CRLPH31212圖64半徑修正四彈性半空間地基剛性路面應力分析基本假定形變分量Z極其微小，可以不計，Z；彈性曲面微分方程22DEHC321公式推導利用亨格爾變換方法，可以推導理論解。亨格爾變換000420RDJFRFRDJPWDEQDRJDRJRPQWD為式公移位直垂的基地而）（得，換變爾格亨求程方分微面曲性彈對000001212DLRJPER0322041）（）（）（）（261120PPAJAJHLCC載荷中集載荷布均MPAJLRJRDRC13001RLIMJC當時因12MPAJALDR3貝塞爾函數(shù)的計算計算方法同前彈性半空間地基板路面計算程序（）（）程序（）數(shù)據(jù)文件CP03DAT1,4,4,350000,500,015,035,150,0,20,200,40,0,4020,20,20,2040,40,40,405000,5000,5000,500015,15,15,1548（）計算結果CP03OUT五多層地基板及有限尺寸板多層地基板了解層狀地基與板的分析方法有限尺寸板剛性指數(shù)SERH板的剛性半徑3103絕對剛性板有限剛性板絕對柔性板六混凝土路面荷載應力的有限元分析概述彈性力學問題的解法理論法有限差分法有限元法變分法有限元法的發(fā)展張佑啟和監(jiān)克維奇年首先分析彈性地基板，分析了剛性路面出現(xiàn)翹曲的情況，分析了剛性路面的溫度應力和接縫混凝土路面姚祖康、鄧學鈞和王秉綱等都分析了剛性路面的應力1基本理論利用彈性曲面微分方程，可以得出板中彎矩與撓度的關系為MEHWXYDCC（）322211022WXY式中DEHCC321012（）由此可知，只要知道板的位移表達式，可以得出板中的彎矩。2矩形薄板單元的位移模式由于道路與機場的水泥混凝土路面板采用矩形分塊，因此在有限元分析中，采用矩形單元較為合適。此外，采用矩形單元可以較好地反映彈性薄板位移分布的非線性性質。一塊連續(xù)的薄板被離散化，分割為若干個單元之后，單元各結點相互連接。由于相鄰單元之間有法向力和力矩傳遞，所以結點必然要滿足剛性連接的要求。即對于幾個單元共有的結點，它的廣義位移，對于每個單元都是相等的，所承受的廣義結點力也相等。單元的編號順序與結點的編號順序是任意的，但是必須保證計算分析時，計算機程序結構緊湊，總剛度矩陣帶寬較窄，少占機器內存。由于薄板的位移、形變、應力、內力等都可以單一地用撓度W來表示，因此，薄板單元中的位移模式問題，就是撓度W取什么樣的函數(shù)坐標X和Y的函數(shù)的問題。如取彈性地基板的單元為矩形薄板單元，一個矩形薄板單元在四個角點上各有三個自由度，故撓度W的表達式含有12個參數(shù)，現(xiàn)取如下的位移模式矩形薄板單元節(jié)點位移的正向及其相應的節(jié)點力，轉角的正向以右手螺旋規(guī)則決定。圖68單元結點力與結點位移由幾何關系有及，因此在節(jié)點I，它的位移可以表示為XWYX（642）IIIYIXIXWYI如果已知各結點的位移，則可以解出系數(shù)與結點位移的關系式，回代后得（643）WNE將式（643）代入式（640）得（644）22XYBE將式（644）代入式（639）得（645）MDE3單元剛度矩陣（虛功原理）根據(jù)虛位移原理，如果在一組外荷載作用下，彈性體是處于平衡狀態(tài)的，當其受到一附加微小的與約束條件相適應的虛位移即經(jīng)過虛位移后，結構仍為一連續(xù)體，同時力系在虛位移過程中始終保持平衡，則外荷載在虛位移上的虛功，就等于整個彈性體內應力在虛應變上的虛功。（646）TTFDXYZ將虛位移原理應用于矩形薄板單元，其虛功方程為（647）EM因BMDE（648）則FDXYKETEE（649）BT式（649）為單元剛度矩陣4地基剛度矩陣矩形薄板剛度矩求得后，還要和矩形薄板地基剛度矩陣相加，才能得到彈性地基矩形薄板剛度矩陣。剛性路面的力學分析通常采用溫克勒地基和彈性半空間地基兩種模式，下面分別推導這兩種地基模式的地基剛度矩陣。（1）溫克勒地基設單元IJLK角點發(fā)生虛位移，則650YKXYLXYJXYIXKLJITWW圖69地基反力與相應的虛位移此時，節(jié)點力E在虛位移上的虛功為（）TE，板中某微分面積DXDY的內力在虛應變上的虛功為（）TEDXDY，板底某微分面積上的地基反力在虛位移上的虛功為WPDXDYKWWDXDY（651）以上各式中，P為單位面積上的地基反力，K為地基反應模量，其余符號同前。因此，虛功方程為（652）ETEBATBATFWKDXYMDXY0因WNNBDBEE代入可得（653）FDDXYKDXYETTE0也可簡寫為（654）KESEABBABAABBBAAS022222222263459189345016033949854216930545對稱ABBAAA222222168316489345301601054對溫克勒地基的處理，還可以采用一種簡化的方法，即在薄板劃分成單元之后，把每個結點范圍內的地基當作為彈性支柱，并且以結點處的撓度作為彈性支柱的壓縮量。地基反力來自于假定的彈性支柱，其反力施加于四個結點（655）QKABWEIJLIJLK04在求解方程時，將地基反力作為一種結點力，施加于單元結點，可得到（656）FKEEE將式655代入，整理后可得圖69單元的結點沉降與結點反力（657）FKKABWEEIJLK04將式中等號右邊第二項也寫成線點位移與剛度矩陣的形式KKABSE對稱101000由此可見，在形成包括薄板與地基在內的總剛度矩陣時，只需在薄板剛度矩陣的主對角元與豎向位移W相關的元素項加上K0AB/4即可。這種處理方法比較簡單，對于邊界不受約束的彈性地基板，在撓度比較均勻的情況下，不致產(chǎn)生過大的誤差，但是對于地基支承不均勻，特別是邊界受約束的彈性地基板，則誤差較大。（2）彈性半空間地基將彈性半空間地基上薄板的假定用于剛性路面應力的有限元分析，其地基剛度矩陣的建立，可以采用布辛尼斯克公式。假定在結點I四周的地基反力是均勻分布的，由該反力荷載引起的任意點的撓度可寫為（658）WPABEDXYNII1402022當即荷載中心時，XY,（659）FII式中ABABABI1110222LNLN（660）PNIIN式中FEDINI02NI為點離點的距離由于彈性半空間體表面各結點處的力對各點的垂直位移都有影響，可以運用矩陣運算，即NNNNPFFW2121212（661）WFPS則（662）KNSS1得可，中陣矩剛總到加迭陣矩度剛基地將NSK（663）3NF此時，地基剛度矩陣的形式為（664）NSSSSSSSSSSKK34434241332312211000005荷載矩陣矩形薄板單元上，與各個節(jié)點位移相應的節(jié)點荷載，可用列陣表示為（665）RZZEIJLKTXYIXYJXYLXYKTT如一矩形單元在Z方向作用有分布荷載QX,Y，則傳給各節(jié)點的荷載為（666）NQDE,下面來推導荷載向節(jié)點移置的表達式659。設有法向集中荷載P作用在矩形單元I、J、L、K上的任意點X,Y。假想該單元發(fā)生虛位移，其中X,Y點相應的虛位移為FEWE而節(jié)點的相應虛位移為E。按照靜力等效的原則，即節(jié)點荷載與原荷載在上述虛位移上的虛功相等，可得（667）TTRFP式中P為點X,Y處的集中荷載。因FE代入得（668）TEETN根據(jù)矩陣乘積的逆序法則，上式可化為（669）EEERP由于矩陣（ET是任意的，等式兩邊與它相乘的矩陣應當相等，于是得（670）ET當單元體上沿法向作用分布荷載QX,Y單元面積荷載時，（671）NQXYDE,式671與式665在形式上是一致的。七有限元程序分析（）八接縫地基板上述有限元分析方法適用于具有自由板邊邊界的單個板塊，實際上水泥混凝土路板，無論是機場跑道，還是道路路面，邊緣都有一定程度的約束，因而具有一定的傳遞荷載的能力。根據(jù)路面板各種接縫的實際工作情況，可以分三種情況對它們的力學特性進行分析。1采用傳力桿的接縫當采用傳力桿傳遞剪力時，沿接縫處，中心板的撓度與邊板的撓度是不同的，撓度之差WD是由于傳力桿的剪切變形S和傳力桿下混凝土的變形C引起，如圖310所示。B邊板C中心板WDC傳力桿接縫處的撓度之差示意圖中心板與邊板的撓度差WDS2C式中C混凝土板在傳力桿的壓迫下產(chǎn)生的變形，M；S傳力桿本身產(chǎn)生的剪切變形，M。計算傳力桿下混凝土的變形，可以假定傳力桿為一根梁，而混凝土為一彈性地基，得中心板與邊板之間的撓度差為SPDGAEIDKBI2434式中P被傳遞的荷載，MN；E傳力桿鋼材的彈性模量，MPA；I傳力桿的慣性矩，M；為插入混凝土內傳力桿的相對剛度，1M；D接縫寬度，M。A傳力桿的截面積，M2；G傳力桿的剪切模量，MPA。B傳力桿直徑，M；K混凝土的反應模量，MPAM；傳力桿本身的剪切變形S可近似地按材料力學的剪切變形計算公式計算由于P是從受荷板由傳力桿傳遞給未受荷板的剪力，WD為兩板之間撓度差，定義傳力桿系數(shù)CW為CPDGAEIWD123對給定的傳力桿和混凝土面板，CW為一常數(shù)。2企口縫或依靠骨料鎖結傳遞荷載企口縫傳遞荷載或依靠骨料鎖結傳遞荷載都是以界面混凝土直接接觸來完成的，因此，影響因素甚多，目前一般采用兩種形式表示。（1）彈簧常數(shù)分配法由沿接縫處單位長度上的剪力P與接縫兩側差的撓度差WD之比表示CSUD式中CS彈性常數(shù)。（2）剪切傳遞效率法假定沿縫兩側的每一對結點之間的撓度比值為一常數(shù)，即E21式中W2未受荷板邊撓度W1受荷板邊撓度。接縫處荷載傳遞與位移傳遞的關系確定之后，即可以用于接縫混凝土路面的應力分析計算。3接縫混凝土路面的應力分析31直接法計算接縫混凝土路面應力的基本原理根據(jù)有限元理論，對圖兩板系統(tǒng)，結點力與結點位移之間的平衡方程為21435678圖分析模型由于接縫邊界條件的處理僅與撓度項有關，故下式只列出了與撓度有關的項KKWWFQ1233414567785812345612F78式中Q1、Q2為接縫處傳遞的剪力，與撓度差WD及傳力桿系數(shù)CW或彈簧系數(shù)CS有關CWWD35246將Q1、Q2代入平衡方程式，并將此剪力項疊加到總剛度矩陣中，則平衡方程可轉化為KCKCWWW12314432516276788123456F78由上式可知，對接縫混凝土路面板，只要在總剛度矩陣中對有關項的剛度系數(shù)進行一定的處理，就可生成接縫混凝土路面板的總剛度矩陣。生成板的總剛度矩陣后，另外一個問題是地基剛度矩陣的疊加。對溫克勒地基模型，仍按前述方法，以單元為單位疊加到總剛度矩陣中去。對彈性半空間地基板，則要進行適當?shù)奶幚?。在形成板的剛度矩陣時，將接縫看成縫寬為零的虛設單元，也就是將兩塊板分開計算，然后將傳力桿系數(shù)疊加到適當?shù)奈恢?，在劃分地基單元時，如果單元劃分采用與板單元一相同的方法，則在接縫兩側的地基就要被分割開來。考慮到地基單元各結點是相互關聯(lián)的，按上述方法建立的地基柔度矩陣中與接縫相應結點相關聯(lián)的元素無疑會發(fā)生錯誤。為避免這種錯誤，在地基處理時，先將接縫不予考慮，即認為結點3、4與結點5、6為同一點，在這種情況下可求得地基剛度矩陣KS。但為了使地基單元劃分與板單元劃分一致，并可疊加到總剛度矩陣中去，必須將地基剛度矩陣沿接縫處分割開來，使得KS擴展與板的剛度矩陣一致的KS。這就要求對與接縫有關結點的地基剛度矩陣的元素作一定修改，修改的準則是使修改前后地基對板的影響等效。圖中左邊數(shù)字是節(jié)點號，下三角中的數(shù)字表示對原地基剛度矩陣的修改系數(shù)。4直接法計算接縫混凝土路面應力分析程序塊JCPNLFOR程序生成總剛度矩陣的方法和原先一致，只是在輸入數(shù)據(jù)時只要將接縫看成是寬度為零的虛設單元，當生成板的總剛度矩陣后，利用以下修正方法。九、壓縮系數(shù)法進行接縫有限元分析如圖五塊板體系。假定四塊邊板不受荷載作用，荷載通過接縫處的某種剪力傳遞形式，由中心板傳至邊板。假定每塊板的尺寸相同，并且劃分為相同的矩形單元。為了敘述方便，每塊板分為4個單元、9個結點。采用位移法，每塊板的平衡條件可以表達如下KP式中板和地基的綜合剛度矩陣；位移向量；P力向量。對所示的板體，K是一個2727的對稱矩陣。為了分析中心板，必須得知邊板跨越接縫傳來的力?？芍刂恳粭l縫的力可以用沿著該接縫的位移來表達。求式的逆得到P式中F1為板和地基的綜合柔度矩陣，由所示的板體可得FFFFPMWXYY121312732791,以中心板與左側邊板之間的接縫為例，假如除了跨越接縫傳來的剪力P1、P2、P3之外，沒有任何其它外加荷載施加于左側邊板，則所有的力向量元素除P1、P2、P3之外全部為零。則公式380壓縮為一個33的矩陣FFPW12133213,式也可寫成通式PW求式的逆得邊板傳給中心板的垂直力向量為W下面分兩種情況敘述壓縮法計算路面應力的有限元法。一企口縫或骨料鎖結當使用企口縫或骨料鎖結傳遞剪力時，剪力傳遞效率可以按下式確定WEW將式代入可得PEKW在已知接縫傳遞的剪力之后，中心板的平衡條件可以表達如下KPEKW或KCP式中C為組合矩陣，其值只要在矩陣中將接縫結點I的垂直力與同一接縫上節(jié)點J的垂直位移相關聯(lián)的元素加上EKIJ修正項就可得到。二傳力桿由式可知，傳力桿系數(shù)WDWW則WWWD假定C1CW，則有DC將式合并得321321,1,32,PCWF經(jīng)整理后可得CFF21133213,上式可簡寫成W則中心板的平衡方程為PW可簡寫成CP綜合剛度矩陣C的生成與式相類似，只是壓縮柔度矩陣有所不同。十多層地基板的有限元分析原理目前，國內外都在混凝土路面板下修筑一定厚度的基層，特別是高等級混凝土路面，通常都采用強度、剛度較高，穩(wěn)定性較好的多層基層結構，從而保證基層具有足夠的擴散荷載的能力，防止土基部分的不均勻沉陷和塑性變形累積。而目前采用的水泥混凝土路面有限元分析方法一般采用溫克勒地基板或彈性半空間地基板。在此首先介紹多層地基混凝土路面板的有限元分析方法。從以上彈性半空間地基板的荷載應力分析中可知，地基類型的差異，實際上就表現(xiàn)在柔度系數(shù)的計算方法上。對彈性半空間地基板，結點對自身的影響系數(shù)FNI，采用均布荷載下的彈性半空間理論公式，而對其它點的影響系數(shù)FII則采用布辛尼斯克公式。當采用多層體系基層時，必須采用其它的計算方法獲得柔度系數(shù)值。當柔度系數(shù)求得后，可采用彈性半空間地基板類似的方法求地基剛度矩陣及總剛度矩陣的疊加。對多層地基結構，問題的關鍵是層狀地基頂面的作用力與其位移的關系不是布辛尼斯克公式所表示的那樣簡單，而必須采用波米斯特彈性層狀體系理論。由于彈性地基各結點的相互影響，層狀體系的求解又比較費時，如果在形成多層地基的柔度矩陣時，對其中每一元素都要用一次多層體系求解方法是不現(xiàn)實的，且在實際應用中也是不必要的。這里采用一種新的方法，即將層狀體系理論和回歸分析相結合的方法。類似于彈性半空間地基板的有限元分析，而板對層狀地基的作用等效轉化為N個以結點為中心的圓形均布垂直荷載，圓形荷載的半徑由該結點四周單元的尺寸決定。當多層地基結構確定后，各結點地基頂面的彎沉與單元的大小及對應的距離有關。因此這里采用的方法分二步第一步對每一種單元類別，用層狀體系計算對自身的柔度系數(shù)FII。在單元剛度形成過程中只要判斷該單元屬哪一種類別，就可采用對應的柔度系數(shù)FII值。第二步荷載作用點對其它點的影響在彈性半空間地基板有限元分析過程中采用布辛尼斯克公式。而層狀體系理論采用另外一種計算表示，對某一種固定荷載面積的多層地基結構，沿徑向各點的撓度僅與距離R有關。在彈性半空間體分析中采用集中荷載，這里假定荷載為一半徑很小的圓形均布荷載，其荷載總值為1，即R2Q1，然后選定一組徑向距離，計算各點的撓度WRI。當獲得各點的撓度之后，再用回歸分析法建立撓度與徑間距離之間的函數(shù)關系WR?；貧w結果表示，回歸結果計算值與實際計算值WRI在荷載中心處誤差較大，而在荷載中心以外影響很小，但由于荷載中心處的撓度值直接采用層狀體系計算公式，因此回歸結果完全可用于FNI的計算?；貧w分析過程，回歸的相關系數(shù)均大于0998，這表示回歸精度相當高。解決了柔度系數(shù)的求解難題