抽象函數(shù)-題型大全(例題-含答案)

1、高考抽象函數(shù)技巧總結由于函數(shù)概念比較抽象，學生對解有關函數(shù)記號的問題感到困難，學好這部分知識，能加深學生對函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質，培養(yǎng)靈活性；提高解題能力，優(yōu)化學生數(shù)學思維素質。現(xiàn)將常見解法及意義總結如下：一、求表達式：1.換元法：即用中間變量表示原自變量的代數(shù)式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學生的靈活性及變形能力。例1：已知 ,求.解：設,則2.湊合法：在已知的條件下，把并湊成以表示的代數(shù)式，再利用代換即可求.此解法簡潔，還能進一步復習代換法。 例2：已知，求解：又，(|1)3.待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類型，設定函數(shù)關系式，再由已知條件，定出關系式中的未

2、知系數(shù)。例3 已知二次實函數(shù)，且+2+4,求.解:設=，則=比較系數(shù)得4.利用函數(shù)性質法:主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.例4.已知=為奇函數(shù),當 0時,求解:為奇函數(shù)，的定義域關于原點對稱，故先求0,為奇函數(shù)，當0時例5一已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且有+， 求,.解：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，,不妨用-代換+= 中的,即顯見+即可消去,求出函數(shù)再代入求出5.賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出的表達式例6：設的定義域為自然數(shù)集，且滿足條件,及=1,求解：的定義域為N，取=1,則有=1,=+2,以上各式相加，有=1+2+3+=二、利用函數(shù)性質，解的有關問題1.判斷函數(shù)的奇偶性：例7

3、已知,對一切實數(shù)、都成立，且,求證為偶函數(shù)。證明：令=0, 則已知等式變?yōu)樵谥辛?0則2=2 0=1為偶函數(shù)。2.確定參數(shù)的取值范圍例8：奇函數(shù)在定義域（-1，1）內遞減，求滿足的實數(shù)的取值范圍。解：由得，為函數(shù)，又在（-1，1）內遞減，3.解不定式的有關題目 例9：如果=對任意的有,比較的大小解：對任意有=2為拋物線=的對稱軸又其開口向上(2)最小，(1)=(3)在2，)上，為增函數(shù)(3)(4),(2)(1)(4) 五類抽象函數(shù)解法1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)線性函數(shù)型抽象函數(shù)，是由線性函數(shù)抽象而得的函數(shù)。例1、已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且當x0時，f（x）

4、0，f（1）2，求f（x）在區(qū)間2，1上的值域。分析：由題設可知，函數(shù)f（x）是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)f（x）的值域，關鍵在于研究它的單調性。解：設，當，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域為4，2。例2、已知函數(shù)f（x）對任意，滿足條件f（x）f（y）2 + f（xy），且當x0時，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 分析：由題設條件可猜測：f（x）是yx2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的

5、函數(shù)符號，從而可求得不等式的解。 解：設，當，則， 即，f（x）為單調增函數(shù)。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解為1 a 0時，0f(x)0的結論。這是解題的關鍵性步驟，完成這些要在抽象函數(shù)式中進行。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。定義在R上的函數(shù)滿足：且，求的值。 解：由， 以代入，有， 為奇函數(shù)且有 又由 故是周期為8的周期函數(shù)， 例2 已知函數(shù)對任意實數(shù)都有，且當時，求在上的值域。 解：設 且， 則， 由條件當時， 又 為增函數(shù)， 令，則 又令 得 ， 故為奇函數(shù)， ， 上的值域為二. 求參數(shù)范圍 這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運算式中，關

6、鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內的增減性，去掉“”符號，轉化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。 例3 已知是定義在（）上的偶函數(shù)，且在（0，1）上為增函數(shù)，滿足，試確定的取值范圍。 解：是偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)， 由得。 （1）當時， ，不等式不成立。 （2）當時， （3）當時， 綜上所述，所求的取值范圍是。例4 已知是定義在上的減函數(shù)，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。 解： 對恒成立 對恒成立 對恒成立， 三. 解不等式 這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點處的函數(shù)值，再通過函數(shù)的單調性去掉函數(shù)符號“”，轉化為代數(shù)不等式求解。 例5 已知函數(shù)對任

7、意有，當時，求不等式的解集。 解：設且 則 ， 即， 故為增函數(shù)， 又 因此不等式的解集為。四. 證明某些問題 例6 設定義在R上且對任意的有，求證：是周期函數(shù)，并找出它的一個周期。 分析：這同樣是沒有給出函數(shù)表達式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關系式進行遞推，若能得出（T為非零常數(shù)）則為周期函數(shù)，且周期為T。 證明： 得 由（3）得 由（3）和（4）得。 上式對任意都成立，因此是周期函數(shù)，且周期為6。 例7 已知對一切，滿足，且當時，求證：（1）時，（2）在R上為減函數(shù)。 證明：對一切有。 且，令，得， 現(xiàn)設，則， 而 ， 設且， 則 ， 即為減函數(shù)。五. 綜合問題求解 抽象函數(shù)的綜合問題

8、一般難度較大，常涉及到多個知識點，抽象思維程度要求較高，解題時需把握好如下三點：一是注意函數(shù)定義域的應用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號“”前的“負號”，三是利用函數(shù)單調性去掉函數(shù)符號“”。 例8 設函數(shù)定義在R上，當時，且對任意，有，當時。 （1）證明； （2）證明：在R上是增函數(shù)； （3）設， ，若，求滿足的條件。 解：（1）令得， 或。 若，當時，有，這與當時，矛盾， 。 （2）設，則，由已知得，因為，若時，由 （3）由得 由得 （2） 從（1）、（2）中消去得，因為 ， 即 例9 定義在（）上的函數(shù)滿足（1），對任意都有， （2）當時，有， （1）試判斷的奇偶性；（2）判斷的單調性；

9、 （3）求證。 分析：這是一道以抽象函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調性與奇偶性，再以這些性質為基礎去研究數(shù)列求和的綜合題。 解：（1）對條件中的，令，再令可得 ，所以是奇函數(shù)。 （2）設，則 ， ，由條件（2）知，從而有，即，故上單調遞減，由奇函數(shù)性質可知，在（0，1）上仍是單調減函數(shù)。 （3） 抽象函數(shù)問題分類解析 我們將沒有明確給出解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。近年來抽象函數(shù)問題頻頻出現(xiàn)于各類考試題中，由于這類問題抽象性強，靈活性大，多數(shù)同學感到困惑，求解無從下手。本文試圖通過實例作分類解析，供學習參考。 1. 求定義域 這類問題只要緊緊抓住：將函數(shù)中的看作一個整體，相當于中的x這一特性，問題就會迎

10、刃而解。 例1. 函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是_。 分析：因為相當于中的x，所以，解得或。 例2. 已知的定義域為，則的定義域是_。 分析：因為及均相當于中的x，所以 (1)當時，則 (2)當時，則 2. 判斷奇偶性 根據(jù)已知條件，通過恰當?shù)馁x值代換，尋求與的關系。 例3. 已知的定義域為R，且對任意實數(shù)x，y滿足，求證：是偶函數(shù)。 分析：在中，令， 得 令，得 于是 故是偶函數(shù)。 例4. 若函數(shù)與的圖象關于原點對稱，求證：函數(shù)是偶函數(shù)。 證明：設圖象上任意一點為P（） 與的圖象關于原點對稱， 關于原點的對稱點在的圖象上， 又 即對于函數(shù)定義域上的任意x都有，所以是偶函數(shù)。 3. 判斷單調

11、性 根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調性等有關性質，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。 例5. 如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且有最小值為5，那么在區(qū)間上是 A. 增函數(shù)且最小值為B. 增函數(shù)且最大值為 C. 減函數(shù)且最小值為D. 減函數(shù)且最大值為 分析：畫出滿足題意的示意圖1，易知選B。圖1 例6. 已知偶函數(shù)在上是減函數(shù)，問在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結論。 分析：如圖2所示，易知在上是增函數(shù)，證明如下： 任取 因為在上是減函數(shù)，所以。 又是偶函數(shù)，所以 ， 從而，故在上是增函數(shù)。 圖2 4. 探求周期性 這類問題較抽象，一般解法是仔細分析題設條件，通過類似，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過對函數(shù)原型的

12、分析或賦值迭代，獲得問題的解。 例7. 設函數(shù)的定義域為R，且對任意的x，y有，并存在正實數(shù)c，使。試問是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期；若不是，請說明理由。 分析：仔細觀察分析條件，聯(lián)想三角公式，就會發(fā)現(xiàn)：滿足題設條件，且，猜測是以2c為周期的周期函數(shù)。 故是周期函數(shù)，2c是它的一個周期。 5. 求函數(shù)值 緊扣已知條件進行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。 例8. 已知的定義域為，且對一切正實數(shù)x，y都成立，若，則_。 分析：在條件中，令，得 ， 又令， 得， 例9. 已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足：，求的值。 分析：緊

13、扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)是周期函數(shù)，顯然，于是 ， 所以 故是以8為周期的周期函數(shù)，從而 6. 比較函數(shù)值大小 利用函數(shù)的奇偶性、對稱性等性質將自變量轉化到函數(shù)的單調區(qū)間內，然后利用其單調性使問題獲解。 例10. 已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，時，是增函數(shù)，若，且，則的大小關系是_。 分析：且， 又時，是增函數(shù)， 是偶函數(shù)， 故7. 討論方程根的問題 例11. 已知函數(shù)對一切實數(shù)x都滿足，并且有三個實根，則這三個實根之和是_。 分析：由知直線是函數(shù)圖象的對稱軸。 又有三個實根，由對稱性知必是方程的一個根，其余兩根關于直線對稱，所以，故。 8. 討論不等式的解 求解這類問題利用函數(shù)的單調性進

14、行轉化，脫去函數(shù)符號。 例12. 已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且對一切實數(shù)x，不等式恒成立，求k的值。 分析：由單調性，脫去函數(shù)記號，得 由題意知(1)(2)兩式對一切恒成立，則有 9. 研究函數(shù)的圖象 這類問題只要利用函數(shù)圖象變換的有關結論，就可獲解。 例13. 若函數(shù)是偶函數(shù)，則的圖象關于直線_對稱。 分析：的圖象的圖象，而是偶函數(shù)，對稱軸是，故的對稱軸是。 例14. 若函數(shù)的圖象過點（0，1），則的反函數(shù)的圖象必過定點_。 分析：的圖象過點（0，1），從而的圖象過點，由原函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的關系易知，的反函數(shù)的圖象必過定點。10. 求解析式 例15. 設函數(shù)存在反函數(shù)，與的圖象關于直線

15、對稱，則函數(shù) A. B. C. D. 分析：要求的解析式，實質上就是求圖象上任一點的橫、縱坐標之間的關系。 點關于直線的對稱點適合，即。 又， 即，選B。抽象函數(shù)的周期問題 2001年高考數(shù)學（文科）第22題：設是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關于直線對稱。對任意都有。 （I）設求； （II）證明是周期函數(shù)。 解析：（I）解略。 （II）證明：依題設關于直線對稱 故 又由是偶函數(shù)知 將上式中以代換，得 這表明是上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期 是偶函數(shù)的實質是的圖象關于直線對稱 又的圖象關于對稱，可得是周期函數(shù) 且2是它的一個周期 由此進行一般化推廣，我們得到 思考一：設是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關

16、于直線對稱，證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。 證明：關于直線對稱 又由是偶函數(shù)知 將上式中以代換，得 是上的周期函數(shù) 且是它的一個周期 思考二：設是定義在上的函數(shù)，其圖象關于直線和對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。 證明：關于直線對稱 將上式的以代換得 是上的周期函數(shù) 且是它的一個周期 若把這道高考題中的“偶函數(shù)”換成“奇函數(shù)”，還是不是周期函數(shù)？經(jīng)過探索，我們得到 思考三：設是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關于直線對稱。證明是周期函數(shù)，且4是它的一個周期。， 證明：關于對稱 又由是奇函數(shù)知 將上式的以代換，得 是上的周期函數(shù) 且4是它的一個周期 是奇函數(shù)的實質是的圖象關于原點（0，0）中心

17、對稱，又的圖象關于直線對稱，可得是周期函數(shù)，且4是它的一個周期。由此進行一般化推廣，我們得到 思考四：設是定義在上的函數(shù)，其圖象關于點中心對稱，且其圖象關于直線對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。 證明：關于點對稱 關于直線對稱 將上式中的以代換，得 是上的周期函數(shù) 且是它的一個周期 由上我們發(fā)現(xiàn)，定義在上的函數(shù)，其圖象若有兩條對稱軸或一個對稱中心和一條對稱軸，則是上的周期函數(shù)。進一步我們想到，定義在上的函數(shù)，其圖象如果有兩個對稱中心，那么是否為周期函數(shù)呢？經(jīng)過探索，我們得到 思考五：設是定義在上的函數(shù)，其圖象關于點和對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。 證明：關于對稱 將上式中的以代

18、換，得 是周期函數(shù) 且是它的一個周期抽象函數(shù)解法例談 抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點的函數(shù)值,特定的運算性質等,它是高中函數(shù)部分的難點,也是大學高等數(shù)學函數(shù)部分的一個銜接點,由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達式作為載體,因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質,又能考查學生的思維能力,所以備受命題者的青睞,那么,怎樣求解抽象函數(shù)問題呢,我們可以利用特殊模型法,函數(shù)性質法,特殊化方法,聯(lián)想類比轉化法,等多種方法從多角度,多層面去分析研究抽象函數(shù)問題,一:函數(shù)性質法函數(shù)的特征是通過其性質(如

19、奇偶性,單調性周期性,特殊點等)反應出來的,抽象函數(shù)也是如此,只有充分挖掘和利用題設條件和隱含的性質,靈活進行等價轉化,抽象函數(shù)問題才能轉化,化難為易,常用的解題方法有:1,利用奇偶性整體思考;2,利用單調性等價轉化;3,利用周期性回歸已知4;利用對稱性數(shù)形結合;5,借助特殊點,布列方程等.二:特殊化方法1在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質時,一般用代換的方法,將x換成-x或將x換成等2在求函數(shù)值時,可用特殊值代入3研究抽象函數(shù)的具體模型,用具體模型解選擇題,填空題,或由具體模型函數(shù)對綜合題,的解答提供思路和方法.總之,抽象函數(shù)問題求解,用常規(guī)方法一般很難湊效,但我們如果能通過對題目的信息分析與研

20、究,采用特殊的方法和手段求解,往往會收到事半功倍之功效,真有些山窮水復疑無路,柳暗花明又一村的快感.1 已知函數(shù)f(x)對任意x、yR都有f(x+y)f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1若t為自然數(shù),(t0)試求f(t)的表達式滿足f(t)=t的所有整數(shù)t能否構成等差數(shù)列?若能求出此數(shù)列,若不能說明理由若t為自然數(shù)且t4時, f(t) mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.2 已知函數(shù)f(x)= ,且f(x),g(x)定義域都是R,且g(x)0, g(1) =2,g(x) 是增函數(shù). g(m) g(n)= g(m+n)(m、nR) 求證：f(x)是R上的

21、增函數(shù)當nN,n3時,f(n)解: 設x1x2 g(x)是R上的增函數(shù), 且g(x)0 g(x1) g(x2) 0 g(x1)+1 g(x2)+1 0 0 - 0 f(x1)- f(x2)=- =1-(1-) =-0 f(x1) f(x2) f(x)是R上的增函數(shù) g(x) 滿足g(m) g(n)= g(m+n)(m、nR) 且g(x)0 g(n)= g(1)n=2n 當nN,n3時, 2nn f(n)=1- ，1- 2n（1+1）n1+n+n+12n+1 2n+12n+21-當nN,n3時,f(n)3 設f1(x) f2(x)是(0,+)上的函數(shù),且f1(x)單增,設f(x)= f1(x)

22、+f2(x) ,且對于(0,+)上的任意兩相異實數(shù)x1, x2恒有| f1(x1) f1(x2)| | f2(x1) f2(x2)|求證：f (x)在(0,+)上單增.設F(x)=x f (x), a0、b0.求證：F(a+b) F(a)+F(b) .證明:設 x1x20f1(x) 在(0,+)上單增f1(x1) f1(x2)0| f1(x1) f1(x2)|= f1(x1) f1(x2)0| f1(x1) f1(x2)| | f2(x1) f2(x2)|f1(x2)- f1(x1)f2(x1) f2(x2) f1(x2)+ f2(x2)f(x1) f(x2)f (x)在(0,+)上單增F(x

23、)=x f (x), a0、b0a+ba0,a+bb0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (x)在(0,+)上單增F(a+b)af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)4 函數(shù)yf(x)滿足f(a+b)f (a)f (b)，f(4)16, m、n為互質整數(shù)，n0求f()的值f(0) =f(0+0)=f(0) f(0)=f2(0)f(0) =0或1.若f(0)=0則f(4)=16=f(0+4)=f(0) f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2) f(2)=f(1) f(1) f(1) f(1)=16f(1)=f2()0f(1)=2.仿此可證得f(

24、a)0.即y=f(x)是非負函數(shù).f(0)=f(a+(-a)=f(a) f(-a)f(-a)=nN*時f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(+)=fn()=2f()= f()=f()m= 5 定義在（-1，1）上的函數(shù)f (x)滿足 任意x、y（-1，1）都有f(x)+ f(y)f ()，x（-1，0）時，有f(x) 01) 判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并說明理由2) 判定f(x)在（-1，0）上的單調性，并給出證明3) 求證：f ()f ()f ()或f ()+f ()+f () f () (nN*) 解:1) 定義在（-1，1）上的函數(shù)f (x)滿足任意x、y（-1，1）都有f(x)+ f(y)f (),則當y=0時, f(x)+ f(0)f(x) f(0)=0 當-x=y時, f(x)+ f(-x)f(0) f(x)是（-1，1）上的奇函數(shù)2) 設0x1x2-1f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)=0x1x2-1 ,x（-1，0）時，有f(x) 0,1-x1 x20, x1-x200即f(x)在（-1，0）上單調遞增.3) f ()=f()=f( )=f()=f()-f()f ()+f ()+f ()=f()-f()+f()-f()+f()+f()-f()= f() -f()=f()