倒立擺MATLAB建模

1、 線(xiàn)控大作業(yè)如圖所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個(gè)小車(chē)上。這里僅考慮倒立擺在圖面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的二維問(wèn)題。圖 倒立擺系統(tǒng)假定倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)如下。擺桿的質(zhì)量：m=0.1g擺桿的長(zhǎng)度：2l=1m小車(chē)的質(zhì)量：M=1kg重力加速度：g=10/s2擺桿慣量：I=0.003kgm2擺桿的質(zhì)量在擺桿的中心。設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)，使得當(dāng)給定任意初始條件(由干擾引起)時(shí)，最大超調(diào)量d %10%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts 4s ，使擺返回至垂直位置，并使小車(chē)返回至參考位置(x=0)。要求：1、建立倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程2、定量分析,定性分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)能控性、能觀(guān)性、穩(wěn)定性3、極點(diǎn)配置 設(shè)計(jì)分析報(bào)告1 系統(tǒng)建模在忽略了空氣阻力和

2、各種摩擦之后，可將直線(xiàn)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車(chē)和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)。如下如所示。圖 一級(jí)倒立擺模型其中： 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖是系統(tǒng)中小車(chē)和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車(chē)與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭噶空较颉?分析小車(chē)水平方向所受的合力，可以得到以下方程：由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：即：把這個(gè)等式代入式(3-1)中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合

3、力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： 力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有負(fù)號(hào)。 合并這兩個(gè)方程，約去和，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： 設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即，則可以進(jìn)行近似處理：。用來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力，線(xiàn)性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： 對(duì)式(3-9)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到 注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。 由于輸出為角度，求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到： 或 如果令，則有：把上式代入方程組的第二個(gè)方程，得到： 整理后得到傳遞函數(shù)： 其中 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：方程組 對(duì)解代數(shù)方程，得到解如下：整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：代入

4、倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)。擺桿的質(zhì)量：m=0.1g擺桿的長(zhǎng)度：2l=1m小車(chē)的質(zhì)量：M=1kg重力加速度：g=10/s2擺桿慣量：I=0.003kgm2另外，也可以利用 MATLAB 中 tf2ss 命令對(duì)(3-13)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求得上述狀態(tài)方程。 2 系統(tǒng)分析2.1 判斷系統(tǒng)能控性和能觀(guān)性在MATLAB中，可以利用ctrb()和obsv()函數(shù)直接求出能控性和能觀(guān)性矩陣 A=0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0;1;0;1;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0;Uc=ctrb(A,B);rc=rank(Uc);n=size(A);if rc=n disp

5、(system is controlled.)elseif rcn disp(system is uncontrolled.) endVo=obsv(A,C);ro=rank(Vo);if ro=n disp(system is observable.)elseif ro=n disp(system is no observable.) End運(yùn)行情況如下：2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性A=0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0;1;0;1;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0;P=poly(A),v=roots(P)運(yùn)行結(jié)果如下：特征值為0（二重），3.316

6、6,-3.3166，顯然，其中一個(gè)極點(diǎn)在右半平面，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。3 系統(tǒng)設(shè)計(jì) 極點(diǎn)配置與控制器設(shè)計(jì)極點(diǎn)配置的方法就是通過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣的狀態(tài)反饋方法 ,將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到任意期望的位置。，其中x是狀態(tài)變量（n維），u是控制信號(hào)，這里選取控制信號(hào)為，該方程的解為，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)特性由矩陣 A - B K的特征決定。，閉環(huán)系統(tǒng)的方程為，選取所希望的極點(diǎn)值為，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣時(shí)，要使系統(tǒng)的極點(diǎn)設(shè)計(jì)成具有兩個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)，兩個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣就可以用二階系統(tǒng)的分析方法進(jìn)行參數(shù)的確定。最大超調(diào)量小于等于10%，調(diào)節(jié)時(shí)間為4S，運(yùn)用超調(diào)量的計(jì)算公式，其中為阻尼系數(shù)，有該公式可求得，阻尼系數(shù)=0.59，小于1，是欠阻尼。 ，可以求得=1.27則極點(diǎn)公式為，得到兩個(gè)共軛極點(diǎn)為.配置非主導(dǎo)極點(diǎn)，在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供了單變量系統(tǒng)極點(diǎn)配置acker(),其格式為K=acker(A,B,p)程序如下：A=0 1 0 0;0 0 -2 0;0 0 0 1;0 0 22 0;B=0;1;0;-1;C=1 0 0 0;0 1 0 0；0 0 1 0；0 0 0 1;D=0;