動態(tài)微分方程模型

1、動態(tài)微分方程模型,傳 染 病 模 型 (四個模型),問題提出,本世紀(jì)初，瘟疫常在世界上某地流行，隨著 人類文明的不斷進(jìn)步，很多疾病，諸如天花、霍 亂已經(jīng)得到有效的控制然而，即使在今天，一 些貧窮的發(fā)展中國家，仍出現(xiàn)傳染病流行的現(xiàn)象, 醫(yī)療衛(wèi)生部門的官員與專家所關(guān)注的問題是： （1）如何描述傳染病的傳播過程 （2）如何分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 （3）如何預(yù)報傳染病高潮的到來,問題分析,不同類型傳染病的傳播過程有不同的特點。 故不可能從醫(yī)學(xué)的角度對各種傳染病的傳播過程一 一進(jìn)行分析，而是按一般的傳播機(jī)理建立模型 由于傳染病在傳播的過程涉及因素較多，在分 析問題的過程中，不可能通過一次假設(shè)建立完善的

2、 數(shù)學(xué)模型 思路是：先做出最簡單的假設(shè)，對得出的結(jié)果 進(jìn)行分析，針對結(jié)果中的不合理之處，逐步修改假 設(shè)，最終得出較好的模型。,模型一,模型假設(shè)： （1）一人得病后，久治不愈，人在傳染 期內(nèi)不會死亡。 （2）單位時間內(nèi)每個病人傳染人數(shù)為常 數(shù)k。,為什么假設(shè)不會死亡？,（因為死亡后便不會再傳播疾病，因 而可認(rèn)為此時已退出系統(tǒng)）,模型建立：,i（t）表示t時刻病人的數(shù)量，時間：天 則：i（t+t）i（ t）k0i（t） t 于是模型如下：,模型的解：,舉個實例,最初只有1個病人，1個病人一天可傳染1個人,模型的缺點,問題：隨著時間的推移，病人的數(shù)目將無限增加， 這一點與實際情況不符 原因：當(dāng)不考慮

3、傳染病期間的出生、死亡和遷移 時，一個地區(qū)的總?cè)藬?shù)可視為常數(shù)。因此 k0應(yīng)為時間t的函數(shù)。在傳染病流行初期， k0較大，隨著病人的增多，健康人數(shù)減少， 被傳染的機(jī)會也減少，于是k0將變小。 模型修改的關(guān)鍵： k0的變化規(guī)律,模型二(si模型),設(shè)t時刻健康人數(shù)為s(t)病人數(shù)為i(t) 模型假設(shè)： （1）總?cè)藬?shù)為n不變，既不考慮生死，也不考慮 遷移，i(t)十s(t)n （2）一人得病后，久治不愈，且在傳染期內(nèi)不 會死亡。 （3）一個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)與當(dāng)時 健康的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（稱之為 傳染系數(shù)）,模型改進(jìn),方程的解：,對模型作進(jìn)一步分析,傳染病人數(shù)與時間t關(guān)系,傳染病人數(shù)

4、的變化率與時間t的關(guān)系,染病人數(shù)由開始到高峰并 逐漸達(dá)到穩(wěn)定,增長速度由低增至最高后 降落下來,疾病的傳染高峰期,此時,計算高峰期得：,意義： 1、當(dāng)傳染系數(shù)k或n增大時，t0隨之減少，表示傳 染高峰隨著傳染系數(shù)與總?cè)藬?shù)的增加而更快 的來臨，這與實際情況比較符合。 2、令=kn，表示每個病人每天有效接觸的平均 人數(shù)，稱日接觸率。t0與 成反比。 表示該 地區(qū)的衛(wèi)生水平， 越小衛(wèi)生水平越高。故 改善衛(wèi)生水平可推遲傳染病高潮的來臨。,模型的缺點,缺點：當(dāng)t時，i(t) n，這表示所有的人最 終都將成為病人，這一點與實際情況不 符合 原因：這是由假設(shè)1)所導(dǎo)致，沒有考慮病人可 以治愈及病人病發(fā)身亡的

5、情況。 思考題：考慮有病人病發(fā)身亡的情況，再對模型 進(jìn)行修改。,模型三(sis模型),有些傳染?。ㄈ缌〖?愈后免疫力很低，還有可能再 次被傳染而成為病人。 模型假設(shè)： （1）健康者和病人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別為s(t)、i(t)， 則： s(t)+i(t)1 （2）一個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)與當(dāng)時健康人數(shù)成 正比，比例系數(shù)為k （3）病人每天治愈的人數(shù)與病人總數(shù)成正比，比例系數(shù)為 (稱日治愈率)，病人治愈后成為仍可被感染的健康者， 稱 1/ 為傳染病的平均傳染期(如病人數(shù)保持10人，每天治愈2 人， 1/5，則每位病人平均生病時間為1/ 5天)。,模型的建立,假設(shè)2、3得：,將假設(shè)1代入

6、，可得模型：,模型的解：,閾值=/的意義,一個病人在平均傳染期內(nèi)傳染的人數(shù)與當(dāng)時 健康的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為,模型的意義,（t , i (t)）圖,（1）當(dāng)1時，指傳染期內(nèi)被傳染的人數(shù)不超過當(dāng)時健康的 人數(shù)。病人在總?cè)藬?shù)中所占的比例i(t)越來越小，最終趨 于零。 （2）當(dāng) l時，i(t)最終以1-1/ 為極限； （3）當(dāng)增大時，i()也增大，是因為隨著傳染期內(nèi)被傳染 人數(shù)占當(dāng)時健康人數(shù)的比例的增加，當(dāng)時的病人數(shù)所占 比例也隨之上升,模型四（sir模型）,某些傳染病如麻疹等，治愈后均有很強(qiáng)的免 疫力，所以病愈的人既非健康人，也非病人。 模型假設(shè)： （1）人群分為健康者、病人、病愈免疫者三類，

7、 這三類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別為s(t)， i(t)，r(t)，則有s(t)+i(t)+r(t)1。 （2）單位時間內(nèi)，一個病人傳染的人數(shù)與當(dāng)時 健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k （3）在單位時間內(nèi)，病愈免疫的人數(shù)與當(dāng)時病 人人數(shù)成正比，比例系數(shù)為,模型的建立,從此方程無法求出i ( t )與s ( t )的解析解。 我們可以從相軌線作定性分析,相軌線,相軌線（s，i）,圖中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向,相軌線分析結(jié)果,1、不論初始條件s0、i0如何病人終將消失。 2、最終未被感染的健康者的比例是s，圖中 可看出是在(0，1/ )內(nèi)的單根。 3、若s0 1/ ，則i

8、(t)先增加，當(dāng)s1/ 時，i(t)達(dá)到 最大。 4、若s0 1/ ，則i(t)單調(diào)減小至零,閾值1/的意義,1、減小傳染期接觸數(shù) ，即提高閾值l/ ，使得 s0 1/ (即 1/ s0)，傳染病就不會蔓延。 2、衛(wèi)生、醫(yī)療水平：=/ 3、交換數(shù)的意義：s=s1/是傳染期內(nèi)一個病 人傳染的健康者的平均人數(shù)，稱為交換數(shù)，其含 義是一個病人被s個健康者交換。 4、 的估計,模型驗證印度孟買的一個例子,圖中，實際數(shù)據(jù)用圓點表示可以看出， 理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯。,sir模型的兩個應(yīng)用,被傳染比例的估計 群體免疫和預(yù)防,被傳染比例的估計,假定 很小， 接近于1,其中,這個結(jié)果表明，被傳染人數(shù)

9、比例約為 的2倍，當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水平不變，即 不變時，這個比例就不會改變。而當(dāng)閾值提高時， 減小，于是這個比例就會降低。,群體免疫和預(yù)防,根據(jù)對模型的分析，當(dāng) 時，傳染病不會蔓延，因而制止傳染病蔓延的途徑有兩條 1提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平（使閾值變大）； 2通過預(yù)防接種使群體得到免疫（降低 ）,只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例（即免疫者比例）滿足（）式，就可以制止傳染病的蔓延,（）,課后任務(wù),請各位同學(xué)進(jìn)行一些調(diào)查，根據(jù)模型算一 算在廣州，非典型肺炎爆發(fā)的高潮大概是在何 時，與實際情況相吻合嗎？根據(jù)模型請給出你 的建議。,思考題1,設(shè)某城市共有n+1人，其中一人出于某種目 的編造了一個謠

10、言。該城市具有初中以上文化 程度的人占總?cè)藬?shù)的一半，這些人只有1/4相信 這一謠言，而其他人約有1/3會相信。又設(shè)凡相 信此謠言的人每人在單位時間內(nèi)傳播的平均人 數(shù)正比于當(dāng)時尚未聽說此謠言的人數(shù)，而不相 信此謠言的人不傳播謠言。試建立一個反映謠 傳情況的微分方程模型。,思考題2,汽車停車距離可分為兩段：一段為發(fā)現(xiàn)情況到 開始制動這段時間里駛過的距離dt，這段時間為反 應(yīng)時間；另一段則為制動時間駛過的距離dr，現(xiàn)考 核某司機(jī)，考核結(jié)果如下： 行駛速度 dt dr 36公里/小時 3米 45米 50公里/小時 5米 125米 70公里/小時 7米 245米 （1）作出停車距離d的經(jīng)驗公式 （2）設(shè)制動力正比于車重，建立理論分析模型并求 出d的公式。,思考題3,本世紀(jì)初，在倫敦曾觀察到一種現(xiàn)象，大約 每兩年發(fā)生次麻疹傳染病。生物數(shù)學(xué)家he索 珀試圖解釋這種現(xiàn)象，他認(rèn)為易受傳染者的人數(shù) 因人口中新添新的成員而不斷得到補(bǔ)充。試建立 數(shù)學(xué)模型。,思考題4,房屋管理部門想在房頂?shù)倪吘?安裝一個檐槽，其目的是為了雨天 出入方便。簡單說來，從屋脊到屋檐的房頂可以看 成是一個12米長，6米寬的矩形平面，房頂與水平方向的 傾斜角度要視具體的房屋而定，一般說來，這個角度通常 在20