實變函數(shù)內(nèi)容小結(jié)

1、實變函數(shù)內(nèi)容小結(jié)實變函數(shù)的研究方法是將對實變函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為對空間中集合的研究，所以首要的工作考慮集合一、集合間的關系：集合的定義及集合的運算(并、交、取余、極限等), 利用基數(shù)可將無限集合分為兩類：可數(shù)集合及不可數(shù)集合要求：1. 會證明兩個集合相等；2. 了解集合的運算法則，特別是集列的極限與集列中各集合的關系及證明過程3. 了解一些常見的可數(shù)集，如整數(shù)集、有理數(shù)集及下述集合定理6 若中每個元素由個互相獨立的記號所決定，各記號跑遍一個可數(shù)集，則為可數(shù)集。二、集合中元素間的一個關系(度量)：因為空間為一個度量空間，所以其中的任兩點間具有距離，因此可在中定義鄰域、內(nèi)外點、聚點、收斂、開集、閉集并

2、考慮它們間的運算(并、交、取余等)要求：1. 了解一些度量空間，如離散的度量空間、序列空間、可測函數(shù)空間、連續(xù)函數(shù)空間 、，、2. 了解開集 (閉集)的運算法則，會證明一些特定的集合為開集或閉集3. 了解緊集與閉集的關系4. 熟悉有限開覆蓋定理及證明過程5. 掌握構(gòu)造某個集合開覆蓋的方法三、集合的一個幾何度量(測度為長度、面積、體積的推廣)：為了定義可測集，引入集合的外測度定義，并給出集合可測的測度定義。該定義只能研究一些簡單集合的可測性。證明一個集合是否可測常用的方法是利用公式。采用此法可得一些可測集經(jīng)適當運算后仍然可測要求：1. 熟悉集合的外測度定義及可測集的運算規(guī)律，會證明一些給定的集合

3、可測2. 了解一些常見的可測集，如中的全體有理數(shù)、開集、閉集、區(qū)間、零測集等3. 了解L外測度的次可數(shù)可加性及L測度的可數(shù)可加性4. 熟悉單調(diào)可測集列的極限運算與測度運算位置互換的條件及證明過程5. 熟悉可測集與開集、閉集的關系及證明過程一個重要結(jié)論：設是任意可測集，則對 (開)(利用集合的外測度定義來構(gòu)造)，使，且四、可測函數(shù)：利用可測集的定義可給出可測函數(shù)的定義，從而將函數(shù)的可測問題轉(zhuǎn)為對集合的研究，因此根據(jù)可測集的運算知可測函數(shù)經(jīng)適當運算后仍然可測，并且可探討連續(xù)函數(shù)與可測函數(shù)的關系、一致收斂、幾乎處處收斂與依測度收斂的關系。要求：1. 了解可測函數(shù)的定義及運算法則，并會證明一些函數(shù)可測

4、2. 熟悉連續(xù)函數(shù)與可測函數(shù)的關系及證明過程3. 了解一致收斂、幾乎處處收斂與依測度收斂的關系及證明過程幾個重要公式： ，五、L積分：因為前面所述四方面的理論，我們可引入L積分的定義(特殊及一般)及對應的性質(zhì)(特殊及一般)，并進一步探討積分運算與極限運算位置互換的條件：勒貝格控制收斂定理、Levi引理及Fatou定理要求：1. 了解函數(shù)L可積的定義及性質(zhì)，并會證明一些函數(shù)可積2. 熟悉連續(xù)函數(shù)、可測函數(shù)與L可積函數(shù)的關系3. 熟悉R積分與L積分的關系4. 會熟練利用三大結(jié)論解決一些具體問題泛函內(nèi)容(度量空間與線性賦范空間)小結(jié)我們希望泛函的定義空間與歐氏空間具有盡可能多的相似性質(zhì)：如點列可進行

5、極限運算、空間具有完備性、空間中的元素可進行線性運算等。為此，在一個集合上定義距離，引入度量空間，進而在此空間上給出點列收斂定義及開閉集的定義并引入完備度量空間的概念。關于度量空間有一個重要的結(jié)論：壓縮映射原理。 度量空間中的點列可進行求極限運算，但元素間無法進行線性運算，為此引入線性空間。度量空間中的元素只能進行極限運算，而線性空間中的元素只能進行線性運算，線性賦范空間中的元素既可進行極限運算，又可進行線性運算。要求：1.了解一般度量空間中柯西點列與收斂點列的關系2. 會證明一些度量空間完備，如、=收斂數(shù)列、 3. 會利用壓縮映射原理解決一些具體問題4. 了解線性賦范空間與度量空間的關系，會證明某些集合上定義的一些量為范數(shù)5. 熟悉連續(xù)映射的幾個充分必要條件及證明過程必須掌握教材中2. 79頁的定理2, 96