定積分在幾何上的應(yīng)用;

1、,定積分的元素法,一、什么問題可以用定積分解決 ?,二 、如何應(yīng)用定積分解決問題 ?,表示為,一、什么問題可以用定積分解決 ?,1) 所求量 u 是與區(qū)間a , b上的某函數(shù) f (x) 有關(guān)的,2) u 對區(qū)間 a , b 具有可加性 ,即可通過,“分割, 近似, 求和, 取極限”,定積分定義,一個(gè)整體量 ;,二 、如何應(yīng)用定積分解決問題 ?,第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的,微分表達(dá)式,第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的,積分表達(dá)式,這種分析方法成為元素法 (或微元法),近似值,精確值,四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積,一

2、、 平面圖形的面積,二、 平面曲線的弧長,定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,一、平面圖形的面積,1. 直角坐標(biāo)情形,設(shè)曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,邊梯形面積為 a ,右圖所示圖形面積為,例1. 計(jì)算拋物線,與直線,的面積 .,解: 由,得交點(diǎn),所圍圖形,為簡便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有,例2. 求橢圓,解: 利用對稱性 ,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式,例3. 求由擺線,的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .,解:,2. 極坐標(biāo)情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的

3、近似值為,所求曲邊扇形的面積為,對應(yīng) 從 0 變,例4. 計(jì)算阿基米德螺線,解:,到 2 所圍圖形面積 .,例5. 計(jì)算心形線,與圓,所圍圖形的面積 .,解: 利用對稱性 ,所求面積,二、平面曲線的弧長,當(dāng)折線段的最大,邊長 0 時(shí),折線的長度趨向于一個(gè)確定的極限 ,即,并稱此曲線弧為可求長的.,定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.,則稱,(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:,因此所求弧長,則得,弧長元素(弧微分) :,例6. 求連續(xù)曲線段,解:,的弧長.

4、,例7. 計(jì)算擺線,一拱,的弧長 .,解:,三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為a(x),則對應(yīng)于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,上連續(xù),特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有,柱殼體積,說明:,柱面面積,（以擺線為例）,例8. 一平面經(jīng)過半徑為r 的圓柱體的底圓中心 ,并,與底面交成 角,解: 如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為,垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為,利用對稱性,計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .,四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,設(shè)平面光滑曲線,求,積分后得旋轉(zhuǎn)體

5、的側(cè)面積,它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .,取側(cè)面積元素:,側(cè)面積元素,的線性主部 .,若光滑曲線由參數(shù)方程,給出,則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的,不是薄片側(cè)面積s 的,注意:,側(cè)面積為,例9. 計(jì)算圓,x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積 s .,解: 對曲線弧,應(yīng)用公式得,當(dāng)球臺高 h2r 時(shí), 得球的表面積公式,例10. 求由星形線,一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 s .,解: 利用對稱性,繞 x 軸旋轉(zhuǎn),內(nèi)容小結(jié),1. 平面圖形的面積,邊界方程,參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,2. 平面曲線的弧長,曲線方程,參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,弧微分:,直角坐標(biāo)方程,上下限按順時(shí)針方向確定,直角坐標(biāo)方程,注意: 求弧長時(shí)積分上下限必須上大下小,3. 已知平行