《主方程Masterequa》PPT課件.ppt

1、第二章 主方程(Master equation),這里我們研究概率分布隨時間的演化。 隨機過程：與時間有關的隨機變量(time-dependent random variable) 我們只考慮僅有短程記憶的過程 馬爾科夫過程(Markov process)，該過程的時間演化方程就是主方程。 主方程是統(tǒng)計物理里最重要的方程之一，它幾乎是普遍適用的，并廣泛地被應用于化學，生物學，人口動力學，布朗運動，流體，半導體，金融等問題。,2.1 主方程的推導,（I）一般情形,對于隨機變量Y的概率密度，將采用以下的記號來表示：,一般性質(zhì):,不同時刻概率密度之間的關系（上式對 積分）：,隨機變量與時間有關的矩(

2、表征隨機變量在不同時刻的值之間的相關):,平穩(wěn)過程：如果一個過程對一切n與都有：,在平衡時，所有物理過程都是平穩(wěn)的。對一個平穩(wěn)過程，有：,條件概率：,而 只依賴于 - 時間差的絕對值。,（在 時刻取 值的隨機變量Y，在 時刻取 值的概率）;,它由如下恒等式來定義：,（II）馬爾科夫過程(Markov process),=（固定 時，隨機變量Y具有值 的聯(lián)合概率密度）,聯(lián)合條件概率密度：,(III) 主方程(Master equation),計算（*1）的時間導數(shù)我們必須考慮：,這里我們定義 是系統(tǒng)在時間間隔 內(nèi)，從態(tài)y1變到態(tài)y2的單位時間的轉(zhuǎn)變概率密度（轉(zhuǎn)移率）。因此,在時間 內(nèi)，從態(tài)y1轉(zhuǎn)

3、變到態(tài)y2的概率密度為 ； 在時間內(nèi)不轉(zhuǎn)變的概率密度為 。所以有： （*3),由（*1-3）我們發(fā)現(xiàn)： （*4） 這就是主方程。,(IV) 細致平衡和Monte Carlo模擬,為簡單記這里我們考慮離散的情形，這時主方程可寫為： 這和我們以前學過的統(tǒng)計物理里的劉維爾定理很相似。對平穩(wěn)過程，我們有 因此對不同的平衡態(tài)有（這里我們略去了時間）： 這就是細致平衡（detailed balance）。對統(tǒng)計物理研究的很多系統(tǒng)而言，轉(zhuǎn)移概率一般是不含時的，即與系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)無關，因此我們一般有： 。可以證明（見下），即使系統(tǒng)初始處于非平衡態(tài)時（這時概率密度函數(shù)與時間有關），經(jīng)過足夠長的時間后系統(tǒng)將逐

4、漸進入平衡態(tài)，這是我們對系統(tǒng)進行Monte Carlo模擬的理論基礎。 練習： 考慮相對熵： 。這里 是系統(tǒng)處于非平衡態(tài)的概率 密度函數(shù)， 則是系統(tǒng)處于平衡態(tài)的概率密度函數(shù)。證明 和 ，其中等號僅當系統(tǒng)處于平衡態(tài)時成立。由此有：,(V) ?？?普朗克(Fokker-Planck)方程,由于轉(zhuǎn)移概率 將隨的增大而迅速減小 ，我們把WP1按的冪次展開：,當y是一個連續(xù)變量，而且y的改變以小跳躍的方式發(fā)生時，我們可導出 的偏微分方程-?？?普朗克方程。先做變量代換: 類似地,這里 是跳躍的大小。于是主方程變?yōu)?2.2 馬爾科夫鏈(Markov chain),馬爾科夫鏈：是馬爾科夫過程的一個例子，是在

5、離散時刻出現(xiàn)的離散隨機變量Y取值之間的轉(zhuǎn)移。 設Y可取值 ，基本時間間隔為1，從t=0到t=1我們有： 引入 我們可把上式改寫為矩陣方程： 在s時刻，我們有： P(s) 在s很大時的行為依賴于轉(zhuǎn)移矩陣的結構。 若Q的某個冪次的全部元素都是正的（正則矩陣），則P(s)趨向唯一的確定的與初態(tài)無關的定態(tài) ：,且易證明：,一個例子（雷克書P.173）：考慮兩個罐子A和B，有三個紅球和兩個白球分配給它們，并總使得A中有兩個球。共有下面三種位形： 位形間的轉(zhuǎn)移為：無規(guī)則地從A和B中各取一個球進行交換。 轉(zhuǎn)移矩陣為 且易知 是正則的: 令 表示定態(tài)，由方程： 可解出定態(tài)，結果為： ，與初態(tài)無關。,2.3無規(guī)

6、行走和擴散方程,考慮一個粒子在x軸上運動，且各步行走是統(tǒng)計獨立的。設步長為l，步間時間為，n=0，1，2,為粒子的絕對位置，則有：,若粒子向左向右運動的概率均為1/2，則,原方程可簡化為：,把上式寫為求導的形式，我們有：,令 并在 為有限的條件下取極限 便可得到擴散方程:,假定初始時刻 并引入P1(x,t)對x的傅里葉變換（特征函數(shù)）， 擴散方程可變?yōu)椋?該方程的解為 ： ，再取逆變換，可得： 這是粒子在t=0從x=0出發(fā)，到t時刻于x點找到它的概率。,一階矩和二階矩： 一階矩：把擴散方程兩邊乘以 并對位置積分后，我們發(fā)現(xiàn)： 因此粒子的平均距離不隨時間改變； 二階矩：把擴散方程兩邊乘以 并對位

7、置積分后，我們發(fā)現(xiàn)： 這正是擴散過程的特征。,2.4 生滅過程，主方程的求解,生滅過程：在一個時刻只能進行一步轉(zhuǎn)移。 我們這里處理一個可用生成函數(shù)嚴格求解的情形。,再假定生和滅的概率正比于現(xiàn)存細菌數(shù)，則有 和 ，上式兩邊同乘以 并化簡，即得線性生滅過程的主方程：,考慮t時刻有m個細菌的一個群體： 在時間 內(nèi)死亡一個細菌的概率為 在時間 內(nèi)出生一個細菌的概率為 在時間 內(nèi)細菌數(shù)目不變的概率為 在時間 內(nèi)出生或死亡數(shù)超過1的概率為零. 于是有:,對依賴于離散隨機變量的主方程的求解：生成函數(shù)法,把以上表達式帶入到主方程中我們有： （*） 因此方程(*)和主方程是等價的，我們只需解方程(*)。,容易發(fā)

8、現(xiàn)(*)可由方程組 及 得到。 從dF=0我們發(fā)現(xiàn)F(z,t)=C2，由,一般解為,設t=0時，細菌數(shù)目為m，則,故若 則 結果我們求得,2.5 離散平穩(wěn)馬爾科夫過程的普遍解,對離散平穩(wěn)馬爾科夫過程，Chapman-Kolmogorov方程變?yōu)椋?這里 和,由概率和條件概率的定義我們還有: 即 和,考慮離散隨機變量 和離散時間 ，其中n和是整數(shù)。這時我們得到了一個馬爾科夫鏈，我們有：,這里 是系統(tǒng)處于k態(tài)時下一步跳到n態(tài)的條件概率，它包含了系統(tǒng)轉(zhuǎn)移機制的一切必要信息。 組成了矩陣Q的分量： 由（2.2）節(jié)我們并有：,轉(zhuǎn)移矩陣Q,lxl轉(zhuǎn)移矩陣Q一般不是對稱陣，因而其左，右本征矢量不同。其左本征

9、矢量問題可寫為： 右本征矢量問題可寫為： 其中是方程 det|Q-I|=0的解。由以上兩式可以證明：,正交歸一性：即 Q可以用其左，右本征矢展開： 因此我們有 Q至少有一本征值為1，且 若所有 由上可知 則對足夠大的s方程 不成立，這不可能。 再由P=PQ及iXi=XiQ和iYi=QYi，易得 因Yi構成完備本征矢，若所有i1則對所有i均有PYi=0，這不可能。故存在i使得 最后由右本征矢方程兩邊取絕對值得： 對所有的m求和并考慮Q的歸一性即得： （注意雷克書中的證明有一步是錯誤的。） 對正則轉(zhuǎn)移矩陣，若Q只有一個本征值 則,2.6 近似方法- 展開（I）簡單例子：一維無規(guī)行走,考慮一個有邊界

10、條件的一維無規(guī)行走，其主方程為： 這里-LnL而且L1，因而系統(tǒng)大小=2L+11。我們引入：x=n/L,并記(x,t)=P1(n,t),主方程可改寫為： 由于1/L是小量，我們可以把 對1/L展開： 情形1：=: 這時上式右邊第一項1/L項消失。為簡單記我們令=1并記 這樣重新標度后我們有： 這是擴散方程(Fokker-Planck方程)。 情形2：: 這時只用考慮主方程右邊第一項。令=t/L我們有： 這是一個有向無規(guī)行走且x()滿足：,(II) 一般情形,這里考慮連續(xù)時間和離散隨機變量的主方程并假定轉(zhuǎn)移率W與時間無關，這樣主方程可寫為： 類似于連續(xù)隨機變量的情形我們可以定義躍變矩： 躍變矩是

11、隨機變量n的方程。我們一般感興趣的是隨機變量n及其各級矩的運動方程，這些已知的話系統(tǒng)的性質(zhì)就基本清楚了。 的運動方程：在主方程兩邊乘以n并對n求和，在對右邊第一項作交換nm后我們獲得： 的運動方程：在主方程兩邊乘以 并對n求和，在對右邊第一項作交換nm后我們獲得： 因此不用解主方程，通過轉(zhuǎn)移率W(n,m)我們就可以得到系統(tǒng)的大量信息。,近似：W對系統(tǒng)參量的展開,對大系統(tǒng)，我們可以把W對表征系統(tǒng)大小的參量做展開（因1/ 是一個小量），并將其帶入到主方程中，獲得一個近似的主方程，這個方程的解可能對系統(tǒng)的性質(zhì)做出較好的描述。 在轉(zhuǎn)移率中重要的參量是密度m/ 和步長n=n-m。因此我們把W(m,n)展

12、開為： 這里f()是的任意函數(shù)。對大我們略去上式中的高階項并帶入到主方程中，得： 對大量獨立客體的行為，根據(jù)中心極限定理我們知道 ，寬度n正比于 于是我們可以把n在其平均值附近展開： 其中 是n對其平均值 的偏移。 我們可以把主方程用x來表示，在n取值n-n +n內(nèi)， 我們定義（這樣(t)顯式地依賴于t）： 其中,于是我們有： 和 主方程隨之變?yōu)椋?把上式右邊第一項在 附近作泰勒展開 并重新標定時間f()t= 后，主方程最終變?yōu)椋?其中 和,在主方程里保留到 ，可得： 要滿足上式，只須取 這里 在主方程里保留到的零級項，可得關于概率密度 的Fokker-Planck方程： 由上式即可得擾動x的平均值和矩等的運動方程。對平穩(wěn)過程，上述方程右端的系數(shù)與時間無關。如在=0有 ，并定義 及 和 ，上述Fokker-Planck方程可變?yōu)橐粋€廣義擴散方程： 主方程展開到的 級項時，W的泰勒展開的第二項1將開始有貢獻。,2.7 非線性生滅過程-馬爾薩斯方程,對線性生滅過程： 對非線性生滅過程：我們假設社會成員間的競爭使得死亡率加大，因此死亡率中還有一個正比于其它個體密度的項 貢獻，這里是系統(tǒng)的大小。這樣