無窮大,小及極限運算.ppt

1、無窮小量，無窮大量 及 極限的運算,當(dāng),一、 無窮小量,定義1 . 若,時 , 函數(shù),例如 :,函數(shù),當(dāng),時為無窮小;,函數(shù),時為無窮小;,函數(shù),當(dāng),時為無窮小.,注意:,除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小 !,因為,顯然 C 只能是 0 !,C,時 , 函數(shù),(或 ),則稱函數(shù),為,定義1. 若,(或 ),則,時的無窮小 .,2. 無窮小不是很小的數(shù), 無窮小量是一個變量,3、無窮小量是對自變量的某個變化過程說的。,1.零是無窮小,判斷下列函數(shù)在 是不是無窮小量,判斷下列函數(shù)在 是不是無窮小量,二、 無窮大量,時 , 函數(shù),(或 ),則稱函數(shù),為,定義2. 若,(或 ),則,的無窮大量,

2、理解：,包含,和,兩種情況。,注意:,1. 無窮大不是很大的數(shù), 無窮大量是一個變量,2. 函數(shù)為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !,例如, 函數(shù),當(dāng),但,不是無窮大 !,注意：,（3）無窮大量是對自變量的某個變化過程 說的。,不能！,三、無窮小與無窮大的關(guān)系,若,為無窮大,為無窮小 ;,若,為無窮小, 且,則,為無窮大.,則,據(jù)此定理 , 關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論.,定理2. 在自變量的同一變化過程中,說明:,四、 無窮小運算法則,定理1. 有限個無窮小的和還是無窮小,定理2. 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小,推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 推論2 有限個無窮小的乘

3、積也是無窮小,例1. 求,解:,利用定理 2 可知,說明 : y = 0 是,的漸近線 .,練習(xí)：,答案：（1）（4）（6）是無窮小量 （2）（5）是無窮大（3）的極限值是1,思考題：,求下列極限,答案：（1)(2)(4)都是0.（3）是無窮大,內(nèi)容小結(jié),無窮小量和無窮大量的概念及性質(zhì) 怎么判斷一個量是不是無窮小量及無窮大量 無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系 無窮小量的運算性質(zhì) 注意事項,無窮小量和無窮大量都與自變量 的變化過程有關(guān)的變量。,三個基本的數(shù)列極限：,數(shù)列極限的運算法則,復(fù)習(xí)數(shù)列極限的運算法則：,函數(shù)極限的四則運算運算法則,(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x

4、)=AB,推論1 如果lim f(x)存在 而c為常數(shù) 則 limcf(x)=climf(x),推論2 如果limf(x)存在 而n是正整數(shù) 則 limf(x)n=limf(x)n ,定理 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么,(1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB,二個基本的函數(shù)極限：,求極限舉例,討論,提示,例1,解,例2,解,解,例3,解,例4,根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系得,因為,先用x3去除分子及分母 然后取極限,解,先用x3去除分子及分母 然后取極限,例5,解:,例6,討論,提示,例7,解,所以,解 當(dāng)x時 分子及分母的極限都不存在 故關(guān)于商

5、的極限的運算法則不能應(yīng)用,例8,是無窮小與有界函數(shù)的乘積,注意:,例9：求下列無理式極限,解,=4,練習(xí)：求下列極限,答案：-1，4，2，-1,復(fù)合函數(shù)的極限運算法則,設(shè)函數(shù)yfg(x)是由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成 fg(x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)u0 則,例9,思考；1. 計算極限,解：,2. 已知,（a=-7,b=6),內(nèi)容小結(jié),1. 極限運算法則,(1) 無窮小運算法則,(2) 極限四則運算法則,(3) 復(fù)合函數(shù)極限運算法則,注意使用條件,2. 求函數(shù)極限的方法,(1) 分式函數(shù)極限求法,時, 用代入