三角形三條高線交于一點(diǎn)的六種證明方法;

1、三角形三條高線交于一點(diǎn)的證明 證法一：運(yùn)用同一法證三條高兩兩相交的交點(diǎn)是同一點(diǎn)。已知：abc的兩條高be、cf相交于點(diǎn)o，第三條高ad交高bd于點(diǎn)q，交高cf于點(diǎn)p。求證：p、q、o三點(diǎn)重合證明：如圖，beac，cfabaeb = afc = 90又bae = cafabe acf，即abaf = acae又adbcaeq adc，afp adb，即acae = adaq，abaf = adapabaf = acae，acae = adaq，abaf = adapadaq = adapaq = ap點(diǎn)q、p都在線段ad上點(diǎn)q、p重合ad與be、ad與cf交于同一點(diǎn)兩條不平行的直線只有一個(gè)交點(diǎn)b

2、e與cf也交于此點(diǎn)點(diǎn)q、p、o重合。證法二：連結(jié)一頂點(diǎn)和兩高交點(diǎn)的線垂直于第三邊，運(yùn)用四點(diǎn)共圓性質(zhì)。已知：abc的兩條高ad、be相交于點(diǎn)o，第三條高cf交高ab于點(diǎn)f，連結(jié)co交ab于點(diǎn)f。求證：cfab。證明:adbc于d，beac于ea、b、d、e四點(diǎn)共圓1abe同理212abeabe+bac90，2+bac90即cfab。注：證法一和證法二是證明共點(diǎn)線的常用方法。證法三：證明兩條高的交點(diǎn)在第三條高線上，建立直角坐標(biāo)系運(yùn)用代數(shù)方法證明。證明：如圖6，以直線bc為x軸，高ad為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)a(0 , a) , b(b , 0) , c(c , 0),由兩條直線垂直的條件xcdo

3、yabfe則三條高的直線方程分別為：解（2）和（3）得 這說明be和cf得交點(diǎn)在ad上，所以三角形的三條高相交于一點(diǎn)。注：有時(shí)候考慮直角坐標(biāo)系這一有力的數(shù)形結(jié)合工具可以有效地解決問題。證法四：轉(zhuǎn)化為證明另一個(gè)三角形的三條中垂線（或中線）交于一點(diǎn)。已知：ad、be、cf是abc的三條高。求證：ad、be、cf相交于一點(diǎn)。證明：過點(diǎn)a、b、c分別作bc、ac、ab的平行線ml、mn、nl ambc，mbac 四邊形ambc是平行四邊形 ambc 同理，albc amal admlad是ml的垂直平分線同理，be、cf分別是mn、nl的垂直平分線而三角形的三條垂直平分線相交于一點(diǎn) ad、be、cf相

4、交于一點(diǎn)。注：三角形的三條中線（可中垂線、角平分線）相交于一點(diǎn)，這事實(shí)學(xué)生容易理解，也不難證明，把證明三角形的三條垂線相交于一點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為另一三角形的三條中線（中垂線）相交于一點(diǎn)，這種化陌生為熟悉、化難為易的轉(zhuǎn)化方法必須讓學(xué)生理解掌握。證法五：運(yùn)用錫瓦（ceva）定理證明。已知：ad、be、cf是abc的三條高。求證：ad、be、cf相交于一點(diǎn)。證明：如圖，adbc于e，beac于e abd cbf （1）同理，由adc bec得 ， （2）由afc aeb （3）三式相乘得 即ad、be、cf相交于一點(diǎn)。注：錫瓦定理是證明共點(diǎn)線的有力工具，雖然中學(xué)不作要求，但對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生不妨引導(dǎo)他們自己研究，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。錫瓦定理可以用梅涅勞（menelaus）定理證明，而梅涅勞定理可以由平行線分線段成比例定理輕松得到。在適當(dāng)情況下適當(dāng)?shù)膯l(fā)有利于學(xué)生思維的擴(kuò)散，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。證法六設(shè)abc，三條高線為ad、be、cf，ad與be交于h，連接cf。向量ha=向量a，向量hb=向量b，向量hc=向量c。因?yàn)閍dbc，beac，所以向量ha向量bc=0，向量hb向量ca=0，即向量a(向量c-向量b)=0，向量b(向量a-向量c)=0，亦即向量a向量c-向量a向量b