高中數(shù)學(xué)向量專題-概念+例題

1、高中數(shù)學(xué)向量專題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.掌握向量的加法和減法.掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件.2.掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練運(yùn)用，掌握平移公式.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件.3.了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，作為數(shù)形結(jié)合的有力工具，它的應(yīng)用極其廣泛，在復(fù)數(shù)、平幾、解幾、立幾、物理等知識(shí)中均有涉

2、及.本章在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了平面向量的概念及運(yùn)算的基礎(chǔ)上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解決問(wèn)題是本章特點(diǎn)的一個(gè)方面，向量本身具有數(shù)與形結(jié)合的雙重身份，這為解決問(wèn)題過(guò)程中充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法創(chuàng)造了條件.通過(guò)本章學(xué)習(xí)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.知識(shí)點(diǎn)1.向量的定義既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向線段表示. 表示從點(diǎn)A到B的向量(即A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量)，也可以用字母a、b、c等表示.(印刷用黑體a、b、c，書寫用、注意：長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量等為數(shù)量，位移、速度、力等為向量).2.向量的模所謂向量的大小，就是向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作或者.向量不能比較大小

3、，但向量的?？梢员容^大小.3.零向量與單位向量：長(zhǎng)度為0的向量稱為零向量，用表示. 向量的方向是不定的，或者說(shuō)任何方向都是向量的方向，因此向量有兩個(gè)特征：一長(zhǎng)度為0；二是方向不定.長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量.4.平行向量、共線向量方向相同或相反的非零向量稱為平行向量.特別規(guī)定零向量與任一向量都平行.因此，零向量與零向量也可以平行.根據(jù)平行向量的定義可知：共線的兩向量也可以稱為平行向量.例如與也是一對(duì)平行向量.由于任何一組平行向量都可移到同一直線上，故平行向量也叫做共線向量.例如，若四邊形ABCD是平行四邊形，則向量與是一組共線向量；向量與也是一組共線向量.5.相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫

4、做相等向量，若向量與向量相等，記作=.零向量與零向量相等，任意兩個(gè)相等的非零向量都可以用一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).重點(diǎn)難點(diǎn)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，應(yīng)該掌握：(1)理解向量、零向量、單位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的幾何表示，會(huì)用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共線向量的概念.例1 判斷下列各命題是否正確(1)若=，則=(2)若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，則=是四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件.(3)若=,=,則=(4)兩向量、相等的充要條件是(5)=是向量=的必要不充分條件.(6) =的充要條件是A與C重合，B與D重合.解：(1)不正確，兩個(gè)向量的長(zhǎng)

5、度相等，但它們的方向不一定相同.(2)正確.=,=且.又A、B、C、D是不共線的四點(diǎn).四邊形ABCD是平行四邊形，反之，若四邊形ABCD是平行四邊形則DC，且與方向相同，因此=.(3)正確.=，的長(zhǎng)度相等且方向相同；又=，的長(zhǎng)度相等且方向相同.，的長(zhǎng)度相等且方向相同，故 =(4)不正確.當(dāng),但方向相反，即使=，也不能得到=，故不是=的充要條件.(5)正確.這是因?yàn)?,但=,所以=是 =的必要不充分條件.(6)不正確.這是因?yàn)?時(shí)，應(yīng)有：=及由A到B與由C到D的方向相同，但不一定要有A與C重合、B與D重合.說(shuō)明：針對(duì)上述結(jié)論(1)、(4)、(5)，我們應(yīng)該清醒的認(rèn)識(shí)到，兩非零向、相等的充要條件應(yīng)

6、是、的方向相同且模相等.針對(duì)結(jié)論(3)，我們應(yīng)該理解向量相等是可傳遞的.結(jié)論(6)不正確，告訴我們平面向量與相等，并不要求它們有相同的起點(diǎn)與終點(diǎn).當(dāng)然如果我們將相等的兩向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn).則這時(shí)它們的終點(diǎn)必重合.例2 如圖所示，ABC中，三邊長(zhǎng)AB、BC、AC均不相等，E、F、D是AC，AB，BC的中點(diǎn).(1)寫出與共線的向量.(2)寫出與的模大小相等的向量.(3)寫出與相等的向量.解：(1)E、F分別是AC，AB的中點(diǎn)EFBC從而，與共線的向量，包括：，.(2)E、F、D分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)EF=BC,BD=DC= BC.又AB、BC、AC均不相等從而，與的模大小相等的向量是：、

7、(3)與相等的向量，包括：、.例3 判斷下列命題真假(1)平行向量一定方向相同.(2)共線向量一定相等.(3)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等的向量.(4)不相等的向量，則一定不平行.(5)非零向量的單位向量是.解：(1)假命題，還可以方向相反；(2)假命題，共線向量?jī)H方向相同或相反；大小不一定相等；(3)真命題，因?yàn)橄蛄颗c起點(diǎn)位置無(wú)關(guān)；(4)假命題，因?yàn)槿?方向相同，但只要，則.(5)真命題，任一非零向量：的單位向量為.例4 如圖，已知：四邊形ABCD中，N、M分別是AD、BC的中點(diǎn)，又=.求證：=，證明：=AB=DC，且ABDC.從而，四邊形ABCD是平行四邊形.ADBC，AD

8、=BCN、M分別是AD、BC的中點(diǎn).AN=AD,MC=BC.AN=MC.又ANMC，四邊形AMCN是平行四邊形.于是得：AMNC，AM=NC.又由圖可知：與的方向一致.=【難題巧解點(diǎn)拔】例1 如圖，已知四邊形ABCD是矩形，O是兩對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集M=A,B,C,D,O、向量的集合T=任P，QM，且P、Q不重合，試求集合T的子集個(gè)數(shù).分析：要確定向量為元素的集合T有多少個(gè)子集，就需搞清楚集合T中有多少個(gè)相異的向量.解：以矩形ABCD的四頂點(diǎn)及它的對(duì)角線交點(diǎn)O，五點(diǎn)中的任一點(diǎn)為起點(diǎn)，其余四點(diǎn)中的一點(diǎn)為終點(diǎn)的向量共有20個(gè)，但是這20個(gè)向量不是各不相等的，我們下面將這20個(gè)向量一一列舉

9、出來(lái)：=、=;=、=;、；、；=、=;=、=.它們中有12個(gè)向量是各不相等的.故T是一個(gè)12元集.所以T有212個(gè)子集.說(shuō)明：在上述解題過(guò)程中，我們一定要根據(jù)集合元素的互異性.算出T中的元素個(gè)數(shù)為12.而不是20.這樣才能得到正確的結(jié)果.例2 已知；如圖，點(diǎn)D在ABC的邊BC上，且與B、C不重合，E、F分別在AB、AC上，=.(1)求證：BDEDCF.(2)求當(dāng)D在什么位置時(shí)，四邊形AEDF的面積可以取到最大值?證明：(1)=DFAE，DF=EA.從而，得：四邊形AEDF是平行四邊形DEAF，DE=AF由DEAF可得：BDE=C由DFAE可得：B=FDCBDEDCF(2)設(shè)BC=a,AC=b,

10、AB=c,BD=x,則DC=a-x.BDEDCF.=從而，=，設(shè)比為k1.=，設(shè)比為k2.由BE+DF=c,ED+FC=b.可得：xk1+(a-x)k1=c,k1=.xk2+(a-x)k2=b,k2=.DF=(a-x)DE=x由點(diǎn)F作FTAB，垂足為T由銳角三角函數(shù)，F(xiàn)T=AFsinA=xsinASAEDF=DFFT=(a-x)xsinA= (ax-x2)sinA=-(x-)2sinAsinA當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，等號(hào)成立.答：D是BC邊的中點(diǎn)時(shí)，SAEDF取到最大值.例3 如圖A1，A2，A8是O上的八個(gè)等分點(diǎn)，則在以A1，A2A8及圓心O九個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中，模等于半徑的向量有多

11、少個(gè)?模等于半徑倍的向量有多少個(gè)?分析：(1)由于A1、A2A8是O上的八個(gè)等分點(diǎn)，所以八邊形A1A2A8是正八邊形，正八邊形的邊及對(duì)角線長(zhǎng)均與O的半徑不相等.所以模等于半徑的向量只可能是與 (i=1,2,，8)兩類.(2)O內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)是半徑的倍，所以我們應(yīng)考慮與圓心O形成90圓心角的兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量個(gè)數(shù).解：(1)模等于半徑的向量只有兩類，一類是 (i=1,2，8)共8個(gè)；另一類是 (i=1,2,8)也有8個(gè)，兩類合計(jì)16個(gè).(2)以A1，A2，A8為頂點(diǎn)的O的內(nèi)接正方形有兩個(gè)，一是正方形A1A3A5A7；另一個(gè)是正方形A2A4A6A8.在題中所述的向量中，只有這兩個(gè)正方形的邊(看成有

12、向線段，每一邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量)的長(zhǎng)度為半徑的倍.所以模為半徑倍的向量共有422=16個(gè).說(shuō)明：(1)在模等于半徑的向量個(gè)數(shù)的計(jì)算中，要計(jì)算與 (i=1，2，8)兩類，一般我們易想到 (i=1,2,，8)這8個(gè)，而易遺漏 (i=1，2，8)這8個(gè).(2)圓內(nèi)接正方形的一邊對(duì)應(yīng)了長(zhǎng)為的兩個(gè)向量.例如邊A1A3對(duì)應(yīng)向量與.因此與(1)一樣，在解題過(guò)程中主要要防止漏算.認(rèn)為滿足條件的向量個(gè)數(shù)為8是錯(cuò)誤的.【命題趨勢(shì)分析】本節(jié)著重考查對(duì)向量的概念的理解，高考中將會(huì)以選擇題、填空題形式命題.【典型熱點(diǎn)考題】例1 給出下列3個(gè)命題：(1)單位向量都相等；(2)單位向量都共線；(3)共線的單位向量必相等.其中真

13、命題的個(gè)數(shù)是( )A.0 B.1 C.2 D.3分析：本題考查單位向量和共線向量的概念及它們之間的聯(lián)系等基礎(chǔ)知識(shí)，增加了考點(diǎn)，加大了難度.因?yàn)椴煌膯挝幌蛄坑胁煌姆较?，所?1)和(2)較易判斷是假命題.因?yàn)楣簿€的單位向量有可能方向相反，它們不一定相等，所以(3)也是假命題.選A.例2 如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形.(1)與向量相等的向量有 ；(2)若=3，則向量的模等于 .分析：本題考查用向量的觀點(diǎn)對(duì)平面圖形進(jìn)行初步判斷的能力，是容易題，由條件，可得=且=，所以=.于是E、D、C三點(diǎn)共線，故=+=2=6.答：(1) ，；(2)6例3 下列命題中，正確的是( )A.=B.C.

14、 =D.=0=0解：由向量的定義知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量、數(shù)字0是兩個(gè)不同的概念，零向量是不等于數(shù)字0的.應(yīng)排除D，應(yīng)選C.例4 下列四個(gè)命題：若=0,則=0；若=,則=或=-；若與是平行向量，則=；若=，則-=正確命題個(gè)數(shù)是( )A.1 B.2 C.3 D.4分析：是忽略了0與不同，由于=0=,但不能寫成0；是對(duì)兩個(gè)向量的模相等與兩個(gè)實(shí)數(shù)相等混淆了，兩個(gè)向量的模相等，只能說(shuō)明它們的長(zhǎng)度相同，并不意味它們的方向相同或相反；是對(duì)兩個(gè)向量平行的意義理解不透，兩個(gè)向量平行，只是這兩個(gè)向量的方向相同或相反，而它們的模不一定相等；正確，故選A.強(qiáng)化練習(xí)：一、選擇題

15、1.下列命題中的假命題是( )A.向量與的長(zhǎng)度相等B.兩個(gè)相等向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同C.只有零向量的模等于0D.共線的單位向量都相等2.如圖，在圓O中，向量，是( )A.有相同起點(diǎn)的向量 B.單位向量C.相等的向量D.模相等的向量 3.如圖，ABC中，DEBC，則其中共線向量有( )A.一組B.二組C.三組D.四組4.若是任一非零向量，是單位向量，下列各式；0；=1；=，其中正確的有( )A.B.C.D.5.四邊形ABCD中，若向量與是共線向量，則四邊形ABCD( )A.是平行四邊形B.是梯形C.是平行四邊形或梯形D.不是平行四邊形，也不是梯形6.把平面上所有單位向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)，那

16、么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是( )A.一條線段B.一個(gè)圓面C.圓上的一群弧立點(diǎn)D.一個(gè)圓7.若，是兩個(gè)不平行的非零向量，并且, ，則向量等于( )A. B. C. D. 不存在8.命題p：與是方向相同的非零向量，命題q: 與是兩平行向量，則命題p是命題q的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件二、判斷題1.向量與是兩平行向量.( )2.若是單位向量，也是單位向量，則=.( )3.長(zhǎng)度為1且方向向東的向量是單位向量，長(zhǎng)度為1而方向?yàn)楸逼珫|30的向量就不是單位向量.( )4.與任一向量都平行的向量為向量.( )5.若=,則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形.

17、( )6.兩向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同.( )7.設(shè)O是正三角形ABC的中心，則向量的長(zhǎng)度是長(zhǎng)度的倍.( )8.已知四邊形ABCD是菱形，則=是菱形ABCD為正方形的充要條件.( )9.在坐標(biāo)平面上，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)的單位向量的終點(diǎn)P的軌跡是單位圓.( )10.凡模相等且平行的兩向量均相等.( )三、填空題1.已知，為非零向量，且與不共線，若，則與必定 .2.已知=4,=8，AOB=60，則= .3.如圖，已知O是正六邊形的中心，則在圖中所標(biāo)出的各向量中，模等于該正六邊形邊長(zhǎng)的向量共有 個(gè). 4.如圖所示，四邊形ABCD與ABDE都是平行四邊形，則與向量共線的向量有 ；若

18、=1.5,則= .5.已知四邊形ABCD中，=,且=,則四邊形ABCD的形狀是 .四、解答題1.如圖，在ABC中，已知：向量=,=,求證：=.2.在直角坐標(biāo)系中，將所有與y軸共線的單位向量的起點(diǎn)移到x軸上，其終點(diǎn)的集合構(gòu)成什么圖形?【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】1.已知、是任意兩個(gè)向量，下列條件：=;=;與的方向相反；=或=;與都是單位向量.其中，哪些是向量與共線的充分不必要條件 .2.已知ABCD是等腰梯形，ABDC，下列各式：=;=;=;.正確的式子的序號(hào)是 .3.不相等的向量和，有可能是平行向量嗎?若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若有可能，請(qǐng)把各種可能的情形一一列出.4.下列各組量是不是向量?如果是向量，說(shuō)明這些向量之間有什么關(guān)系?(1)兩個(gè)三角形的面積S1，S2；(2)桌面上兩個(gè)物體各自受到的重力F1，F(xiàn)2；(3)某人向河對(duì)岸游泳的速度v1與水流的速度v2