23785數(shù)學(xué)奧林匹克題解C幾[共7頁]

1、C4-011 現(xiàn)有邊長分別為3、4、5的三角形兩個，邊長分別為4、三角形為面，可以拼出多少個四面體？【題說】 1987年全國聯(lián)賽一試題2（4）原題為填空題【解】 顯然前兩種三角形為直角三角形，第三種為鈍角三角形將BCD繞CD旋轉(zhuǎn)到面ACD上成為B1CD這時四邊形AB1CD是等腰梯形，設(shè)它的高為h，易知所以AB1是以CD為軸的圓柱的母線，B在底面圓周上，所以ABAB1成四面體CBD與B-ADC為三面角不合因此AB應(yīng)當(dāng)為3，這樣的四面體存在，事實上，先作BCA使AB=3，BC=5，AC=4，再作面BCA的垂3、4、5的三角形各兩個拼成如果四面體ABCD的棱CD=5，AC=BD=4，BC=AD=3，

2、那么與上面同樣的理由，AB5所以拼成的四面體只有一種C4-013 求以長方體8個頂點中的任意3個為頂點的所有三角形中，銳角三角形的個數(shù)【題說】 1989年全國聯(lián)賽一試題1（4）原題為選擇題【解】 以長方體8個頂點中的任意3個為頂點的三角形共有以長方體的每個頂點為直角頂點的三角形都是6個，所以在56個三角形中共有68=48個直角三角形，從而，銳角三角形的個數(shù)為8別解 對每個頂點，與它有棱相連的三個頂點組成銳角三角形C4-014 已知正三棱錐S-ABC的高SO=3，底面邊長為6，過A點向它所對的側(cè)面SBC作垂線，垂足為O，在AO上取一點P，使AP/PO=8，求經(jīng)過P點且平行于底面的截面的面積【題說

3、】 1989年全國聯(lián)賽一試題4【解】 如圖，平面SAO交BC于D，則SOAD，BC平面ADS，所以AO在平面ADS上設(shè)AOSO=P，SDA=，在SOD中，tan=SO/OD=AP=8AO/（8+1）=4=AP故P與P重合，PO=APcos=2設(shè)所求截面面積為S1，則S1/SABC=（SP/SO）2=1/9C4-015 若干棱長為2、3、5的長方體，依相同的方向拼成棱長為90的正方體求正方體的一條對角線貫穿小長方體的個數(shù)【題說】 1990年日本第1輪選拔賽題6【解】 因2、3、5的最小公倍數(shù)是30，故所求貫穿長方體的個數(shù)等于棱長為30的正方體的對角線貫穿長方體個數(shù)的3倍所以，棱長為90的正方體中

4、對角線貫穿小長方體的個數(shù)是66個C4-016 用4塊腰長為a，上、下底邊各為a、2a的等腰梯形硬紙片和兩塊平面多邊形硬紙片圍成一個六面體，求這個六面體的體積【題說】 第一屆（1990）希望杯高二二試題3（2）一是擬柱：如圖，在面AAB內(nèi)作AEAB，又作AH底面則在RtAEA中上、下底面面積S=S=2a2C4-017 設(shè)正三棱錐P-ABC的高為PO，M為PO的中點過AM作與棱BC平行的平面，將三棱錐截為上、下兩部分，試求此兩部分體積之比【題說】 1991年全國聯(lián)賽一試題3【解】 設(shè)過AM平行于BC的平面與棱PB、PC分別交于E、F，則EFBC，又設(shè)D為BC的中點，連接PD交EF于G，則EFBC=

5、PGPD因為A到平面PBC的距離即A到平面PEF的距離，所以在PDA中，過O點作PD的平行線交AG于N，則PGGD=ONGD=AOAp=23，PGPD=25，故VP-AEF/VP-ABC=4/25因此，所求的上、下兩部分體積之比為4/25C4-018 設(shè)l、m是兩異面直線，在l上有A、B、C三點，且AB=BC過A、B、C分別作m的垂線AD、BE、CF，垂足分別為【題說】 1992年全國聯(lián)賽一試題2【解】 過m作平面l，設(shè)l在內(nèi)的射影為l，A、B、C在內(nèi)的射影分別為A、B、C，則A、B、Cl在平面上，由三垂線定理，點A、B、C在直線m上的射影即分別為D、E、F從而ADBECF又設(shè)m與l交點為M在

6、l與l所成平面內(nèi)，過M作MLl交l于L，則LM即為l與m的距離且LM AA BB CC設(shè)LM=x，則AA=BB=CC=x因為AB=BC，所以AB=BC，DE=EF若A、B、C在L同旁，則有2BE=AD+CF，從而若A、B、C不同在L同旁，則有方程無解C4-019 設(shè)a，b，c，d，e，f是一個給定的四面體的六條棱長，S是它的表面積，求證：【題說】 1992年捷克和斯洛伐克數(shù)學(xué)奧林匹克（最后一輪）題2圖所示的四面體ABCD，有將上面四式相加，得首頁學(xué)科資源欄目學(xué)科教學(xué)資源初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)題集數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題解精編C 平面幾何C4 立體幾何求解C4-020加到收藏夾添加相關(guān)資源C4-020 設(shè)四面體ABCD的體積為V，E為棱AD的中點，F(xiàn)在AB