圓與圓的位置關(guān)系

1、 第三講 直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系教學(xué)目標(biāo)1.掌握直線與圓的三種位置關(guān)系及其相應(yīng)數(shù)量關(guān)系的特征，通過分析將直線與圓的各種位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，體會(huì)數(shù)量分析的研究方法以及量變引起質(zhì)變的觀點(diǎn).2.掌握?qǐng)A的切線的判定定理.3.理解圓與圓的位置關(guān)系及其有關(guān)概念，初步掌握?qǐng)A與圓各種位置關(guān)系相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系的特征，會(huì)進(jìn)行“圓與圓的位置關(guān)系”、“兩圓圓心距與這兩圓半徑長(zhǎng)之和或差的大小關(guān)系”這兩者之間的相互轉(zhuǎn)化，并能初步運(yùn)用這些知識(shí)解決有關(guān)問題.4.掌握兩圓相切和相交的連心線性質(zhì)定理.教學(xué)重點(diǎn)1.直線和圓的位置關(guān)系的判定方法和性質(zhì).2.兩圓的五種位置關(guān)系中的圓心距與兩圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系.

2、3.相交、相切兩圓的性質(zhì)及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)1.探索直線與圓的位置關(guān)系中圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系并運(yùn)用相關(guān)結(jié)論解決有關(guān)問題.2.探索圓和圓的位置關(guān)系中兩圓圓心距與兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系并運(yùn)用相關(guān)結(jié)論解決有關(guān)問題.教學(xué)方法建議總結(jié)歸納，啟發(fā)誘導(dǎo)，講練結(jié)合，鞏固優(yōu)化.第一部分 知識(shí)梳理一 .直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的三種位置關(guān)系如圖，設(shè)O的半徑為r ，圓心O到直線的距離為d，得出直線和圓的三種位置關(guān)系：（1）直線和O相離 此時(shí)：直線和圓沒有公共點(diǎn)（2）直線和O相切 此時(shí):直線和圓有唯一公共點(diǎn)，這時(shí)的直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)（3）直線和O相交 此時(shí):直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)的直

3、線叫做圓的割線lll（1）（2）（3）OOO2. 切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的性質(zhì):（1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）圓心到切線的距離等于半徑；（3）圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.切線的識(shí)別:（1）如果一條直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線是圓的切線.（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.（3）經(jīng)過半徑的外端且垂直與這條半徑的直線是圓的切線.證明直線是圓的切線的兩種情況:（1）當(dāng)不能說明直線與圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)用“圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)”來(lái)判定直線與圓相切.（2）當(dāng)已知直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)用判定定理，即“經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓

4、的切線”，簡(jiǎn)單地說，就是“聯(lián)半徑，證垂直”.二. 圓與圓的位置關(guān)系1. 圓與圓的五種位置關(guān)系在同一個(gè)平面內(nèi)，兩個(gè)不等的圓的位置關(guān)系共有五種:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.圓心距：兩圓圓心的距離叫做圓心距.設(shè)兩圓的圓心距為，半徑為，則有：（1）外離：沒有公共點(diǎn) ，兩圓外離 （2）外切：有唯一的公共點(diǎn)，兩圓外切（3）相交：有兩個(gè)公共點(diǎn)， 兩圓相交（4）內(nèi)切：有唯一的公共點(diǎn)，兩圓內(nèi)切（5）內(nèi)含：沒有公共點(diǎn)，兩圓內(nèi)含 （1） （2） （3） （4） （5）2. 相切兩圓的性質(zhì)連心線：經(jīng)過兩個(gè)圓的圓心之間的直線.相切兩圓的性質(zhì)：相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn).注 ：當(dāng)兩圓相切時(shí)分為兩種情況：外切和內(nèi)切. 3.

5、相交兩圓的性質(zhì)相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦注 ：當(dāng)兩圓相交時(shí)分為兩種情況：圓心在公共弦的同側(cè)和圓心在公共弦的兩側(cè). 第二部分 例題精講例 1 如圖，已知中，C=90，AC=3，BC=4（1）圓心為點(diǎn)C、半徑長(zhǎng)R為2的圓與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？（2）圓心為點(diǎn)C、半徑長(zhǎng)R為4的圓與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？（3）如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線AB有公共點(diǎn)，求C的半徑R的取值范圍.ABC出題意圖：考查直線與圓的位置關(guān)系.解析：利用圓心到直線的距離與半徑比較即可得出圓與直線的位置關(guān)系.答案： 解：在中，C=90，AC=3，BC=4.由勾股定理，得AB=5.設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為d

6、，則 即 解得 d=2.4.（1）2.42，即dR 半徑長(zhǎng)R為2的C與直線AB相離.（2）2.44，即dR，半徑長(zhǎng)R為4的C與直線AB相交.（3）如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線AB有公共點(diǎn)，那么C與直線AB相切或相交.當(dāng)R2.4時(shí)，C與直線AB有公共點(diǎn).針對(duì)訓(xùn)練 1已知中，ABC=90，AB=3，BC=4，以B為圓心作B.（1）若B與斜邊AC只有唯一一個(gè)公共點(diǎn)，求B的半徑長(zhǎng)R的取值范圍.ACB（2）若B與斜邊AC沒有公共點(diǎn)，求B的半徑長(zhǎng)R的取值范圍.例 2 已知：直線AB經(jīng)過O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CACB求證：直線AB是O的切線出題意圖：考查切線的判定定理.解析：欲證AB是O的切線,由于AB

7、過圓上點(diǎn)C,若連結(jié)OC,則AB過半徑OC的外端,只需證明OCAB即可.答案：證明：連結(jié)0C0A0B，CACB0C是等腰三角形0AB底邊AB上的中線ABOC 直線AB經(jīng)過半徑0C的外端C，并且垂直于半徑0CAB是O的切線針對(duì)訓(xùn)練 2如圖，AC是O的弦，AC=BC=OC.求證：AB是O的切線.ACB例3 如圖，已知A、B、C兩兩外切，且AB=3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米，求這個(gè)三個(gè)圓的半徑長(zhǎng).出題意圖： 考查圓與圓的位置關(guān)系.解析：利用外切兩圓的圓心距等于半徑之和即可.答案：解：設(shè)A、B、C的半徑長(zhǎng)分別為x厘米、y厘米、z厘米.A、B、C兩兩外切，AB xy，BCyz，CAzx.根據(jù)題意，得

8、關(guān)于x、y、z的方程組 解得A、B、C的半徑長(zhǎng)分別為2厘米、1厘米、4厘米.針對(duì)訓(xùn)練 3如圖，O的半徑為5厘米，點(diǎn)P是O外一點(diǎn)，OP=8厘米.求：（1）以P為圓心作P與O外切，小圓P的半徑是多少？（2）以P為圓心作P與O內(nèi)切，大圓P的半徑是多少？ 例4 相交兩圓的公共弦長(zhǎng)為6，若兩圓半徑分別為8和5，求兩圓的圓心距.出題意圖： 考查相交兩圓的性質(zhì).解析：兩圓相交要考慮兩種情況：（1）圓心在公共弦的同側(cè)，此時(shí)圓心距等于兩條弦心距之和；（2）圓心在公共弦的兩側(cè)，此時(shí)圓心距等于兩條弦心距之差的絕對(duì)值.答案： 解：圓心在公共弦的兩側(cè) 為AB的垂直平分線AB，AC=CB圓心在公共弦的同側(cè)由可得：，針對(duì)訓(xùn)

9、練 4已知和相交于A、B兩點(diǎn)，P是連心線與的交點(diǎn)，PA、PB的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)C、D.求證：例5 如圖，與內(nèi)切于點(diǎn)P，經(jīng)過上點(diǎn)Q的切線與相交于A、B兩點(diǎn)，直線PQ交于點(diǎn)R.求證：出題意圖： 考查相切兩圓的性質(zhì).解析： 利用相切兩圓的性質(zhì)：兩圓相切，連心線過切點(diǎn).本題中過兩個(gè)圓心作一條直線，則這條之間直線必過點(diǎn)P，然后利用圓中的相關(guān)知識(shí)即可解答.答案： 證明：聯(lián)結(jié)、，作直線. 與內(nèi)切于點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)P，與相切與點(diǎn)Q.針對(duì)訓(xùn)練 5如圖，與外切于點(diǎn)P，經(jīng)過上點(diǎn)Q的切線與相交于A、B兩點(diǎn)，直線PQ交于點(diǎn)R.求證：例6 在中，點(diǎn)、在BC上，、外切于點(diǎn)P. 與AB相切于點(diǎn)D，與AC相離；與AC相切于點(diǎn)E，與A

10、B相離.（1）求證：DPAC.（2）設(shè)的半徑長(zhǎng)為x，的半徑長(zhǎng)為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域.出題意圖：考查圓與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用解析： 利用等腰三角形的性質(zhì)和圓與圓的位置關(guān)系，可推導(dǎo)出第一問的結(jié)論，再結(jié)合銳角三角比的知識(shí)推出函數(shù)解析式，在考慮定義域的時(shí)候要考慮到相關(guān)動(dòng)點(diǎn)的臨界位置問題，這是個(gè)難點(diǎn)，需要多加注意.答案： 解：（1）聯(lián)結(jié)與AB相切于點(diǎn)D （2）聯(lián)結(jié)，則，作于H.同理當(dāng)與重合時(shí)，與相切，此時(shí)當(dāng)與重合時(shí)，與相切，此時(shí)針對(duì)訓(xùn)練 6在中，圓A的半徑長(zhǎng)為1，若點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B、C不重合），設(shè)BO=x，的面積為y.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域.（2

11、）以點(diǎn)O為圓心、BO為半徑作圓O，求當(dāng)圓O與圓A相切時(shí)，的面積.第三部分 優(yōu)化作業(yè)基礎(chǔ)訓(xùn)練題（A）1. 下列直線中，不能判定為圓的切線的是 （ ）A.與圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線；B.與圓心的距離等于半徑長(zhǎng)的直線；C.過半徑的端點(diǎn)且與該半徑垂直的直線；D.過直徑的端點(diǎn)且與該直徑垂直的直線.2. 已知的直徑等于12cm，圓心O到直線的距離為5cm，則直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D.無(wú)法確定3. 的半徑為3厘米，的半徑為2厘米，圓心距=5厘米，這兩圓的位置關(guān)系是（ ）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切 C.相交 D.外切4.已知兩圓的直徑分別為6cm和10cm，當(dāng)兩圓外切時(shí)，它們的圓心距d的

12、大小是（ ）A. B. C. D. 5.已知線段AB=3cm，的半徑為4cm，若與相切，則的半徑為 cm.6.如圖，AB與相切于點(diǎn)C，OA=OB，若的直徑為8cm，AB=10cm，那么OA的長(zhǎng)是 cm.7.設(shè)的半徑為r，圓心O到直線a的距離為d，若d=r，則直線a與的位置關(guān)系是 .8.兩圓的直徑分別為3+r和3-r，若它們的圓心距為r,則兩圓的位置關(guān)系為 .9.已知、的半徑長(zhǎng)分別是3cm、5cm，如果與內(nèi)含，那么圓心距d的取值范圍為 .10.兩圓的半徑之比為5:3，如果當(dāng)它們外切時(shí)，圓心距長(zhǎng)為16，那么當(dāng)它們內(nèi)切時(shí)，圓心距長(zhǎng)為 .11.已知和的半徑為方程的兩個(gè)根，若，試判斷和的位置關(guān)系.12.

13、如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，CDAD，AD+BC=AB.求證：以AB為直徑的 與CD相切.13.如圖，OA=OB=8，OAOB，以O(shè)為圓心、OA為半徑作，與以O(shè)A為直徑的相切于點(diǎn)E，與相切于F，與OB相切于D，求的半徑長(zhǎng). 14.如圖，已知A是、的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P是的中點(diǎn).過點(diǎn)A的直線MN垂直于PA，交、于M、N.求證：AM=AN.15.已知和相交于A、B兩點(diǎn)，公共弦與連心線相交于點(diǎn)G，若AB=48，的半徑，的半徑.求的面積.提高訓(xùn)練題（B）1. 已知的半徑為2，直線上有一點(diǎn)P滿足PO=2，則直線與的位置關(guān)系是（ ）A.相切 B.相離 C. 相離或相切 D.相切或相交2. 已知 三邊分

14、別是，兩圓的半徑，圓心距，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是（ ）A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.內(nèi)含3.兩圓的半徑長(zhǎng)度分別為R和r，兩圓心間的距離為d，如果將長(zhǎng)度分別為R、r、d三線段首尾相接可以圍成一個(gè)三角形，則兩圓的位置關(guān)系是 .4.兩個(gè)半徑都等于2cm的和的圓心距，則與這兩個(gè)圓都相切，且半徑為3cm的圓有 個(gè).5.中，B=90，A的平分線交BC于D，E為AB上一點(diǎn)，DE=DC,以D為圓心、DB為半徑作圓D.（1）求證：AC是圓D的切線；（2）求證：AB+EB=AC. 6. 如圖，正方形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，以E為圓心，EC為半徑的半圓與以A為圓心，AB為半徑的圓弧外切，求tanEAB的值

15、. 7. 如圖，點(diǎn)在的直徑的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，.（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為3，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留） 8.如圖，已知ABC中，C=90，AC=12，BC=8，以AC為直徑作，以B為圓心，4為半徑作.求證：與相外切.9.如圖，已知與交于B、C兩點(diǎn)，A在上，AD是的直徑，AD交BC于M，AE是的弦，AE交BC于N.若AM=4cm，AN =6cm，AE=24cm，求的半徑. 10.如圖，AB為半圓O的直徑，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到與半圓O相切的位置PC，這時(shí)切點(diǎn)為E，AC與半圓相交于點(diǎn)D.（1）求證：；（2）若CD=2AD，求CE:EP 的值；（3）若E是PC的中點(diǎn)，求A

16、D：DC的值.綜合遷移題（C） 1. 如圖，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，（ab），以C為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑作圓弧交BC于E，以B為圓心、BE長(zhǎng)為半徑作圓弧交AB于F，以A為圓心、AF為半徑作圓弧恰與弧DE相切.求的值.2. 已知，如圖所示，圓O1與圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)的弦分別交兩圓于C、D，弦CE/DB，連結(jié)EB，試判斷EB與圓O2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.3.在中，AC=3，AB=4，O是BC上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)，過作的切線交AB邊于點(diǎn)E，連BD，設(shè)OC=x，的面積為y.求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.4. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，為原點(diǎn)，點(diǎn)

17、的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），直線軸（如圖7所示）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線（為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，且與直線CM相交于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OD（1）求的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)P在軸的正半軸上，若POD是等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如果以PD為半徑的與外切，求的半徑CMOxy1234A1BD參考答案：針對(duì)訓(xùn)練1. （1） （2）2. 通過等邊對(duì)等角和三角形的內(nèi)角和定理可以推出OAB=90即可得出答案.3.（1）P1的半徑是3cm （2）P2的半徑是13cm4. 利用相交兩圓公共弦的定理以及同圓弦心距相等則弦所對(duì)的劣弧相等即可得出答案.5. 利用兩圓相切連心線過切點(diǎn)的定理即可解答

18、.6.（1） （2）（提示：第二問要考慮圓A和圓O外切、內(nèi)切兩種情況）基礎(chǔ)訓(xùn)練題（A）1. C2. C 3. D4. A5. 1cm或7cm6. 7. 相切8. 內(nèi)切9. 10. 411. 兩圓內(nèi)含.（提示：算出半徑之和和半徑之差的絕對(duì)值，然后與圓心距比較即可）12. 證明略.（提示：過點(diǎn)O做OECD于點(diǎn)E，證得OE等于圓的半徑OA即可）13. 半徑長(zhǎng)為2.（提示：聯(lián)結(jié)各個(gè)圓心距，利用相切兩圓的性質(zhì)和勾股定理即可）14. 證明過程略.（提示：過兩個(gè)圓心分別向MN作垂線，再利用圓中的知識(shí)即可）15. 600或168.（提示：分圓心在公共弦的同側(cè)和圓心在公共弦的兩側(cè)兩種情況）提高訓(xùn)練題（B）1. D 2. A 3. 相交4. 45.證明過程略（提示：（1）向AC作垂線，用圓心到直線的距離等于半徑來(lái)判定直線與圓相切.（2）通過證三角形全等，將邊轉(zhuǎn)化，從而可以得出結(jié)論.）6. =7. （1）證明略（2）8. 證明過程略（提示：聯(lián)結(jié)B