高中數(shù)學(xué) 2.4 逆變換與逆矩陣 2.4.2 二階矩陣與二元一次方程組教學(xué)案 蘇教版選修4-2

1、24.2二階矩陣與二元一次方程組1把稱(chēng)為二階行列式，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)值，記為det(A)adbc.2方程組寫(xiě)成矩陣形式為AZB，其中A，稱(chēng)為系數(shù)矩陣，Z，B，當(dāng)A可逆時(shí)，方程組有唯一解，當(dāng)A不可逆時(shí)，方程組無(wú)解或有無(wú)數(shù)組解3對(duì)于方程組，令D，Dx，Dy，當(dāng)D0時(shí)，方程組有唯一組解，為x，y.4對(duì)于方程組，令D，當(dāng)D0時(shí)，此方程組有非零解5二階矩陣A可逆的充要條件是det(A)0且A1.求行列式的值例1求的最大值(其中R)思路點(diǎn)撥利用行列式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值精解詳析(2)(58)(22)(35)266(3)233，的最大值為3.(1)矩陣A與它的行列式det(A)的意義是不同的矩陣A

2、不是一個(gè)數(shù)，而是4個(gè)數(shù)按順序排列成的一個(gè)數(shù)表，行列式det(A)是由矩陣A算出來(lái)的一個(gè)數(shù)，不同的矩陣可以有相同的行列式的值(2)adbc，它是位于兩條對(duì)角線上的元素的乘積之差1計(jì)算下列行列式的值：(1)；(2)解：(1)6(3)(5)28；(2)cos2 (sin2 )1.2若，求xy的值解：x2y22xyxy0.利用行列式求可逆矩陣的逆矩陣?yán)?已知A，B，判斷AB是否可逆，若可逆求出逆矩陣思路點(diǎn)撥利用矩陣可逆的充要條件求解精解詳析AB .因det(AB)1980，故AB可逆，(AB)1.已知矩陣A，利用行列式求矩陣A的逆矩陣的步驟如下：(1)首先計(jì)算det(A)adbc，當(dāng)det(A)0時(shí)，

3、逆矩陣存在(2)利用A1，求出逆矩陣A1.3判斷下列矩陣是否可逆，若可逆，求出逆矩陣(1)；(2)；(3).解：(1)二階行列式1120，所以矩陣可逆，逆矩陣為.(2)二階行列式10，所以矩陣可逆，逆矩陣為.(3)二階行列式a，當(dāng)a0時(shí)，矩陣不可逆，當(dāng)a0時(shí)，矩陣可逆，逆矩陣為.4若矩陣A存在逆矩陣，求x的取值范圍解：據(jù)題意det(A)0，即0.3x2540.x3.故x的取值范圍是x|xR且x3.二元一次方程組的行列式解法及矩陣解法例3分別利用行列式及逆矩陣解二元一次方程組思路點(diǎn)撥求出相應(yīng)行列式的值，利用x，y求解，或求出方程組對(duì)應(yīng)的逆矩陣，利用逆矩陣法求解精解詳析法一：(行列式解法)D122

4、10，Dx4610，Dy9110，故方程組的解為法二：(逆矩陣解法)已知方程組可以寫(xiě)成矩陣形式 .令M，則其行列式det(M)34(1)(2)100，所以矩陣M存在逆矩陣M1，且M1，這樣M1 .即方程組的解為利用逆矩陣解二元一次方程組的步驟為：(1)將二元一次方程組化成標(biāo)準(zhǔn)形式并寫(xiě)成矩陣形式(2)判定系數(shù)矩陣是否可逆，即看是否為零若可逆則二元一次方程組有唯一解，若不可逆，方程組無(wú)解或解不唯一(3)若可逆，求逆矩陣：(4)利用矩陣乘法求解：即計(jì)算.5利用行列式解下列方程組：(1)(2)解：(1)因?yàn)镈34(3)(1)90，此方程組存在唯一解又Dx14(3)313，Dy331(1)10.所以x，

5、y.故該方程組的解為(2)先將方程組改寫(xiě)成一般形式因?yàn)镈20，此方程組存在唯一解又Dx6，Dy4，所以x3，y2.故該方程組的解為含參的齊次線性方程組解的討論例4m為何值時(shí)，二元一次方程組 m有非零解？思路點(diǎn)撥先求出方程組對(duì)應(yīng)行列式，利用行列式值為0時(shí)方程組有非零解求解精解詳析二元一次方程組 m，即為，即即 .當(dāng)0，即(3m)(4m)20時(shí)，方程組有非零解當(dāng)m時(shí)，方程有非零解齊次線性方程組有非零解的充要條件為對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例，即，此時(shí)，該齊次線性方程組的一組非零解為.6齊次線性方程組存在非零解嗎？如果存在，求出一組非零解解：因D440，所以存在非零解其中一組非零解為.7若關(guān)于x，y的二元一次方程

6、組有非零解，求m的值解：D334m，令D0，則得m.1求下列行列式的值：(1)；(2).解：(1)35(1)215217.(2)28(72)2872100.2已知矩陣不可逆，求函數(shù)f(x)ax27x4的最小值解：矩陣不可逆，ax31a30，即a3，f(x)3x27x43(x2x)433(x)2.當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)有最小值.3已知矩陣A，X，B，解方程AXB.解：因?yàn)閨A|10，所以A的逆矩陣存在，且A1，所以XA1B.4已知二元一次方程組AZB，其中A是可逆矩陣，B，試證明該方程組的解只能是.證明：因?yàn)锳是可逆矩陣，則原方程組的解為ZA1BA1，因?yàn)锳1是唯一存在的，所以Z是原方程組唯一的解

7、5分別利用行列式法及逆矩陣法解方程組.解：法一：方程組可化為，D462，Dx20128，Dy6159，故方程組的解為法二：方程組用矩陣表示為 .故 6試寫(xiě)出齊次線性方程組的矩陣形式及該方程組的一組非零解解：齊次線性方程組改寫(xiě)成矩陣形式為 ，26340，此齊次線性方程組有非零解如就是它的一組非零解7當(dāng)為何值時(shí)，二元一次方程組 有非零解？解：由題意知二元一次方程組為即D(2)(3)2254，當(dāng)D0即1或4時(shí)，二元一次方程組 有非零解8如果建立如下字母與數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系abcyz 1 2 3 25 26并且發(fā)送方按可逆矩陣A進(jìn)行加密(1)若要發(fā)出信息work hard，試寫(xiě)出所要發(fā)送的密碼；(2)將密碼93,36,60,21,159,60,110,43恢復(fù)成原來(lái)的信息解：(1)若要發(fā)出信息work hard，則其編碼為23,15,18,11,8,1,18,4.把上述編碼按順序分成四組并寫(xiě)成列向量，計(jì)算它們?cè)诰仃嘇對(duì)應(yīng)的變換下的象，可得A ，A ，A ，A ，于是，得到所要發(fā)送的密碼為160,61,123,47,43,17,102,40.(2)因?yàn)閐et(A)51231，所以A的逆矩陣A1