數(shù)列與不等式綜合題(師)

1、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)系列-數(shù)列綜合訓(xùn)練二（數(shù)列與不等式綜合）1. 已知數(shù)列滿足.(1)若數(shù)列是以常數(shù)首項(xiàng),公差也為的等差數(shù)列,求a1的值;(2)若,求證：對任意都成立；(3)若,求證：對任意都成立.解 (1)由得：即，求得（2）由知，兩邊同除以，得（3） ，將代入，得； 而， 由知，命題成立.2. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，。（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并分別求出、的表達(dá)式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：；（3）是否存在自然數(shù)n,使得？若存在，求出n的值；若不存在,請說明理由。又易知單調(diào)遞增，故，得(3)由得=13分由，得n=1005,即存在滿足條件的自然數(shù)n=1005. 3. 已知數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿

2、足，（1） 求的表達(dá)式及的值；（2） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3） 設(shè)，求證：當(dāng)且時(shí)，。解：（1）所以是等差數(shù)列。則。（2）當(dāng)時(shí)，綜上，。（3）令，當(dāng)時(shí)，有 等價(jià)于求證。當(dāng)時(shí)，令，則在遞增。又，所以即4. 數(shù)列：滿足() 設(shè)，求證是等比數(shù)列；() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; （）設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證: 解：()由得，即， 是以為公比的等比數(shù)列 () 又即 ，故（）又5. 已知數(shù)列an滿足a1=5，a2=5，an+1=an+6an1（n2，nN*），若數(shù)列是等比數(shù)列. （）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （）求證：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，； （）求證： 得=2或=3 當(dāng)=2時(shí)，可得為首項(xiàng)是 ，公比為3的等比數(shù)列，則 當(dāng)=

3、3時(shí)，為首項(xiàng)是，公比為2的等比數(shù)列， 得， （注：也可由利用待定系數(shù)或同除2n+1得通項(xiàng)公式）（）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)， （）由（）知k為奇數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，= 6.已知，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，它滿足條件.數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若對一切都有，求的取值范圍.解：（1） ，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)2時(shí)，=， 此時(shí)=，=+設(shè)+，6分（2）由可得當(dāng)時(shí)，由，可得 對一切都成立，此時(shí)的解為.當(dāng)時(shí)，由 可得對一切都成立，此時(shí)的解為.由，可知對一切，都有的的取值范圍是或.7. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列滿足，為數(shù)列 的前項(xiàng)和，試比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論解：（）由得:時(shí)，是等比數(shù)列，得 （）由和得10分當(dāng)或時(shí)有，所以當(dāng)時(shí)有那么同理可得：當(dāng)時(shí)有，所以當(dāng)時(shí)有綜上：當(dāng)時(shí)有；當(dāng)時(shí)有8.已知數(shù)列滿足（1）求；（2）已知存在實(shí)數(shù)，使為公差為的等差數(shù)列，求的值；（3）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.解：（