高斯曲率的意義與作用

1、 高斯曲率的意義與作用1引言在曲面論中,應(yīng)用較多的是高斯曲率高斯曲率是微分幾何學(xué)發(fā)展的里程碑，開創(chuàng)了微分幾何學(xué)的一個新紀元正是高斯這一偉大發(fā)現(xiàn)啟發(fā)我們對于抽象的曲面進行研究，也就是對于只給定第一基本形式的曲面研究其幾何性質(zhì)同時高斯定理說明，曲面的度量性質(zhì)本身蘊含著一定的彎曲性質(zhì)，這是曲線所不具有的特點2 預(yù)備知識2.1 主曲率 2.1.1主曲率的定義 曲面上一點處主方向上的法曲率稱為曲面在此點的主曲率.由于曲面上一點處的主方向是過此點的曲率線的方向，因此主曲率也就是曲面上一點處沿曲率線方向的法曲率2.1.2主曲率的計算公式主曲率滿足 即2.1.3 有關(guān)主曲率的一個命題曲面上的一點（非臍點）的主

2、曲率是曲面在這點所有方向的法曲率的最大值和最小值. 2.2 高斯映射（球面表示）設(shè)是曲面S：上一塊不大的區(qū)域，另外再做一個單位球面現(xiàn)在建立中的點和單位球面的點的對應(yīng)關(guān)系如下：中任取一點，作曲面在點處的單位法向量，然后把的始端平移到單位球的中心，則的另一端點就在單位球面上，設(shè)該點為，這樣對于曲面的小區(qū)域中的每一點，與球面上向徑為的點對應(yīng)因此，曲面上所給出的小區(qū)域表示到單位球面的對應(yīng)區(qū)域上也就是說，建立了曲面的小區(qū)域到單位球面上區(qū)域的對應(yīng).我們把曲面上的點與球面上的點的這種對應(yīng)稱為曲面的球面表示，也稱高斯映射2.3 高斯定理定理 曲面的高斯曲率是曲面在保長變換下的不變量高斯定理說明,曲面本身蘊含著

3、一定的彎曲性質(zhì),這是曲線所不具有的特點例如球面一定不會保持長度不變而攤成一塊平面,反過來平面無論如何不可能保持長度不變而彎成一個球面,因為球面和平面的高斯曲率是不同的3 高斯曲率的定義曲面S：的主曲率，是曲面的切平面變換的兩個特征值，分別是法曲率的最大值與最小值，也即曲面主方向?qū)?yīng)的法曲率設(shè)，為曲面上一點的兩個主曲率，則它們的乘積稱為曲面在這一點的高斯曲率，通常以表示由預(yù)備知識可知，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系便得高斯曲率 =,對于曲面的特殊參數(shù)表示，由于，因此得 4 高斯曲率的幾何意義曲面的小區(qū)域在球面表示（高斯映射）下對應(yīng)到球面的區(qū)域如果當曲面在這塊上彎曲的程度越大時，它的對應(yīng)球面的區(qū)

4、域也就越大因而的彎曲程度可以用的面積對于本身的面積的比值來刻畫曲面在已知點處的彎曲程度自然就用這個比值當收縮成點的極限來衡量命題 曲面在點鄰近的區(qū)域在單位球面上表示是，當區(qū)域曲面上已知點時，的面積與區(qū)域的面積之比趨于曲面在點的高斯曲率的絕對值即下面給出在球面表示時高斯曲率的符號的幾何意義由于=（）其中是曲面的法向量，是球面的法向量表示這兩法向量指向一致，因此從到的旋轉(zhuǎn)方向和到的旋轉(zhuǎn)方向相同表示這兩法向量的方向相反，從而到的旋轉(zhuǎn)方向和從到的旋轉(zhuǎn)方向相反 5 高斯曲率的作用5.1 曲面的高斯曲率確定了曲面在一點鄰近的結(jié)構(gòu)曲面在一點鄰近的結(jié)構(gòu)與其在該點的高斯曲率有關(guān)，該點與附近點的高斯曲率的比較，可

5、以反映該點附近的形狀變化注意到曲面的高斯曲率與同號的,而，總是正的因此的符號決定曲面在所考慮點的鄰近結(jié)構(gòu)分三種情形加以討論：1) 時，即時，給定點為橢圓點這時主曲率與同號，不妨設(shè)，那么對應(yīng)于主方向的一條法截線朝法向量的正側(cè)彎曲由歐拉公所有法截線的曲率都時正的因此，所有法截線都朝向量的正側(cè)彎曲，所以曲面沿所有都朝同一側(cè)彎曲當，都是負的時候，所有的法截線都朝的負側(cè)彎曲總之，曲面在點的鄰近在切平面的同一側(cè)，故當時，曲面在橢圓點的鄰近的形狀近似于橢圓拋物面2）當時，即時，給定點為雙曲點這時的主曲率與異號，不妨假設(shè)，那么對應(yīng)的兩條法截線中有一條朝的負側(cè)彎曲，另一條朝的正側(cè)彎曲由歐拉公式得到各個方向的法曲

6、率的變化情況當時，時，當，從而當從變到時，的符號改變兩次零值此時曲面在點的鄰近的形狀近似于雙面拋物面3） 當時，即時，該點為拋物點因此，至少有一個主曲率等于零，不妨設(shè)，那么對應(yīng)于第一主方向的法截線朝的正側(cè)彎曲，另一條法截線一般以為拐點因此一般第二條法截線從它的切線的一側(cè)朝另一側(cè)彎曲，曲面在點的鄰近的形狀近似于拋物柱面例 設(shè)環(huán)面的方程是，其中是常數(shù)，且考察環(huán)面上各種類型點的分布解 直接計算得 ， ，,，因此 由此可見，的符號由的符號而定當=時, =,這些點是拋物點分布在環(huán)面最上面和最下面的兩個平行圓上當時, ,這些點是橢圓點,分布在環(huán)面的外側(cè)很顯然,曲面上的橢圓點集和雙曲點集都是開集,它們的邊界

7、點必是拋物點5.2 運用曲面的常高斯曲率確定曲面的第一基本形式假定曲面S的高斯曲率是常數(shù)在曲面上取測地平行坐標系因而它的第一基本形式為，滿足條件： 根據(jù)高斯曲率的內(nèi)蘊表達式，有所以作為u的函數(shù)，滿足二階常系數(shù)齊次方程初始條件是： 根據(jù)K的不同符號，方程（1）在初始條件（2）的解分別是： 1） ; 2) ; 3) 則常曲率曲面的第一基本形式分別為：若S有正常數(shù)高斯曲率, ；若S的高斯曲率為零，；若S有負常數(shù)高斯曲率，由上面的結(jié)論可推出：有相同的常數(shù)高斯曲率的曲面，在局部上必定可以彼此建立保長對應(yīng)例 考慮第一基本形式為的曲面.通過直接計算可以知道,該曲面的高斯曲率是常數(shù)當時,該抽象曲面可以定義在整個平面上;當時,該抽象曲面的定義域是： 設(shè),則,所以這個抽象曲面就是普通的平面它上面的測地線就是普通的直線設(shè),則這個抽象曲面可以看作中半徑為的球面通過從南極向球面在北極的切平面作球極投影所得到的象在的情形,在圓內(nèi)賦予度量的抽象曲面成為圓5.3 高斯曲率與可展曲面的聯(lián)系由直線的軌跡所成的曲面稱為直紋面，其參數(shù)表示為，為直紋面的導(dǎo)線的參數(shù)表示，時過導(dǎo)線上的直母線上的向量，直紋面分為兩情形：不平行于，即，這種直紋面是不可展曲面;平行于，即，這種直紋面是可展曲面由知，是可展曲面的充要條件是，如果按公式,求的高斯曲率，則當時，必有，則故當?shù)母咚骨蕿榱銜r，這個直紋曲面為可展曲面這