《二次函數(shù)與一元二次方程》備課素材(數(shù)學(xué)人教九上)

1、第二十二章二次函數(shù)22.2二次函數(shù)與一元二次方程素材一新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)情景導(dǎo)入置疑導(dǎo)入歸納導(dǎo)入復(fù)習(xí)導(dǎo)入類比導(dǎo)入懸念激趣情景導(dǎo)入池的水面中心，圖 22 2 1某火車站在地面上欲建造一個(gè)圓形噴水池，如圖22 21，點(diǎn) O 表示噴水OA 表示噴水柱子，水流從點(diǎn)A 噴出，按照?qǐng)D中所示的平面直角坐標(biāo)系，每一股水流在空中的路線都可以用y 12x232x 78來描述，那么水池的半徑最少要多少米，才能使噴出的水流不至于落到池外？說明與建議 說明：通過對(duì)噴水池的實(shí)際問題的探究，建立二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的模型，從而導(dǎo)出新課，制造懸念，使學(xué)生興趣盎然學(xué)習(xí)新課建議：幫助學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題的關(guān)鍵是弄清楚

2、水流不致落到池外是什么意思，水流最遠(yuǎn)是多少，如何求，此時(shí)的函數(shù)值 y 是多少，為什么是 0 等問題圖 22 2 2置疑導(dǎo)入多媒體演示：出示二次函數(shù)y x2 2x3 的圖象，如圖22 22 所示，根據(jù)圖象回答：(1)當(dāng) x 為何值時(shí)， y0?(2)你能根據(jù)圖象，求方程x2 2x3 0 的根嗎？(3)二次函數(shù) y x2 2x3 與一元二次方程 x22x 3 0 之間有什么關(guān)系？說明與建議 說明：通過對(duì)二次函數(shù)圖象問題的導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究新知的欲望， 增加對(duì)二次函數(shù)y x2 2x 3 與一元二次方程 x2 2x3 0 之間關(guān)系的了解和認(rèn)識(shí) 建議：引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)的圖象與x 軸的交點(diǎn)的

3、坐標(biāo)是什么，有什么意義，與方程的根有什么聯(lián)系類比導(dǎo)入(1) 回憶：一次函數(shù)y kx b(k 0) 與一次方程 kx b0 之間有何關(guān)系？(2)觀察：二次函數(shù) yax2bx c 與一元二次方程 ax2 bx c0 在結(jié)構(gòu)上有哪些相同之處？(3)類比猜想：二次函數(shù)y ax2 bx c 的圖象與一元二次方程ax2 bx c 0有何關(guān)系？說明與建議 說明：通過對(duì)一次函數(shù)y kx b 與一次方程 kx b 0 的回顧，加強(qiáng)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，類比舊知識(shí)的學(xué)習(xí)方法、數(shù)學(xué)思想來學(xué)習(xí)二次函數(shù)y ax2 bx c 與一元二次方程 ax2 bx c 0 的關(guān)系建議：引導(dǎo)學(xué)生明白一元二次方程ax2bx c 0 是當(dāng)

4、y 0 時(shí)二次函數(shù) y ax2 bx c 的特殊情形進(jìn)一步引入教材中的問題素材二教材母題挖掘教材母題 第 47 頁第 4 題拋物線 y ax2 bxc 與 x 軸的公共點(diǎn)是 ( 1， 0)， (3， 0)，求這條拋物線的對(duì)稱軸【模型建立】方法一：拋物線 yax2bx c 與 x 軸的公共點(diǎn)是 ( 1， 0)， (3， 0)，代入求得 y a(x 1) 2 4a，所得對(duì)稱軸為直線 x 1；方法二：拋物線y ax2 bx c 與 x 軸的公共點(diǎn)是 ( 1， 0)， (3， 0)，可設(shè)拋物線的解析式為 y a(x 1)(x 3) ，所得對(duì)稱軸為直線x 1；方法三：根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，對(duì)稱軸與x 軸的

5、交點(diǎn)是對(duì)稱軸為直線x 1.( 1， 0)， (3， 0)的中點(diǎn)，所以本題已知簡(jiǎn)潔，結(jié)論明了，解法多樣，而且數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想貫穿其中，若要畫圖，還要分 a0 和 a0 的情況討論，適當(dāng)改變條件就可得到許多新題【變式變形】1已知關(guān)于x 的一元二次方程ax2 bx c 0 的兩根為x1 1， x2 3，則拋物線y ax2bx (c 1)的對(duì)稱軸是 (B)A y 軸B直線 x 1C直線 x 2D直線 x3圖 22 2 32如圖 22 2 3，拋物線 y ax2 bx c 交 x 軸于 ( 1，0)， (3， 0)兩點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是 (D)A圖象的對(duì)稱軸是直線x 1B當(dāng) x 1 時(shí)，

6、y 隨 x 的增大而減小C一元二次方程 ax2 bx c 0 的兩個(gè)根分別是 1 和 3 D當(dāng) 1 x 3 時(shí)， y 03拋物線 y ax2 bx c 與 x 軸的交點(diǎn)是 A( 1， 0)， B(3 ， 0)，與 y 軸的交點(diǎn)為 D ，頂點(diǎn)為 C，若四邊形 ABCD 的面積為 18，求拋物線的解析式 答案： y 2x2 4x 6 或y 2x2 4x 64已知拋物線y ax2 bx c 與 x 軸交于 A( 1，0)，B(3 ，0)兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn)C(0 ， 3) (1)求拋物線的解析式；(2)判斷 ABC是否為直角三角形， 并給出理由 答案： (1)y x2 2x 3(2) 不是 理由略

7、 圖 22 2 45如圖 22 2 4，已知拋物線y ax2 bx c(a0)與 x 軸交于 A( 1，0)， B(3 ， 0)兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C(0 ， 3)(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D 的坐標(biāo)；(2)若 P 為線段 BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P 作 PM x 軸于點(diǎn) M，求四邊形PMAC 的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo) 答案： (1)y x22x 3，頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (1，4) (2)S 四邊形 PMAC 最大值 105，此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為9， 3 1642素材三考情考向分析命題角度 1 根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系解方程根據(jù)二次函數(shù)確定一元二次方程的根，關(guān)鍵是看拋物線

8、與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 如教材P47 習(xí)題 22.2 T2，T3， T6. 命題角度2 根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系判斷待定系數(shù)的范圍能根據(jù)拋物線與x 軸的交點(diǎn)情況求待定系數(shù)的范圍(比如 b24ac)，有時(shí)候還會(huì)考查當(dāng)x 1 或 x 1 時(shí)代數(shù)式 (a b c 或 a bc)的值注意相關(guān)代數(shù)式特點(diǎn)及圖象對(duì)應(yīng)特征的積累圖 22 2 5例 孝感中考 拋物線 y ax2 bxc 的頂點(diǎn)為 D( 1，2)，與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn) A 在點(diǎn)( 3， 0)和點(diǎn) ( 2，0) 之間，其部分圖象如圖 22 2 5 所示，則以下結(jié)論： b2 4ac0； a b c0； c a 2；方程 ax2 bx c2

9、0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根其中正確的結(jié)論有 (C)A 1 個(gè)B 2 個(gè)C3 個(gè)D 4 個(gè)P47 習(xí)題復(fù)習(xí)鞏固1 已知函數(shù)y x2 4x 3.(1)畫出這個(gè)函數(shù)的圖像；(2)觀察圖像 ，當(dāng) x 取哪些值時(shí) ，函數(shù)值為0?解：(1) 如圖所示：(2)由圖像可知 ，當(dāng) x1 或 x3時(shí)， y 0.2 用函數(shù)的圖像求下列方程的解：(1)x2 3x 20；(2) x2 6x9 0.解： (1) 畫出函數(shù)yx23x 2的圖像如圖 1.圖 1圖 2可知方程 x2 3x 2 0 的解為 x1 1，x2 2.(2)畫出函數(shù) y x2 6x 9 的圖像如圖2，可知方程 x2 6x9 0 的解為 x1 x23.綜合運(yùn)用

10、3如圖 ，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y(單位： m) 與水平距離x(單位： m)之間的關(guān)系是1225y 12x 3x 3.(1)畫出上述函數(shù)的圖像；(2)觀察圖像 ，指出鉛球推出的距離解：(1) 圖像如圖所示：(2)從圖像可以看出 ，鉛球的落地點(diǎn)距原點(diǎn) 10個(gè)單位 ，即鉛球推出的距離為 10 m.4拋物線 y ax2 bx c 與 x 軸的公共點(diǎn)是 (1，0)，(3，0)，求這條拋物線的對(duì)稱軸解： 由拋物線的對(duì)稱性知，這條拋物線的對(duì)稱軸為直線x 1.拓廣探索5 畫出函數(shù)y x2 2x 3 的圖像 ，利用圖像回答：(1)方程 x2 2x 3 0 的解是什么；(2)x 取什么值時(shí) ，函數(shù)值大于0

11、；(3)x 取什么值時(shí) ，函數(shù)值小于0.解： 函數(shù)圖像如圖所示：2(1)方程 x 2x 3 0 的解是 x1 1，(2)當(dāng) x 1 或 x 3 時(shí)，函數(shù)值大于0.(3)當(dāng) 1x0，拋物線 y ax2 bxc 的頂點(diǎn)在什么位置？(1)方程 ax2 bxc 0 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；(2)方程 ax2 bxc 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)方程 ax2 bxc 0 無實(shí)數(shù)根如果a0 呢？解：(1) 頂點(diǎn)在第三象限或第四象限或y 軸的負(fù)半軸上(2)頂點(diǎn)在x 軸上(3)頂點(diǎn)在第一象限或第二象限或y 軸的正半軸上當(dāng) a0 時(shí)，(1) 頂點(diǎn)在第一象限或第二象限或y 軸的正半軸上；(2)頂點(diǎn)在x 軸上；(3)

12、 頂點(diǎn)在第三象限或第四象限或y 軸的負(fù)半軸上 當(dāng)堂檢測(cè) 1. 已知拋物線 y x2 x1 與 x 軸的交點(diǎn)為 （ m，0），則代數(shù)式 m 2 m 2013 的值為（）A 2011B 2014C 2013D 20122. 根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c=0( a0， a、b、 c 為常數(shù) )的一個(gè)解的范圍是（ ）x3.233.243.253.26ax2+bx+c0.060.020.030.09A 3x3.23B 3.23x3.24C 3.24x3.25D 3.25x0； 2a+b0； 4a 2b+c =0； a：b： c= 1： 2： 3. 其中正確的是（）A .B. C.D.

13、專題二二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系4設(shè)一元二次方程=m （m0）的兩實(shí)根分別為， ，且 ，則 ， 滿足（）A 1 2B 1 2 C 1 2D 1 且 25二次函數(shù)的圖象如圖所示，若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的最大值為（）A B 3CD 926已知函數(shù)y=mx 6x+1（ m 是常數(shù)）（ 1）求證：不論m 為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過y 軸上的一個(gè)定點(diǎn)；（ 2）若該函數(shù)的圖象與x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m 的值7已知拋物線 y=x 2+px+q 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，且過點(diǎn) ( 1, 1) ，設(shè)線段 AB 的長(zhǎng)為 d，當(dāng) p 為何值時(shí)， d2 取得最小值？并求出最小值 .8.【

14、2012 珠?！咳鐖D，二次函數(shù)y=(x 2)2+m 的圖象與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn) B 是點(diǎn) C 關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，已知一次函數(shù)y=kx+b 的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn) A（ 1,0）及點(diǎn) B.（ 1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（ 2）根據(jù)圖象，寫出滿足 kx+b(x2)2+m 的的取值范圍 .專題三利用二次函數(shù)知識(shí)解決動(dòng)態(tài)問題29一條拋物線y=x +mx+n 經(jīng)過點(diǎn)（ 0，）與（ 4，）（ 1）求這條拋物線的解析式，并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（ 2）現(xiàn)有一半徑為 1，圓心 P 在拋物線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)圓， 當(dāng) P 與坐標(biāo)軸相切時(shí)， 求圓心 P 的坐標(biāo)【知識(shí)要點(diǎn) 】1二次函數(shù)y ax2

15、bxc（ a0）與一元二次方程ax2 bx c 0（ a0）的關(guān)系（ 1）二次函數(shù)y ax2 bx c 的圖象與x 軸有公共點(diǎn)， 公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是， 那么當(dāng) x= 時(shí)，函數(shù)的值是0，因此 x=就是方程 ax2 bxc=0 的一個(gè)根 .（ 2）二次函數(shù) yax2 bx c 的圖象與 x 軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn) . 這對(duì)應(yīng)著一元二次方程 ax2 bxc=0 的根的三種情況：沒有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.2二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系拋物線 y ax2 bx c 在 x 軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對(duì)應(yīng)的x 的所有值就是不等式 ax2

16、bxc 0 的解集；在x 軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為負(fù)，所對(duì)應(yīng)的x 的所有值就是不等式 ax2 bx c0 的解集，所以，利用畫二次函數(shù) y ax2 bx c 的圖象的方法，可以直接地求得不等式 ax2 bxc 0 或 ax2 bx c 0 的解集【溫馨提示 】1當(dāng)拋物線 y ax2 bxc 開口向下，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，y 0 對(duì)應(yīng)的 x 值有兩部分，不要漏掉；當(dāng)拋物線 y ax2 bxc 開口向上，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，y 0 對(duì)應(yīng)的 x 值有兩部分，不要漏掉2一元二次方程的解是對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而不是與x 軸的交點(diǎn) .3圓與坐標(biāo)軸相切包括與x、y 軸相切，不要漏掉某一

17、部分 .【方法技巧 】1 由二次函數(shù)圖象判斷y ax2 bxc 解析式中字母的符號(hào)：（ 1） a：拋物線開口向上，則a 0；拋物線開口向下，則a 0；（ 2） b：對(duì)稱軸在y 軸左側(cè)， a、b 同號(hào)；對(duì)稱軸在y 軸右側(cè)， a、b 異號(hào)；對(duì)稱軸是y 軸則 b=0；簡(jiǎn)記“左同右異y 軸 b=0”；（ 3）c：拋物線與y 軸的交點(diǎn)在x 軸上方， c 0；拋物線與y 軸的交點(diǎn)在x 軸下方， c 0；拋物線與y 軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)，c=0 ；簡(jiǎn)記“上正、下負(fù)、原點(diǎn)c 為 0”；（ 4）b2-4ac：拋物線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)， b2 -4ac 0；拋物線與 x 軸一個(gè)交點(diǎn)， b2-4ac= 0；拋物線與 x

18、軸沒有交點(diǎn)， b2-4ac 0；（ 5）判斷 a+b+c 的符號(hào)，看當(dāng)x=1 時(shí)， y 的值與 0 的關(guān)系；判斷a-b+c 的符號(hào)，看當(dāng)x= 1 時(shí)， y 的值與 0 的關(guān)系；判斷 4a+ 2b+c 的符號(hào)，看當(dāng) x=2 時(shí)， y 的值與 0 的關(guān)系；判斷 4a-2b+c 的符號(hào)，看當(dāng) x=-2 時(shí)， y 的值與 0 的關(guān)系；（ 6）判斷 2a+b 的符號(hào)看對(duì)稱軸與直線 x=1 的關(guān)系；判斷 2ab 的符號(hào)看對(duì)稱軸與直線x= 1 的關(guān)系 .2圓與 x 軸相切時(shí)，圓心的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值等于半徑；圓與y 軸相切時(shí)，圓心的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于半徑.參考答案1 D 【解析】二次函數(shù)化為一般形式得，所以對(duì)稱

19、軸方程為=，因?yàn)閷?duì)稱軸在y 軸的右側(cè)，所以，解得2 D 【解析】 a、 b 同號(hào)且 a=b ， c 0， A、 B 均錯(cuò)誤；當(dāng)x=1 時(shí)，由圖象知y=a+b+c 0，即 2b+c 0，故 C 錯(cuò)誤；由 2b+c 0，兩邊加上 2b 得 4b+c 2b,不得式左邊的 b 用 a 替換，可得 4a+c 2b,所以 D 正確 .3 D 【解析】拋物線與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，b2-4ac 0，正確；對(duì)稱軸為直線x=1， =1 ，可得 2a+b=0，錯(cuò)誤；當(dāng) x= -2 時(shí)， y= 4a- 2b+c 0，錯(cuò)誤；由 x= -1 時(shí)，y=a-b+c= 0， 2a+b=0，可得 b=-2 a， c=-3 a， a

20、： b：c= a：（-2a）：（ -3a）=-1 ： 2：3，正確 .4 D 【解析】令 m=0，則函數(shù)的圖象與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1， 0），（ 2，0），故此函數(shù)的圖象為： m 0， 1， 2故選 D 5 B【解析】拋物線的開口向上，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為3， a 0，即 .一元二次方程有實(shí)數(shù)根， =，即，即，解得，m 的最大值為 36解：（ 1）當(dāng) x=0 時(shí)， y=1所以不論 m 為何值，函數(shù) y=mx2 6x+1 的圖象都經(jīng)過y 軸上一個(gè)定點(diǎn)（0， 1）（ 2）當(dāng) m=0 時(shí)，函數(shù) y= 6x+1 的圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) m0時(shí)，若函數(shù) y=mx26x+1 的圖象與 x 軸只有一

21、個(gè)交點(diǎn)，則方程mx2 6x+1=0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以 =（ 6）24m=0， m=9綜上，若函數(shù)y= mx2 6x+1 的圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m 的值為0 或 97解：把 ( 1, 1) 代入 y=x2+px+q 得 p q=2， q=p2.設(shè)拋物線 y=x 2+px+q與 x 軸交點(diǎn) A、B的坐標(biāo)分別為 ( x1,0)、( x2,0), d=| x1-x2|， d2=(x1 x2 21224 x1 224q= p 24p+ 8=(p 2)22 有最小值，) = (x +x)x= p+ 4, 當(dāng) p=2時(shí)， d最小值是 4.228解：（ 1）將點(diǎn) A（ 1，+m=0，解得 m

22、= 1.0）代入 y= （x2） +m 得，（ 1 2）則二次函數(shù)解析式為y= （ x2） 21當(dāng) x=0 時(shí)， y=4 1=3，故 C 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 3）.由于 C 和 B 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x，3），令 y=3，有（ x 2） 21=3，解得 x=4 或 x=0，則 B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 4， 3）設(shè)一次函數(shù)解析式為 y=kx+b ，將 A（ 1， 0）、B（ 4，3）代入 y=kx+b 得，解得則一次函數(shù)解析式為y=x 1.（2） A、B 坐標(biāo)為（ 1，0）、（ 4，3），當(dāng) kx+b （ x 2） 2+m 時(shí)， 1 x 49解：（ 1）由拋物線過（0，），（ 4，）兩點(diǎn)，

23、得2由 y=x2 x+=（ x 2） 2+，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2，） .（ 2）設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ x0， y0）.當(dāng)圓 P 與 y 軸相切時(shí)，有 |x0|=1， x0=1. 由 x0=1，得 y0=1 1+=.由 x0= 1，得 y0=（ 1） 2（ 1） +=.此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為P1（ 1，）， P2（ 1，） .當(dāng)圓 P 與 x 軸相切時(shí)， 有 |y0|=1.拋物線的開口向上，頂點(diǎn)在 x 軸的上方， y00， y0=1.由 y0=1，得 x02 x0+=1 ，解得 x0=2.此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為P1（ 2， 1），P4（ 2+，1） .綜上所述，圓心 P 的坐標(biāo)為 P1（1，）

24、，P2（1，），P3（，1），P4（，1）有關(guān)希爾伯特的兩個(gè)小故事北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系王敬庚德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)希爾伯特（18621943）是 20 世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是巨大的和多方面的，研究領(lǐng)域涉及代數(shù)不變式，代數(shù)數(shù)域，幾何基礎(chǔ)，變分法，積分方程，無窮維空間，物理學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等他在1899 年出版的幾何基礎(chǔ)成為近代公理化方法的代表作，且由此推動(dòng)形成了“數(shù)學(xué)公理化學(xué)派”，可以說希爾伯特是近代形式公理學(xué)派的創(chuàng)始人1900 年希爾伯特38 歲時(shí)在巴黎舉行的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了題為數(shù)學(xué)問題的著名講演在講演中，他根據(jù)19 世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果與發(fā)展趨勢(shì)，以卓越的遠(yuǎn)見和非凡的洞察力，提出了

25、新世紀(jì)所面臨的23 個(gè)問題 這 23 個(gè)問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大部分重要領(lǐng)域 （著名的哥德巴赫猜想就是第8 個(gè)問題中的一部分），對(duì)這些問題的研究有力地推動(dòng)了20 世紀(jì)各個(gè)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展本文介紹關(guān)于希爾伯特青年時(shí)代的兩個(gè)小故事一、老師在課堂上現(xiàn)想現(xiàn)推1880 年秋天， 18 歲的希爾伯特進(jìn)人家鄉(xiāng)的哥尼斯堡大學(xué)，他不顧當(dāng)法官的父親希望他學(xué)習(xí)法律的愿望， 毫不猶豫地進(jìn)了哲學(xué)系學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（當(dāng)時(shí)的大學(xué)， 數(shù)學(xué)還設(shè)在哲學(xué)系內(nèi)）希爾伯特發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)的大學(xué)生活要多自由有多自由意想不到的自由， 使許多年輕人把大學(xué)第一年的寶貴時(shí)光都花費(fèi)在學(xué)生互助會(huì)的傳統(tǒng)活動(dòng)飲酒和斗劍上，然而對(duì)希爾伯特來說，大學(xué)生活的更加迷人之處卻在于他終

26、于能自由地把全部精力給予數(shù)學(xué)了大學(xué)第一學(xué)期， 希爾伯特選學(xué)了積分學(xué)，矩陣論和曲面的曲率論三門課根據(jù)規(guī)定。第二學(xué)期可以轉(zhuǎn)到另一所大學(xué)聽課，希爾伯特選擇了海德爾堡大學(xué)，這是當(dāng)時(shí)德國(guó)所有大學(xué)中最討人喜歡和最富浪漫色彩的學(xué)校希爾伯特在海德爾堡大學(xué)選聽拉撒路富克斯的課富克斯是微分方程方面的名家，他的名字和線性微分方程幾乎成了同義語他講課確實(shí)與眾不同，給人的印象很深課前他不大做準(zhǔn)備，對(duì)要講的內(nèi)容，在課堂上現(xiàn)想現(xiàn)推于是常常發(fā)生這樣的情形， 某個(gè)問題在黑板上推不下去了，這時(shí)他就再想另外一種方法，有時(shí)一連要換好幾種方法， 但他最后總能推導(dǎo)出結(jié)果來他就是這樣， 習(xí)慣于在課堂上把自己置于危險(xiǎn)的境地 這樣的課學(xué)生們?nèi)?/p>

27、何看呢？他的一位學(xué)生后來回憶時(shí)寫道：這樣的課， 使學(xué)生們“得到一個(gè)機(jī)會(huì)， 瞧一瞧最高超的數(shù)學(xué)思維的實(shí)際過程”我們可以想象， 善于思考和學(xué)習(xí)的希爾伯特肯定會(huì)從中領(lǐng)悟到一個(gè)數(shù)學(xué)家是如何思考問題的，這種包括幾經(jīng)碰壁終于找到解法的探索過程在教科書上無論如何是看不到的把思考問題的實(shí)際過程展現(xiàn)給學(xué)生看，這樣做實(shí)際上是非常富于啟發(fā)性的我國(guó)著名的數(shù)學(xué)方法論專家徐利治教授認(rèn)為這一點(diǎn)對(duì)希爾伯特的成長(zhǎng)肯定起過很好的作用我想這一點(diǎn)對(duì)我們今天也很有啟發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)會(huì)這道題的解法，而且更要學(xué)會(huì)這個(gè)解法是如何找到的即學(xué)會(huì)思考二、蘋果樹下的例行出步希爾伯特在海德爾堡上了一學(xué)期以后，接下來的一個(gè)學(xué)期， 本來可以允許他再轉(zhuǎn)到柏林去聽課，但他深深地依戀自己的家鄉(xiāng)，于是他又回到了哥尼斯堡大學(xué)再下一個(gè)學(xué)期 1882年春天，希爾伯特仍決定留在哥尼斯堡這時(shí)赫爾曼閱可夫斯基從柏林學(xué)習(xí)了三個(gè)學(xué)期后也回到了哥尼斯堡大學(xué)閩可夫斯基從小就數(shù)學(xué)才能出眾， 據(jù)說有一次上數(shù)學(xué)課，老師因把問題理解錯(cuò)了而“掛了黑板”，同學(xué)們異口同聲叫道： “閉可夫斯基去幫幫忙！”在柏林上學(xué)時(shí)， 他因?yàn)槌錾臄?shù)學(xué)工作曾得到過一筆獎(jiǎng)金這時(shí)，年僅1