巖土類材料彈塑性力學(xué)模型及本構(gòu)方程

1、巖土類材料的彈塑性力學(xué)模型及本構(gòu)方程摘要：本文主要結(jié)合巖土類材料的特性，開展研究其在受力變形過程中的彈性及塑性變形的特點(diǎn)，描述簡化的力學(xué)模型特征及對應(yīng)的適用條件，同時在分析研究其彈塑性力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，探究了關(guān)于巖土類介質(zhì)材料的各種本構(gòu)模型，如M-C、D-P、Cam、D-C、L-D及節(jié)理材料模型等，分析對應(yīng)使用條件，特點(diǎn)及公式，從而推廣到不同的材料本構(gòu)模型的研究，為彈塑性理論更好的延伸發(fā)展做一定的參考性。關(guān)鍵詞：巖土類材料，彈塑性力學(xué)模型，本構(gòu)方程不同的固體材料，力學(xué)性質(zhì)各不相同。即便是同一種固體材料，在不同的物理環(huán)境和受力狀態(tài)中，所測得的反映其力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變曲線也各不相同。盡管材料力學(xué)性

2、質(zhì)復(fù)雜多變，但仍是有規(guī)律可循的，也就是說可將各種反映材料力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，進(jìn)行分析歸類并加以總結(jié)，從而提出相應(yīng)的變形體力學(xué)模型。第一章 巖土類材料地質(zhì)工程或采掘工程中的巖土、煤炭、土壤，結(jié)構(gòu)工程中的混凝土、石料，以及工業(yè)陶瓷等，將這些材料統(tǒng)稱為巖土材料。巖土塑性力學(xué)與傳統(tǒng)塑性力學(xué)的區(qū)別在于巖土類材料和金屬材料具有不同的力學(xué)特性。巖土類材料是顆粒組成的多相體，而金屬材料是人工形成的晶體材料。正是由于不同的材料特性決定了巖土類材料和金屬材料的不同性質(zhì)。歸納起來，巖土材料有3點(diǎn)基本特性：1.摩擦特性。2.多相特性。3.雙強(qiáng)度特性。另外巖土還有其特殊的力學(xué)性質(zhì)：1.巖土的壓硬性，2.巖土材料的等

3、壓屈服特性與剪脹性，3.巖土材料的硬化與軟化特性。4.土體的塑性變形依賴于應(yīng)力路徑。對于巖土類等固體材料往往在受力變形的過程中，產(chǎn)生的彈性及塑性變形具備相應(yīng)的特點(diǎn)，物體本身的結(jié)構(gòu)以及所加外力的荷載、環(huán)境和溫度等因素作用，常使得固體物體在變形過程中具備如下的特點(diǎn)。固體材料彈性變形具有以下特點(diǎn)：(1)彈性變形是可逆的。物體在變形過程中，外力所做的功以能量（應(yīng)變能)的形式貯存在物體內(nèi)，當(dāng)卸載時，彈性應(yīng)變能將全部釋放出來，物體的變形得以完全恢復(fù)；(2)無論材料是處于單向應(yīng)力狀態(tài)，還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，在線彈性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變成線性比例關(guān)系；(3)對材料加載或卸載，其應(yīng)力應(yīng)變曲線路徑相同。因此，應(yīng)力與應(yīng)

4、變是一一對應(yīng)的關(guān)系。固體材料的塑性變形具有以下特點(diǎn)：(l)塑性變形不可恢復(fù)，所以外力功不可逆。塑性變形的產(chǎn)生過程，必定要消耗能量(稱耗散能或形變功)；(2)在塑性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系是非線性的。因此，不能應(yīng)用疊加原理。又因?yàn)榧虞d與卸載的規(guī)律不同，應(yīng)力與應(yīng)變也不再存在一一對應(yīng)的關(guān)系，也即應(yīng)力與相應(yīng)的應(yīng)變不能唯一地確定，而應(yīng)當(dāng)考慮到加載的路徑(即加載歷史)；(3)當(dāng)受力固體產(chǎn)生塑性變形時，將同時存在有產(chǎn)生彈性變形的彈性區(qū)域和產(chǎn)生塑性變形的塑性區(qū)域。并且隨著載荷的變化，兩區(qū)域的分界面也會產(chǎn)生變化。第二章 彈塑性力學(xué)中常用的簡化力學(xué)模型對于不同的材料，不同的應(yīng)用領(lǐng)域，可以采用不同的變形體模型。在確

5、定力學(xué)模型時，要特別注意使所選取的力學(xué)模型必須符合材料的實(shí)際情況，這是非常重要的，因?yàn)橹挥羞@樣才能使計(jì)算結(jié)果反映結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中的真實(shí)應(yīng)力及應(yīng)力狀態(tài)。另一方面要注意所選取的力學(xué)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)足夠簡單，以便在求解具體問題時，不出現(xiàn)過大的數(shù)學(xué)上的困難。巖上材料的力學(xué)特性不外乎由室內(nèi)試驗(yàn)、現(xiàn)場試驗(yàn)取得。一般說來,室內(nèi)試驗(yàn)所得到的力學(xué)特性不能完全反映現(xiàn)場實(shí)際情況,要得到真實(shí)的本構(gòu)關(guān)系必須根據(jù)現(xiàn)場試驗(yàn)直接量測荷載變形時間之關(guān)系。但該方法不僅花費(fèi)大而且難以實(shí)現(xiàn),目前大量的還是根據(jù)室內(nèi)試驗(yàn)來決定。巖土材料的力學(xué)性質(zhì)頗為復(fù)雜,這是因?yàn)樗鼈兪怯晒滔?土粒子)、液相(空隙中的水)、氣相(空隙中的空氣)組成,易受密

6、度、空隙率、溫度、時間、水等因素影響。巖土材料從微觀上應(yīng)視為非連續(xù)體，但從工程角度，宏觀上可視為連續(xù)體。2.1 理想彈塑性力學(xué)模型當(dāng)材料進(jìn)行塑性狀態(tài)后，具有明顯的屈服流動階段，而強(qiáng)化程度較小。若不考慮材料的強(qiáng)化性質(zhì)，則可得到如圖2-1所示理想彈塑性模型，又稱為彈性完全塑性模型。在圖2-1中，線段OA表示材料處于彈性階段，線段AB表示材料處于塑性階段，應(yīng)力可用如下公式求出： （當(dāng)） （2-1）由公式（2-1）中只包括了材料常數(shù)E和s，故不能描述應(yīng)力應(yīng)變曲線的全部特征，又由于在=s處解析式有變化，故給具體計(jì)算帶來一定困難。這一力學(xué)模型抓住了韌性材料的主要特征，因而與實(shí)際情況符合得較好。2.2 理想

7、線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型當(dāng)材料有顯著強(qiáng)化率，而屈服流動不明顯時，可不考慮材料的塑性流動，而采用如圖4-4所示線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型。圖中有兩條直線，其解析表達(dá)式為 （當(dāng)） （2-2）式中E及E1分別表示線段OA及AB的斜率。具有這種應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的材料，稱為彈塑性線性強(qiáng)化材料。由于OA和AB是兩條直線，故有時也稱之為雙線性強(qiáng)化模型。顯然，這種模型和理想彈塑性力學(xué)模型雖然相差不大，但具體計(jì)算卻要復(fù)雜得多。在許多實(shí)際工程問題中，彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變小得多，因而可以忽略彈性應(yīng)變。于是上述兩種力學(xué)模型又可簡化為理想剛塑性力學(xué)模型。2.3 理想剛塑性力學(xué)模型如圖2-1所示，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式為: （當(dāng)）

8、 （2-3）上式表明在應(yīng)力到達(dá)屈服極限之前，應(yīng)變?yōu)榱?，這種模型又稱為剛性完全塑性力學(xué)模型，它特別適宜于塑性極限載荷的分析。2.4 理想線性強(qiáng)化剛塑性力學(xué)模型如圖2-1所示，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式為: （當(dāng)） （2-4）2.5 冪強(qiáng)化力學(xué)模型為了避免在=s處的變化，有時可以采用冪強(qiáng)化力學(xué)模型，即取： （2-5）式中n為幕強(qiáng)化系數(shù)，介于0與1之間。式(2-5)所代表的曲線(如圖2-1所示)在=0處與軸相切，而且有： （當(dāng)） （2-6）式（2-6)的第一式代表理想彈性模型，若將式中的A用彈性模量E代替，則為虎克定律式；第二式若將A用s代替，則為理想塑性(或稱理想剛塑性)力學(xué)模型。通過求解式(2-

9、6)則可得=1，即兩條直線在=1處相交。由于冪強(qiáng)化模型也只有兩個參數(shù)A和n，因而也不可能準(zhǔn)確地表示材料的所有特征。但由于它的解析式比較簡單，而且n可以在較大范圍內(nèi)變化，所以也經(jīng)常被采用。 圖2-1 常用的應(yīng)力應(yīng)變曲線第三章 巖土類介質(zhì)本構(gòu)模型巖土塑性與本構(gòu)模型的發(fā)展，主要是圍繞著兩個方面：一是對經(jīng)典塑性理論的修正與靜力本構(gòu)模型的完善；二是針對不同巖土不同工況發(fā)展了許多新型的本構(gòu)模型。國內(nèi)學(xué)者作了大量的工作，新發(fā)展的廣義塑性力學(xué)既適應(yīng)巖土類摩擦材料，也適應(yīng)金屬，可以作為巖土塑性力學(xué)的理論基礎(chǔ)。新型模型中動力模型、復(fù)雜路徑模型等正在逐漸走向?qū)嵱?。本章主要探究巖土體材料的Mohr-Coulomb(M

10、-C)理想彈塑性模型、Drucker-Prager(D-P)模型、Cam-clay（Cam）模型、Duncan-Chang（D-C）模型、Lade-Duncan（L-D）模型、修正的帽子模型、與蠕變耦合的帽子塑性模型、節(jié)理材料模型等。3.1 Mohr-Coulomb(M-C)理想彈塑性模型Coulomb在土的摩擦試驗(yàn)、壓剪試驗(yàn)和三軸試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，于1773年提出了庫侖破壞準(zhǔn)則，即剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則，它認(rèn)為當(dāng)土體某平面上剪應(yīng)力達(dá)到某一特定值時，就進(jìn)入屈服。Mohr-Coulomb塑性模型主要適用于在單調(diào)荷載下以顆粒結(jié)構(gòu)為特征的材料，如土壤，它與率變化無關(guān)。其準(zhǔn)則方程形式一般為：。其中，c為土的粘聚力

11、；為土的內(nèi)摩擦角；為屈服面上的正應(yīng)力。這個函數(shù)關(guān)系式通過試驗(yàn)確定。M-C條件為：。在平面上的屈服曲線為一封閉的非正六邊形?，F(xiàn)在，M-C準(zhǔn)則仍被廣泛應(yīng)用，該準(zhǔn)則在平面上的拉、壓軸相等時即為廣義Tresca準(zhǔn)則。M-C準(zhǔn)則比較符合試驗(yàn)，但是它的缺點(diǎn)在于三維應(yīng)力空間中的屈服面存在角點(diǎn)奇異性，且沒有考慮中間主應(yīng)力的影響。3.2 Drucker-Prager(D-P)模型1952年Drucker和Prager首先把不考慮中間主應(yīng)力影響的Coulomb屈服準(zhǔn)則與不考慮凈水壓力P影響的Mises準(zhǔn)則聯(lián)系在一起，提出廣義Mises理想塑性模型，即D-P模型。D-P模型的屈服面方程為：。D-P屈服函數(shù)所表示的屈

12、服面在平面上是一個圓，更適合數(shù)值計(jì)算。但是作為近似計(jì)算，D-P模型仍被廣泛應(yīng)用，它的主要缺點(diǎn)也是沒有考慮中間主應(yīng)力的影響。該系列的模型適用于實(shí)質(zhì)上是單調(diào)加載的場合，如土基的極限荷載分析。它最適合用于仿真有內(nèi)摩擦力的材料。該模型具備如下幾個特點(diǎn)：1. 應(yīng)力空間中存在彈性區(qū)域與塑性區(qū)以及它們的分界面2. 材料是初始各向同性的。3. 屈服行為取決于靜水壓力的大小。靜水壓力越大，材料的強(qiáng)度越高，而且材料在軟化或硬化時是各向同性的，因此可以用引入與靜水壓力的相關(guān)關(guān)系的方式來體現(xiàn)模型在各種情況下的變化。4. 非彈性變形與體積變形同時發(fā)生，流動法則中可考慮剪脹行為，所以提供了兩種不同的流動準(zhǔn)則。5. 屈服行

13、為受第二主應(yīng)力2 大小的影響。6. 材料可以與應(yīng)變率有關(guān)。7. 材料參數(shù)可以與溫度有關(guān)。8. 模型的彈性部分可以是線彈性或非線性的孔隙材料彈性。9. 提供了三種不同的屈服準(zhǔn)則供選擇。其區(qū)別基于三種不同的屈服面子午線：線性、雙曲線或一般的指數(shù)函數(shù)。10. 模型選擇的合理性在很大程度上取決于材料的類型和標(biāo)定模型參數(shù)時試驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效性，還取決于壓應(yīng)力值序列是否與材料性質(zhì)合拍。3.3 Cam-clay（Cam）模型Cam模型由英國劍橋大學(xué)Roscoe等人于1963年提出，適用范圍為粘土或者正常固結(jié)土，模型可應(yīng)用于土石壩、地基和樁基礎(chǔ)等，其屈服面方程為： （3-1）1965年，Roscoe，Burlan

14、d分別研究了Cam模型屈服面與臨界狀態(tài)線及正常固結(jié)線的關(guān)系，根據(jù)能量方程對Cam模型屈服面的形狀進(jìn)行了修正，提出了修正Cam模型。在平面上修正Cam模型的屈服面是通過原點(diǎn)的橢圓形曲線。屈服面函數(shù)為：- （3-2）Cam模型只有3個參數(shù)，且易于測定，因此是當(dāng)前應(yīng)用最廣的模型之一。模型的主要缺點(diǎn)是受到傳統(tǒng)塑性理論的限制，且沒有充分考慮剪切變形。3.4 Duncan-Chang（D-C）模型1970年Duncan和Chang根據(jù)Kondner(1963年)的研究成果，將三軸試驗(yàn)得到的土體（軸向應(yīng)變）曲線用下述雙曲線方程來表示：。其中，a,b均為試驗(yàn)常數(shù)。由試驗(yàn)最終得出D-C模型的切線模量方程為： （

15、3-3）1980年，Duncan根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果提出改用體積變形模量K作為計(jì)算參數(shù)，將E-V模型修正為E-K模型。DC模型能反映土體的主要變形特性，且采用加載模量和卸載模量來部分反映土的非線性性質(zhì)，所采用的參數(shù)少，具有比較明確的物理意義，且可由常規(guī)的三軸剪切試驗(yàn)確定，因而在實(shí)際工程中得到了廣泛應(yīng)用。但該模型的主要缺點(diǎn)是不能反映土的剪脹性，也不能反映中間主應(yīng)力2s對模量的影響，其實(shí)際應(yīng)用受到了一定的限制。針對許多土體存在剪脹性的真實(shí)性狀，沈珠江(1986年)等提出了考慮球張量和偏張量相互交叉影響的非線性彈性模型，是一種可以考慮土體剪脹性的非線性應(yīng)力應(yīng)變模型。3.5 Lade-Duncan（L-D）模

16、型Lade-Duncan(1975年)根據(jù)對砂土的真三軸試驗(yàn)結(jié)果，提出了一種適用于砂土類的真三軸彈塑性模型。該模型的屈服函數(shù)由試驗(yàn)資料擬合得到，它把土視作加工硬化材料，服從不相關(guān)聯(lián)流動法則，并采用塑性功硬化規(guī)律。在應(yīng)力空間中屈服面形狀是開口三角錐面。屈服面方程為： （3-4）L-D模型是以塑性功為硬化參量，其優(yōu)點(diǎn)是較好地考慮了剪切屈服和應(yīng)力Lode角的影響。缺點(diǎn)是需要9個計(jì)算參數(shù)，而沒有充分考慮體積變形，難以考慮靜水壓力作用下的屈服特性，即使采用非相關(guān)聯(lián)流動法則也會產(chǎn)生過大的剪脹現(xiàn)象，且不能考慮體縮。3.6修正的帽子模型3.6.1 適用范圍這個模型是在子午線為線性的Drucker-Prager

17、模型上增加一個帽子狀的屈服面而構(gòu)成的，其目的有兩個：一是對靜水壓力給出一個上限二是在材料因剪切而屈服時控制體積膨脹。這個模型適用于粘性巖土介質(zhì)。3.6.2 特點(diǎn)1、考慮了彈、塑性變形，彈性應(yīng)變可以是線性彈性或孔隙介質(zhì)的非線性彈性。2、屈服行為與靜水壓力有關(guān)，所以應(yīng)力空間中的屈服行為有兩種情況：屈服面上所對應(yīng)的是理想塑性，帽子曲面對應(yīng)的卻是硬化塑性。硬化/軟化行為是體積塑性應(yīng)變的函數(shù)。3、塑性變形與體積變形相關(guān)：在屈服面上表現(xiàn)為膨脹，在帽子曲面上表現(xiàn)為壓縮，在兩者的交界線上，為無體積變形的常剪應(yīng)力狀態(tài)。4、中間主應(yīng)力2 對屈服有影響5、在載荷循環(huán)時，帽子曲面可給出相應(yīng)響應(yīng)，屈服面只能對應(yīng)單向加載

18、。6、材料是初始各向同性的。7、材料性質(zhì)可以隨溫度而改變。3.6.3修正的帽子模型公式和參數(shù)模型由兩個屈服面組成，一個是子午線為線性的Drucker-Prager屈服面，它體現(xiàn)為與靜水壓力有關(guān)的剪切破壞，另一個是帽子曲面，它體現(xiàn)了受壓破壞。帽子模型中Drucker-Prager破壞曲面本身是理想塑性的，但是它存在一個產(chǎn)生體積膨脹的塑性流動，使帽子軟化，屈服面方程為： （3-5）其中為摩擦角，d為粘聚力。t為偏應(yīng)力的度量，可以用不同的應(yīng)力狀態(tài)（如受拉或受壓）來調(diào)整t。3.7與蠕變耦合的帽子塑性模型3.7.1適用范圍在許多情況下，巖土介質(zhì)需考慮蠕變造成的影響，一旦加載時段與蠕變發(fā)生時段的尺度是同一

19、個數(shù)量級時，需考慮蠕變與塑性的耦合求解，與蠕變耦合的帽子塑性模型適合于這類情況。3.7.2特點(diǎn)1、耦合求解帽子塑性方程與蠕變方程；2、帽子塑性模型的彈性階段為各向同性線彈性，塑性階段為K=1（平面上是圓）的屈服面，D-P屈服面與帽子屈服面之間無過渡區(qū)，即=0 ；3、蠕變模型中有兩類蠕變行為：粘性蠕變，它同時發(fā)生于剪切破壞區(qū)與帽子區(qū)。固結(jié)蠕變，它只發(fā)生于帽子區(qū)。圖3.7.1 帽子蠕變模型的蠕變等值面3.8 節(jié)理材料模型3.8.1適用范圍節(jié)理材料模型為在不同方向上存在分布度很高的平行節(jié)理的巖土介質(zhì)提供一種簡明的，連續(xù)介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系，它要求某一方向上各節(jié)理層的間距很小，從而使連續(xù)介質(zhì)假定得以成立，這個

20、模型也可以用于存在大量斷層的巖石中。3.8.2特點(diǎn)1、考慮彈，塑性變形。2、節(jié)理層之間有三種關(guān)系：有摩擦的滑動；閉合；分開。一旦節(jié)理層分開，材料立即變?yōu)檎桓飨虍愋泽w。3、考慮了基于Drucker-prager模型的體積變形導(dǎo)致的破壞。4、節(jié)理所組成的整體材料的力學(xué)機(jī)理既包括了塑性滑移，也包括了膨脹。5、模型提供了合理的應(yīng)力循環(huán)，包括節(jié)理的開合和剪力循環(huán)。6、材料可以與溫度有關(guān).第四章 土的本構(gòu)模型研究趨勢為了較好的描述土的真實(shí)性狀，建立土的應(yīng)力-應(yīng)變-時間之間的關(guān)系，已經(jīng)發(fā)展了大量土的本構(gòu)模型，并且有些模型的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，對這些傳統(tǒng)模型進(jìn)行改進(jìn)和修正，使之適用于更廣泛的工程問題，比建立一個新

21、的土的模型更具有實(shí)際意義。隨著土本構(gòu)研究的深入，可從以下幾個方面開展工作：1)為了準(zhǔn)確反映上的非線性、非彈性、軟化、剪脹與剪縮性等特性，需要建立和發(fā)展復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)與加卸載序列條件下土的本構(gòu)模型。2)重視模型參數(shù)的測定和選用，重視本構(gòu)模型驗(yàn)證以及推廣應(yīng)用研究，通過不同類型儀器、不同應(yīng)力路徑的土工試驗(yàn)及工程現(xiàn)場測試等形式，客觀地評價和論證已建模型的正確性與可靠性，全面系統(tǒng)地討論與比較模型的實(shí)用性、局限性及其適用范圍，使之更好地為工程建設(shè)和科學(xué)研究服務(wù)。3)開展非飽和土的本構(gòu)模型研究，建立非飽和土的本構(gòu)模型時應(yīng)充分考慮土中含水量的影響及顆粒骨架、孔隙水與氣體三相之間的界面相互作用及相互交換問題。4)注重土體的微觀結(jié)構(gòu)和宏觀結(jié)構(gòu)研究，揭示土結(jié)構(gòu)性及其變化的力學(xué)效果。5)土的本構(gòu)模型中有許多假設(shè)條件與實(shí)際情況不符，影響了工程計(jì)算的精度和適用性，今后應(yīng)加以改進(jìn)和提高，建立用于解決實(shí)際工程問題的實(shí)用性模型，反映土體的真實(shí)