統(tǒng)計學常用分布及分位數(shù)

1、. 1.4 常用的分布及其分位數(shù) 1. 卡平方分布 卡平方分布、t分布及F分布都是由正態(tài)分布所導出的分布，它們與正態(tài)分布一起，是試驗統(tǒng)計中常用的分布。 當X1、X2、Xn相互獨立且都服從N(0,1)時，Z= 的分布稱為自由度等于n的分布，記作Z(n)，它的分布密度 p(z)=式中的=，稱為Gamma函數(shù)，且=1， =。分布是非對稱分布，具有可加性，即當Y與Z相互獨立，且Y(n)，Z(m)，則Y+Z(n+m)。 證明: 先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互獨立且都服從N(0,1)，再根據(jù)分布的定義以及上述隨機變量的相互獨立性，令 Y=X+X+X，Z=X+X+X， Y+Z= X+

2、X+X+ X+X+X， 即可得到Y+Z(n+m)。 2. t分布 若X與Y相互獨立，且 XN(0,1)，Y(n)，則Z = 的分布稱為自由度等于n的t分布，記作Z t (n)，它的分布密度 P(z)= 。 請注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當n30時，t分布與標準正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線幾乎重疊為一。這時， t分布的分布函數(shù)值查N(0,1)的分布函數(shù)值表便可以得到。 3. F分布 若X與Y相互獨立，且X(n)，Y(m)， 則Z=的分布稱為第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，記作ZF (n, m)，它的分布密度 p(z)=請注意：F分布也是非對稱分布，它的分布密度與自由度的次序

3、有關，當ZF (n, m)時，F(xiàn) (m ,n)。4. t分布與F分布的關系若Xt(n)，則Y=XF(1,n)。 證：Xt(n)，X的分布密度p(x)= 。 Y=X的分布函數(shù)F(y) =PYy=PX0時，F(xiàn)(y) =P-X=2， Y=X的分布密度p(y)=，與第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=XF(1,n)。 為應用方便起見，以上三個分布的分布函數(shù)值都可以從各自的函數(shù)值表中查出。但是，解應用問題時，通常是查分位數(shù)表。有關分位數(shù)的概念如下：4. 常用分布的分位數(shù) 1）分位數(shù)的定義 分位數(shù)或臨界值與隨機變量的分布函數(shù)有關，根據(jù)應用的需要，有三種不同的稱呼，即分位數(shù)、上

4、側分位數(shù)與雙側分位數(shù)，它們的定義如下： 當隨機變量X的分布函數(shù)為 F(x)，實數(shù)滿足0 1時，分位數(shù)是使PX=1-F()=的數(shù)，雙側分位數(shù)是使PX2=1-F(2)=0.5的數(shù)2。 因為1-F()=，F(xiàn)()=1-，所以上側分位數(shù)就是1-分位數(shù)x 1-； F(1)=0.5，1-F(2)=0.5，所以雙側分位數(shù)1就是0.5分位數(shù)x 0.5，雙側分位數(shù)2就是1-0.5分位數(shù)x 1-0.5。2）標準正態(tài)分布的分位數(shù)記作u，0.5分位數(shù)記作u 0.5，1-0.5分位數(shù)記作u 1-0.5。 當XN(0,1)時，PX u=F 0,1(u)=，PXu 0.5= F 0,1 (u 0.5)=0.5，PXu 1-0

5、.5= F 0,1 (u 1-0.5)=1-0.5。根據(jù)標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，當=0.5時，u=0；當0.5時，u0。 u=-u 1-。如果在標準正態(tài)分布的分布函數(shù)值表中沒有負的分位數(shù)，則先查出 u 1-，然后得到u=-u 1-。論述如下：當XN(0,1)時，PX u = F 0,1 (u )=，PX u 1-=1- F 0,1 (u 1-)=，故根據(jù)標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，u=-u 1-。 例如，u 0.10=-u 0.90=-1.282，u 0.05=-u 0.95=-1.645，u 0.01=-u 0.99=-2.326，u 0.025=-u 0.975=-1.960，u

6、0.005=-u 0.995=-2.576。 又因為P|X|0，當X(n)時，PX(n)=。例如，0.005 (4)=0.21，0.025 (4)=0.48，0.05 (4)=0.71，0.95 (4)=9.49，0.975 (4)=11.1，0.995 (4)=14.9。4）t分布的分位數(shù)記作t(n)。當Xt (n)時，PX30時，在比較簡略的表中查不到t(n)，可用u作為t(n)的近似值。 5）F分布的分位數(shù)記作F(n , m)。 F(n , m)0，當XF (n , m)時，PXF(n , m)=。 另外，當較小時，在表中查不出F(n, m)，須先查F1-(m, n)，再求F(n, m)

7、=。論述如下：當XF(m, n)時，PX=1-，P=，又根據(jù)F分布的定義，F(xiàn)(n, m)，PF(n, m) =，因此 F(n, m)= 。例如，F(xiàn) 0.95 (3,4)=6.59，F(xiàn) 0.975 (3,4)=9.98，F(xiàn) 0.99 (3,4)=16.7，F(xiàn) 0.95 (4,3)=9.12，F(xiàn) 0.975 (4,3)=15.1，F(xiàn) 0.99 (4,3)=28.7，F(xiàn) 0.01 (3,4)=，F(xiàn) 0.025 (3,4)=，F(xiàn) 0.05 (3,4)=。 【課內(nèi)練習】 1. 求分位數(shù)0.05(8)，0.95(12)。 2. 求分位數(shù) t 0.05(8)， t 0.95(12)。 3. 求分位數(shù)F0.0

8、5(7,5)，F(xiàn)0.95(10,12)。 4. 由u 0.975=1.960寫出有關的上側分位數(shù)與雙側分位數(shù)。 5. 由t 0.95(4)=2.132寫出有關的上側分位數(shù)與雙側分位數(shù)。 6. 若X(4)，PX0.711=0.05，PX9.49=0.95，試寫出有關的分位數(shù)。 7. 若XF(5,3)，PX9.01=0.95，YF(3,5)，Y1.44。 習題答案：1. 2.73，21.0。2. -1.860，1.782。3. ，3.37。4. 1.960為上側0.025分位數(shù)，-1.960與1.960為雙側0.05分位數(shù)。5. 2.132為上側0.05分位數(shù)，-2.132與2.132為雙側0.1分位數(shù)。6