第四章空間力系的合成與平衡ppt課件

1、第四章 空間力系的合成與平衡,第一節(jié) 空間匯交力系的合成與平衡,第二節(jié) 力對點之矩與力對軸之矩,第三節(jié) 空間力偶系的合成與平衡,第四節(jié) 空間任意力系的合成與平衡,第五節(jié) 重心,空間力系：各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系?？?分為空間匯交力系，空間力偶系，空間任意力系。,其研究方法：與平面力系研究的方法相同，但由于各力的作用線分布在空間，因此平面問題中的一些概念、理論和方法要作推廣和引伸。,現(xiàn)研究空間力沿坐標軸的分解和投影。,第一節(jié) 空間匯交力系的合成與平衡,一、空間力沿坐標軸的分解與投影,分解,直接投影法,二次投影法,即,若用單位矢量，則力F沿直角坐標軸分解的表達式為,注意：力在軸上的投影是代

2、數(shù)量，而力在平面上的投 影是矢量。,Fx i + Fy j + Fz k,解法二 二次投影法,設(shè)力F與Oxy平面的夾角為， 則得力F在oxy平面上的投影的大小 為,于是有,由于 軸垂直于y 軸，所以根據(jù)合力投影定理可得,這里只介紹解析法。,空間的合力投影定理(合成)。,則合力,合力在某一軸上的投影，等于力系中所有各力在同一軸上的投影的代數(shù)和,各分力,Fi=Fx i+Fy j +Fz k,二、空間匯交力系的合成與平衡,平衡的必要與充分條件：該力系的合力為零。,空間匯交力系的平衡方程,注意：,(1) 當空間匯交力系平衡時，它與任何平面上的投影力 系也平衡。,(2) 投影軸可任意選取，只要三軸不共面

3、且任何兩根不 平行。,例4-2 結(jié)構(gòu)如圖所示，桿重不計，已知力P，試求兩桿的內(nèi)力和繩BD的拉力。,解：研究鉸鏈B。有平衡方程,例4-3 重力P=1kN，A是球鉸支座、A、B、C點是固定在同一墻上，試求：桿AD、繩DB，DC的約束力。,解：這是空間匯交力系，取D點為匯交點。有,BE=CE,DB=DC，則：FDB=FDC,FDB=FDC=289N,力對于任一點之矩等于矩心 至力的作用點的矢徑與該力 的矢積,稱為力對于點之矩的 矢積表達式，它是一個定位矢量。,第二節(jié) 力對點之矩與力對軸之矩,1. 相對于點的矢量表示,Mz(F) 2OA B,|MO(F)| =2OAB,|MO(F)|cos =Mz(F

4、),r = x i + y j + z k,=,( x i + y j + z k ),=,i j k,x y z,解析表示,=,=,=,長方體，上下底為正方形，邊長 ，高a，力大小F ；求力 F 對點矩 。,a,解：,例4-4,2、力對軸之矩,力對軸之矩是力對剛體所產(chǎn) 生的繞該軸轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量。,1. 力對軸之矩的概念,代數(shù)量；, 當力與軸相交時；, 當力與軸平行時；,單位N m，kN m,按右手定則來確定正負號。,力對軸之矩的合力矩定理:合力對于任一軸之矩等于各分力對于同一軸之矩的代數(shù)和。,應(yīng)用上述定理可以求出力對于坐標軸之矩的解析表達式。,其中:,3.力對于點之矩與力對于通過該點的軸之矩

5、間的關(guān)系,力矩關(guān)系定理:力對于任一點之矩矢在通過該點的任一軸上的投影等于力對于該軸之矩。,平行平面間的力偶的等效條件：作用面平行的兩個力偶，若其力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則兩力偶等效。,1、空間力偶的等效定理，力偶矩矢的概念,同平面內(nèi)力偶等效條件：兩力偶矩的代數(shù)值相等。,但分別作用在不平行平面內(nèi)的兩個力偶對于剛體的效應(yīng)是不同的,空間力偶的三要素：大小、轉(zhuǎn)向和作用面的位置。,第三節(jié) 空間力偶系的合成與平衡,2、空間力偶系的合成與平衡.,力偶矩矢是一個自由矢量。,空間力偶的等效定理：凡矩矢相等的力偶均為等效力偶。,空間力偶系可合成為一合力偶,則該合力偶矩矢等于力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和。,空間

6、力偶系平衡的必要與充分條件是:該力偶系中所有的各力偶矩矢的矢量和為零 。,投影形式有,例4-5 工件如圖所示，它的四個面上同時鉆五個孔，每個孔所受的切削力偶矩均為 80 Nm 。求工件所受合力偶的矩在 x，y，z 軸上的投影 Mx ，My ，Mz ，并求合力偶矩矢的大小和方向。,A,Mx = Mx = M3 M4 cos 45o M5 cos 45o = 193.1 Nm,My = My = M2 = 80 Nm,Mz= Mz = M1 M4 cos 45o M5 cos 45o = 193.1 Nm,= 284.6 Nm,例4-6 圖示的三角柱剛體是正方體的一半。在其中三個側(cè)面各自作用著一個

7、力偶。已知力偶（F1 ，F(xiàn) 1）的矩 M 1 = 20 Nm；力偶（F2， F 2 ）的矩 M 2 = 20 Nm；力偶（F3 ，F(xiàn) 3）的矩 M 3 = 20 Nm。試求合力偶矩矢 M 。又問使這個剛體平衡，還需要施加怎樣一個力偶。,1.畫出各力偶矩矢。,解：,2.合力偶矩矢 M 的投影。,Mx = Mx = M1x + M2x + M3x = 0,My = My = M1y + M2y + M3y = 11.2 Nm,Mz = Mz = M1z + M2z + M3z = 41.2 Nm,3.合力偶矩矢 M 的大小和方向。,為使這個剛體平衡，需加一力偶，其力偶矩矢為-M。,4. 由 M =

8、 0,= 42.7 Nm,(M, i) = 90 o,(M, j) = 74.8 o,(M, k) = 15.2 o,M4 = M,（一）空間任意力系向已知點的簡化,簡化理論依據(jù)是: 力線平移定理。,空間力系中，應(yīng)把力對于點之矩與力偶矩用矢量表示。,力線平移定理:作用于剛體上的任一力,可平移至剛體的任意一點,欲不改變該力對于剛體的作用,則必須在該力與指定點所決定的平面內(nèi)加一力偶,其力偶矩矢等于力對于指定點之矩矢。,第四節(jié) 空間任意力系的合成與平衡,附加力偶,主矢，主矩,主矢：,主矩：,對于一空間力系，有,O：簡化中心,主矢是力系的第一不變量。,空間任意力系向任一點簡化的結(jié)果。一般可得到一力和一

9、力偶，該力作用于簡化中心，其力矢等于力系的主矢，該 力偶 的力偶矩矢等于力系對于簡化中心的主矩。,主矢：,主矩：,若取坐標原點為簡化中心,則有:將主矢 及各力 F1、F2、F3 均投影在三坐標軸上則,與平面力系一樣，空間力系的主矢與簡化中心的位置無關(guān)，而矩的一般將隨著簡化中心的位置不同而改變。,同樣，將 Mo 及 Mo（F）均投影在同一坐標軸上，并應(yīng)用力矩關(guān)系定理，則得,空間任意力系簡化結(jié)果的分析,(過簡化中心),(合成為一力),(力螺旋),(成任意角),空間系的合力矩定理,若空間任意力系可以合成為一個合力時,則其合力對于任一點或軸之矩等于力系中各力對于同一點或軸之矩的矢量和或代數(shù)和,這即為空

10、間力系合力矩定理。,（二）力系的簡化結(jié)果,與簡化中心無關(guān),1、,2、,3、,4、,平移距離：,平移方向：,的方向,右手力螺旋,左手力螺旋,（2）,力螺旋,力螺旋中力的作用線被稱為力系的中心軸。顯然，力系向中心軸上任一點簡化，所得到的力螺旋都是相等的。,當主矢與主矩都不等于零的情況下，其最終簡化結(jié)果，為合力或力螺旋兩種可能。,若取任意點A為新的簡化中心,主矢：,新的主矩：,主矢與主矩的點積也與簡化中心的選擇無關(guān)，稱之為力系的第二不變量,由主矢與主矩的點積是否為零，就可判定出簡化的最終是合力還是力螺旋。,（不變量）不變,空間力系向一點簡化后為：一個力和一個力偶。,故空間力系平衡的必要條件是力系的主

11、矢及主矩都等于零，即,這是空間力系的平衡方程。,（三）空間力系的平衡,空間任意力系平衡的必要與充分條件:力系中所有各力 在任意相互垂直的三個坐標軸上之投影的代數(shù)和等于零， 以及力系對于這三個軸之矩的代數(shù)和分別等于零。,(1)空間匯交力系,(2）空間平行力系,取坐標軸z與各力平行，則,取力系的作用面為Oxy,在求解空間力系問題時要注意幾點：,(a)約束性質(zhì)。,(b)當空間任意力系平衡時，它在任何面上的投影力系也平衡，可將空間轉(zhuǎn)化為平面問題來處理。,(c)除三投影式，三力矩式,還有四力矩,五力矩，六力矩式。,空間平行力系平衡的必要充分條件是:該力系所有各力在與力線平行的坐標軸上的投影代數(shù)和等于零,

12、以及各力對于兩個與邊線垂直的軸之矩的代數(shù)和分別為零。,(3) 平面任意力系,例4-7 有一勻質(zhì)矩形等厚的板，重力P =200N，角A為球鉸，另一端B用鉸鏈（沿軸y向無約束力）與墻壁相連，再用一索EC使板維持于水平位置。若=j =30，試求索內(nèi)的拉力及A,B兩處的約束力。,解,設(shè)ADCB=b，則,得: F =P = 200N,由:,得:,FAy=（3/4）F=150N,FBz=P/2-F/2=0,FBx =0,例4-8 重力為P的勻質(zhì)正方形平臺，由六根不計自重的直桿支撐，在水平力F的作用下保持靜止。桿與水平面的夾角均為j =45，試求各桿的力。,設(shè)板邊長為l ,用多力矩形式求解。,解,（壓）,（

13、壓）,例4-9 邊長為a 的等邊三角形水平板上作用著力偶M，並用六根二力桿支撐，板自重不計，試求各桿的力。,MAD =0, F5cos300acos300+M=0;,MFB =0, F6cos300acos300+M=0; ,MEC =0, F4cos300acos300+M=0;,MCA =0, F2 asin600 F5 sin300asin600=0;,MAB =0, F3 asin600 F6 sin300asin600=0;,MBC =0, F1 asin600 F4 sin300asin600=0;,解：取班ABC為研究對象，進行受力分析。有,任一物體事實上都可看成由無數(shù)個微元體組

14、成，這些微元體的體積小至可看成是質(zhì)點。任一微元體所受重力（即地球的吸引力）Gi ， 其作用點的坐標xi 、yi 、zi 與微元體的位置坐標相同。所有這些重力構(gòu)成一個匯交于地心的匯交力系。由于地球半徑遠大于地面上物體的尺寸，這個力系可看作一同向的平行力系，而此力系的中心稱為物體的重心。,力系的簡化在工程實際中有許多的應(yīng)用。例如，電機、汽車、船舶、飛機以及許多旋轉(zhuǎn)機械的設(shè)計、制造、試驗和使用時，都常需要計算或測定其重心的位置，而求物體重心的問題，實質(zhì)上就是求平行力系的合力問題。,第五節(jié) 重心,（1）平行力系的中心 （2）物體的重心及其坐標公式,空間平行力系，當它有合力時，合力的作用點C 就是此空間

15、平行力系的中心。而物體重心問題可以看成是空間平行力系中心的一個特例。,1.平行力系的中心：,由合力矩定理：,平行力系的中心物體重心,令：,有：,投影式為：,所以：,如果把物體的重力都看成為平行力系，則求重心問題就是求平行力系的中心問題。由合力矩定理：,2. 重心坐標公式：,平行力系的中心物體重心,設(shè) i 為第 i 個小部分單位體積的重量，Vi為第 i 個小體積，則Pi = iVi ，代入上式并取極限，可得：,平行力系的中心物體重心,即：,由合力矩定理：,對于均質(zhì)物體， =恒量，上式成為：,對于均質(zhì)等厚平板（ =恒量），公式成為：,對于均質(zhì)等截面細桿（ =恒量），公式成為：,3. 確定物體重心坐

16、標的方法,對稱法,積分法,x為dA（A）形心的坐標（到 y 軸的距離或“力臂”）,y為dA（A）形心的坐標（到 x 軸的距離或“力臂”）,解：由積分法,y為dA形心的坐標（到x軸的距離或“力臂”）,例4-10 試確定半圓的中心位置。,查手冊,組合法,例4-11 已知：等厚均質(zhì)偏心塊中R =100mm， r =17mm， b =13mm。,求：偏心塊重心坐標。,解：設(shè)大半圓面積為A1，半徑為r+b的小半圓面積為A2，半徑為r的小圓面積（負值）為A3：,由對稱性,思考：圖中左右兩部分的重量是否一定相等 ？,（1）水平位置,（2）傾斜位置,利用幾何關(guān)系，整理后得,圖示機床重2500N，現(xiàn)擬用“稱重法”確定其重心坐標。為此，在B 處放一墊子，在A處放一秤。當機床水平放置時，A處秤上讀數(shù)為 1750N，當=20 時秤上的讀數(shù)為1500N。試算出機床重心的坐標。,思考題1,例4-12,如圖所示，邊長為 a 和正方形均質(zhì)板，求點E 的極 限位置