第2章 初等模型.ppt

1、第二章 初等模型,2.1 公平的席位分配 2.2 雙層玻璃窗的功效 2.3 汽車剎車距離 2.4 劃艇比賽的成績 2.5 實物交換 2.6 核軍備競賽 2.7 啟帆遠(yuǎn)航 2.8 科學(xué)選址,2.1 公平的席位分配,問題,三個系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席。,現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103, 63, 34, 問20席如何分配。,若增加為21席，又如何分配。,比例加慣例,對丙系公平嗎,“公平”分配方法,衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo),當(dāng)p1/n1= p2/n2 時，分配公平,p1/n1 p2/n2 對A的絕對不公平度,p1=150

2、, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者對A的不公平程度已大大降低!,雖二者的絕對不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ，對 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方案應(yīng)使 rA , rB 盡量小,設(shè)A, B已分別有n1, n2 席，若增加1席，問應(yīng)分給A, 還是B,不妨設(shè)分配開始時 p1/n1 p2/n2 ，即對A不公平, 對A的相對不公平度,將絕對度量改為相對度量,類似地定義 rB(n1,n2),

3、將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定義,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,則這席應(yīng)給 A,2）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,應(yīng)計算rB(n1+1, n2),應(yīng)計算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給,應(yīng)討論以下幾種情況,初始 p1/n1 p2/n2,問：,p1/n1p2/(n2+1) 是否會出現(xiàn)？,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給 B,當(dāng) rB(n1+1, n2) rA(n1

4、, n2+1), 該席給A,該席給A,否則, 該席給B,推廣到m方分配席位,該席給Q值最大的一方,Q 值方法,三系用Q值方法重新分配 21個席位,按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢,甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大，第21席給丙系,甲系11席，乙系6席，丙系4席,Q值方法分配結(jié)果,公平嗎？,Q1最大，第20席給甲系,進(jìn)一步的討論,Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？,席位分配的理想化準(zhǔn)則,已知: m方人數(shù)分別為 p1, p2, , pm, 記總?cè)藬?shù)為

5、P= p1+p2+pm, 待分配的總席位為N。,設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2, , nm (自然應(yīng)有n1+n2+nm=N)，,記qi=Npi /P, i=1,2, , m,ni 應(yīng)是 N和 p1, , pm 的函數(shù)，即ni = ni (N, p1, , pm ),若qi 均為整數(shù)，顯然應(yīng) ni=qi,qi=Npi /P不全為整數(shù)時，ni 應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：,記 qi =floor(qi) 向 qi方向取整； qi+ =ceil(qi) 向 qi方向取整.,1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm)

6、 (i=1,2, , m),即ni 必取qi , qi+ 之一,即當(dāng)總席位增加時， ni不應(yīng)減少,“比例加慣例”方法滿足 1），但不滿足 2）,Q值方法滿足 2）,但不滿足 1）。令人遺憾！,問題,雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失,假設(shè),熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流,T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài),材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù),建模,熱傳導(dǎo)定律,Q 單位時間單位面積傳導(dǎo)的熱量,T溫差, d材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù),2.2 雙層玻璃窗的功效,Ta,Tb,記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1,Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度,Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度,建模,記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2,雙層與單層

7、窗傳導(dǎo)的熱量之比,k1=410-3 8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 32,對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，,取k1/k2 =16,建模,模型應(yīng)用,取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2=0.03,即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。,結(jié)果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2, 而這要求空氣非常干燥、不流通。,房間通過天花板、墻壁 損失的熱量更多。,雙層窗的功效不會如此之大,2.3 汽車剎車距離,美國的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：,背景與問題,正常駕駛條件下, 車速每增10英里/小時， 后面與前車的距離應(yīng)增一

8、個車身的長度。,實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是 “2秒準(zhǔn)則” ：,后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù) 2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何,判斷 “2秒準(zhǔn)則” 與 “車身”規(guī)則是否一樣；,建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。,問題分析,常識：剎車距離與車速有關(guān),10英里/小時(16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺( 9米),車身的平均長度15英尺(=4.6米),“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則不同,剎車距離,反應(yīng)時間,司機(jī)狀況,制動系統(tǒng)靈活性,制動器作用力、車重、車速、道路、氣候 ,最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動。,車速,假 設(shè) 與 建 模,1. 剎車距離 d 等于反應(yīng)距

9、離 d1 與制動距離 d2 之和,2. 反應(yīng)距離 d1與車速 v成正比,3. 剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變;,F d2= m v2/2,F m,t1為反應(yīng)時間,且F與車的質(zhì)量m成正比,反應(yīng)時間 t1的經(jīng)驗估計值為0.75秒,參數(shù)估計,利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)則”,模 型,2.4 劃艇比賽的成績,對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠軍的成績進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。,問題,準(zhǔn)備,調(diào)查賽艇的尺寸和重量,問題分析,前進(jìn)阻力 浸沒部分與水的摩擦力,前進(jìn)

10、動力 漿手的劃漿功率,分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系,賽艇速度由前進(jìn)動力和前進(jìn)阻力決定,對漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定,運用合適的物理定律建立模型,模型假設(shè),1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)), w0與n成正比,2）v是常數(shù)，阻力 f與 sv2成正比,符號：艇速 v, 浸沒面積 s, 浸沒體積 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 漿手?jǐn)?shù) n, 漿手功率 p, 漿手體重 w, 艇重 W,艇的靜態(tài)特性,艇的動態(tài)特性,3）w相同，p不變，p與w成正比,漿手的特征,模型建立,f sv2,p w,s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n,np fv,模型檢驗,利用4次國際大賽冠軍的平均成

11、績對模型 t n 1/ 9 進(jìn)行檢驗,與模型巧合！,問題,甲有物品X, 乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實物交換方案。,用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0, 乙占有Y的數(shù)量為y0, 作圖：,若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點 p(x,y),都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y),2.5 實物交換,甲的無差別曲線,分析與建模,如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1, p2對甲是無差別的，,線上各點的滿意度相同, 線的形狀反映對X,Y的偏愛程度，,比MN各點滿意

12、度更高的點如p3，在另一條無差別曲線M1N1上。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。,無差別曲線族的性質(zhì)：,單調(diào)減(x增加, y減小),下凸(凸向原點),互不相交,在p1點占有x少、y多，寧愿以較多的 y換取較少的 x;,在p2點占有y少、x多，就要以較多的 x換取較少的 y。,甲的無差別曲線族記作,f(x,y)=c1,c1滿意度,（f 等滿意度曲線）,乙的無差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）,雙方的交換路徑,乙的無差別曲線族 g=c2 (坐標(biāo)系xOy, 且反向）,甲的無差別曲線族 f=c1,雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上,因為在AB外的任一點p, (雙方)滿意

13、度低于AB上的點p,兩族曲線切點連線記作AB,p,交換方案的進(jìn)一步確定,交換方案 交換后甲的占有量 (x,y),0 xx0, 0yy0矩形內(nèi)任一點,交換路徑AB,等價交換原則,X,Y用貨幣衡量其價值，設(shè)交換前x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為,(x0,0), (0,y0) 兩點的連線CD,AB與CD的交點p,設(shè)X單價a, Y單價b, 則等價交換下ax+by=s (s=ax0=by0),2.6 核軍備競賽,冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競賽不斷升級。,隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議。,在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴(kuò)張

14、，而存在暫時的平衡狀態(tài)。,當(dāng)一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。,估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個數(shù)量受哪些因素影響。,背景,以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。,假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：,認(rèn)為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；,乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。,在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對方的一個核導(dǎo)彈基地。,摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。,模型假設(shè),圖的模型,y=f(x)甲方有

15、x枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù),x=g(y)乙方有y枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù),當(dāng) x=0時 y=y0，y0乙方的威懾值,y0甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù),P(xm,ym),乙安全區(qū),甲安全區(qū),雙方 安全區(qū),P平衡點(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)),乙安全線,精細(xì)模型,乙方殘存率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率。,sx個基地未摧毀，yx個基地未攻擊。,xy,甲方以 x攻擊乙方 y個基地中的 x個,y0=sx+yx,x=y,y0=sy,乙的xy個被攻擊2次，s2(xy)個未摧毀； y (xy)=2y x個被攻擊1次，s(2y x )個未

16、摧毀,y0= s2(xy)+ s(2y x ),x=2y,y0=s2y,yx2y,a交換比(甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比),x=a y,精細(xì)模型,x=y, y=y0/s,x=2y, y=y0/s2,y0威懾值,s殘存率,y是一條上凸的曲線,y0變大，曲線上移、變陡,s變大，y減小，曲線變平,a變大，y增加，曲線變陡,xy, y= y0+(1-s)x,yx2y,甲方增加經(jīng)費保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo),乙方威懾值 y0變大,甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。,（其它因素不變）,乙安全線 y=f(x)上移,模型解釋,平衡點PP,甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動發(fā)射架,乙安全線y=f(x)不變,甲方殘存率變

17、大,威懾值x 0和交換比不變,x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近,模型解釋,甲方這種單獨行為，會使雙方的核導(dǎo)彈減少,PP,雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標(biāo),(x , y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量),雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加,y0減小 y下移且變平,a 變大 y增加且變陡,雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析,模型解釋,乙安全線 y=f(x),帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向,簡化問題,海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從A點駛向正東方的B點，確定起航時的航向，,2.7 啟帆遠(yuǎn)航,模型分析,風(fēng)(通過帆)對船的推力w,風(fēng)對船體部分的阻力p,推力w的分解

18、,阻力p的分解,p=p1+p2,模型假設(shè),w與帆迎風(fēng)面積s1成正比，p與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠(yuǎn)大于 s2，,f1航行方向的推力,p1 航行方向的阻力,w1=wsin(-),f1=w1sin=wsin sin(-),p1=pcos,模型假設(shè),w2與帆面平行，可忽略,f2, p2垂直于船身，可由舵抵消,模型建立,w=ks1, p=ks2,船在正東方向速度分量v1=vcos,航向速度v與力f=f1-p1成正比,v=k1(f1-p1),2) 令 = /2, v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos 求使v1最大（w=ks1, p=ks2）,1) 當(dāng)固定時求使f1最大,f

19、1=wcos(-2)-cos/2,= k1(f1-p1)cos,f1=w1sin=wsin sin(-),p1=pcos,求, ,使 v1最大,模型建立,v1=vcos,模型求解,60 75,1 t 2,備注,只討論起航時的航向，是靜態(tài)模型 航行過程中終點B將不在正東方,記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2,=( k1w/2)1-(1+2p/w)coscos ,w=ks1, p=ks2,1/4cos 1/2,模型求解,v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos ,s1 s2,歡迎您學(xué)習(xí)！,2.8 最佳選址問題,二、提出方案,水泵站R建立在河邊（即L上），則問題轉(zhuǎn)化為在L上找一點

20、R，使|RP|RQ|為最小。,方案一：,水泵站R建立在河邊（即L上），則問題轉(zhuǎn)化為在L上找一點R，使|RP|RQ|為最小。,方案一：,水泵站R不建在河邊，則問題轉(zhuǎn)化為要在L的P、Q一側(cè)找點R，使R到P、Q及L的距離之和最小。,方案二：,三、論證方案,方案一：,方案二：,、對于方案一：聯(lián)想平幾知識，用光學(xué)性質(zhì)建模：,作點Q關(guān)于直線L的對 稱點Q ，,連 P Q 交 L于R，,則R為所求（如圖）,這樣所需直線輸水管的總長度為：,S(R )| PQ | 22.72千米。,三、論證方案,方案一：,方案二：,2、對于方案二,這里建立的是關(guān)于x、y的二元函數(shù)模型，但求解困難。,y,x,O,思路一：,圖,建

21、立如圖的 坐標(biāo)系，則易得P（0，10）、 Q（ 8 ，8）設(shè)點R(x , y ) ， 則S(R)|PR| + |RQ| + |RM| 。,用判別式法可得 S(R)21或S(R) 3. 因為S(R)0 故S(R)的最小值是21，代入(1)中得y 5，于是Q( , 2 ) PQ的直線方程為y ，把y 5代入得x5， 故|RP|= =10 (km), | RQ|= = 6(km) , R到河岸的距離為5(km)。,若把|PR| |RQ|看作定值，則R在以P、Q為焦點的橢圓上，故這需在橢圓找點R，作R到L的距離最小，因此可考慮運用橢圓的定義和直線與橢圓的關(guān)系建模。,思路三：,L,R,橢圓方程為： (3) 聯(lián)立(2) (3)，化簡得 (4) 根據(jù)L為橢圓的切線，得0解得：n2 4 9（a248）。由題意n 0 ， 則n7 ，所以直線L 為：x4 y7 0.,所以L與L的距離為： 故輸水管的總長度：S(R) 2a 9 (5) 用