非齊次線性微分方程通解的證明

1、 非齊次線性微分方程通解的證明 問(wèn)題重述如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，是區(qū)間上齊次線性微分方程 （5.21）的基本解組，那么，非齊次線性微分方程 (5.28)的滿足初值條件 的解由下面公式給出 （5.29）這里是的朗斯基行列式，是在中的第k行代以后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式 ，（5.30）這里是適當(dāng)選取的常數(shù)。公式（5.29）稱為（5.28）的常數(shù)變易公式。我們指出，這時(shí)方程（5.28）的通解可以表示為 證明 考慮n階線性微分方程的初值問(wèn)題 （5.6）其中是區(qū)間上的已知連續(xù)函數(shù)，是已知常數(shù)，我們指出，它可以化為下列線性微分方程組的初值問(wèn)題： （5.7）其中 事實(shí)上，令

2、這時(shí) 而且 現(xiàn)在假設(shè)是在包含的區(qū)間上（5.6）的任一解，由此，我們得知在上存在、連續(xù)、滿足方程（5.6）且令 其中那么，顯然有，此外，我們還得到 在此處鍵入公式。這就表示這個(gè)特定的向量是（5.7）的解，反之，假設(shè)向量u（t）是在包含的區(qū)間上（5.7）的解，令 并定義函數(shù)，由（5.7）的第一個(gè)方程，我們得到，由第二個(gè)方程得到有第n-1個(gè)方程得到由第n個(gè)方程得到 由此即得 同時(shí)，我們也得到 這就是說(shuō)，是（5.6）的一個(gè)解總之，由上面的討論，我們已經(jīng)證明了初值問(wèn)題（5.6）與（5.7）在下面的意義是等價(jià)的：給定其中一個(gè)初值問(wèn)題的解，我們可以構(gòu)造另一個(gè)初值問(wèn)題的解。值得指出的是，每一個(gè)n階線性微分方程

3、可化為n個(gè)一階線性微分方程構(gòu)成的方程組，反之卻不成立。本段討論非齊次線性微分方程組 （5.14）的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，這里是區(qū)間上已知nxn連續(xù)矩陣，是區(qū)間上的已知的n維連續(xù)列向量，向量通常稱為強(qiáng)迫項(xiàng)，因?yàn)槿绻?.14）描述一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)，就代表外力。 我們?nèi)菀昨?yàn)證（5.14）的兩個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì) 性質(zhì)1 如果是（5.14）的解，是（5.14）對(duì)應(yīng)的其次線性微分方程組（5.15）的解，則是（5.14）的解 性質(zhì)2 如果和是（5.14）的兩個(gè)解，則是（5.15）的解 下面的定理7給出（5.14）的解的結(jié)構(gòu) 定理7 設(shè)是（5.15）的基解矩陣，是（5.14）的某一解，則（5.14）的任一解都可表為 （5.23

4、）這里c是確定的常數(shù)列向量 證明 由性質(zhì)2我們知道是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到 這里c是確定的常數(shù)列向量，由此即得 定理證畢 定理7告訴我們，為了尋求（5.14）的任一解，只要知道（5.14）的一個(gè)解和它對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程組（5.15）的基解矩陣，現(xiàn)在，我們要進(jìn)一步指出，在已經(jīng)知道（5.15）的基解矩陣的情況下，有一個(gè)尋求（5.14）的解的簡(jiǎn)單方法，這個(gè)方法就是常數(shù)變易法。 從上一節(jié)我們知道，如果c是常數(shù)列向量，則是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解，因此，我們將c變易為t的向量函數(shù)，而試圖尋求（5.14）的形如 （5.24）的解，這里是待定的向量函數(shù)。 假

5、設(shè)（5.14）存在形如（5.24）的解，這時(shí)，將（5.24）代入（5.14）得到 因?yàn)槭牵?.15）的基解矩陣，所以，由此上式中含有的項(xiàng)消去了，因而必須滿足關(guān)系式 （5.25）因?yàn)樵趨^(qū)間上是非奇異的，所以存在，用左乘（5.25）兩邊，然后積分之，得到 其中=0，這樣，（5.24）變?yōu)?（5.26）因此，如果（5.14）有一個(gè)形如（5.24）的解，則由公式（5.26）決定。 反之，用公式（5.26）決定的向量函數(shù)必定是（5.14）的解，事實(shí)上，微分（5.26）得到 再利用公式（5.26），即得 顯然，還有=0，這樣一來(lái)，我們就得到了下面的定理8 定理8 如果是（5.15）的基解矩陣，則向量函數(shù) 是（5.14）的解，且滿足初值條件 由定理7和定理8容易看出，（5.14）的滿足初