分塊矩陣【研究材料】

1、分塊矩陣,一. 分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則,二. 分塊矩陣的一些例子,矩陣分塊，是矩陣運(yùn)算的一個(gè)重要方法，可將大規(guī)模矩陣的運(yùn)算化為若干小矩陣進(jìn)行計(jì)算。,在矩陣某些行之間插入橫線，某些列之間插入縱線，將矩陣分割成若干個(gè)小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為矩陣的子塊；以子塊為元素的矩陣，稱為分塊矩陣。,1、矩陣分塊的方法,例如,即,說(shuō)明 (1). 矩陣分塊時(shí)，同一個(gè)矩陣可以有不同的分塊方法，應(yīng)根據(jù)需要進(jìn)行選擇。,2、矩陣分塊一般形式,矩陣A = ( aij )mn，在行方向分s塊，列方向分t塊，稱A為st分塊矩陣，第k行l(wèi)列子塊Akl是mknl階矩陣。,各子塊行數(shù),各子塊列數(shù),說(shuō)明 (2). 矩陣分塊三原則：體現(xiàn)原矩陣

2、特點(diǎn)，依據(jù)問(wèn)題需要，子塊可以作元素運(yùn)算。,一、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則,設(shè)A、B是mn階矩陣，采用相同的分塊法分塊將A、B分塊如下：,1、分塊加法,注. 分塊矩陣運(yùn)算中，每個(gè)子塊具有二重性：一是分塊矩陣的元素；二是本身是矩陣。,2、分塊數(shù)乘,設(shè)A是mn階矩陣，任意分塊，k是常數(shù)，則定義,3、分塊乘法,設(shè)A是ml階矩陣， B是ln階矩陣，,即A的列數(shù) = B 的行數(shù),即A的列分塊法 = B 的行分塊法,分塊A = ( Auv )sr B = ( Bvw )rt,則A與B的乘積C = ( Cuw ) 是st階分塊矩陣，滿足,注. 分塊矩陣乘積AB中，每個(gè)子塊： （1）作為分塊陣元素參與運(yùn)算 （2）作為矩

3、陣也要滿足乘法條件,例1. 用分塊矩陣法求AB,解：,則,又,于是,說(shuō)明 (3). 矩陣分塊的目的，是讓矩陣的計(jì)算過(guò)程更簡(jiǎn)單，計(jì)算量更少。,4、分塊轉(zhuǎn)置,設(shè)矩陣A = ( Aij ) 是sr 階分塊矩陣,例1的計(jì)算量比較：,直接進(jìn)行矩陣乘積需要的四則運(yùn)算次數(shù),用分塊矩陣進(jìn)行矩陣乘積需要的四則運(yùn)算次數(shù),合計(jì)32次,說(shuō)明：分塊轉(zhuǎn)置中，每個(gè)子塊一方面作為分塊陣元素要轉(zhuǎn)置；另一方面作為矩陣本身也要轉(zhuǎn)置。,分外層、內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置,特別地，對(duì)于列分塊矩陣：,二、一些特殊的分塊矩陣,1. 2階分塊上（下）三角形矩陣求逆,例2. 求下列2階分塊逆矩陣,其中A11， A22可逆矩陣,其中B12， B21可逆矩陣,

4、解(1) ：設(shè)A的分塊逆矩陣為,得到4個(gè)矩陣方程組,求解該方程組，得,(2) （解略，請(qǐng)仿(1)方法自行求解）,設(shè)A1, A2, , As均為方陣（不一定同階），則稱下面的A為分塊對(duì)角矩陣,2. 分塊對(duì)角矩陣,如果矩陣A1, A2, , As均可逆，則分塊對(duì)角矩陣A可逆，且其逆矩陣為,說(shuō)明：分塊對(duì)角陣的逆矩陣，與對(duì)角矩陣的逆矩陣形式類似。,3. 矩陣乘積AB，A不分塊，B按列分塊,設(shè)矩陣A、B分別是sn 和nt 階矩陣，A不分塊，B按列分塊，即,則,例3. 求解下列矩陣方程,說(shuō)明：矩陣方程AX = B 可看成 t 個(gè)線性方程組 Ax1 = b1, Ax2 = b2, , Axt = bt 其中

5、B = ( b1, b2, , bt )， X = ( x1, x2, , xt ),解：對(duì)增廣矩陣( A, B )進(jìn)行初等行變換,于是方程組Ax1 = b1有解,當(dāng)且僅當(dāng)= 0 時(shí)，Ax2 = b2有解,所以矩陣方程AX = B 在參數(shù)= 0 時(shí)，有解：,說(shuō)明：利用增廣矩陣的初等行變換，可以對(duì)矩陣方程AX = B 的 t 個(gè)線性方程組同時(shí)進(jìn)行求解。,4. 矩陣乘積AB，A按列分塊，B每個(gè)元素為塊,（1）設(shè)矩陣A是sn 矩陣，X 是n1矩陣：,將A按列分塊，即,則,我們將表達(dá)式,稱為向量,的線性組合， 稱為組合系數(shù)。,說(shuō)明(1). 對(duì)于線性方程組Ax = b，利用這樣的分塊方式，可以得到線性方

6、程組的向量形式,說(shuō)明(2). 如果記 ei 是第i個(gè)分量為1，其余分量為0的列向量，則,同樣記i 是第i個(gè)分量為1，其余分量為0的行向量，則i A表示A的第i個(gè)行向量。,（2）設(shè)矩陣A是sn 矩陣，B 是nt 矩陣，將A按列分塊，則,即AB的每個(gè)列向量，都是A的列向量的線性組合。,例4. 設(shè)A是2階矩陣，x是2維非零列向量。若,求矩陣C，使得AB = BC。,（見(jiàn)教材P69例2.15）,2.4 矩陣的秩,一. 秩的概念,二. 初等變換和矩陣的秩,初等行變換，可以將矩陣A化為階梯形矩陣。這個(gè)階梯陣的階梯數(shù)，是由矩陣秩唯一確定的，故引入矩陣的秩概念。,三. 矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形,一. 秩的概念,在Am

7、n中，任取k行、k列(km, kn)，位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素，按原有的位置次序所構(gòu)成的k階行列式，稱為A的k階子式。,1. k階子式,說(shuō)明(1). A共有 個(gè)k 階子式。,例如,2階非零子式,3階零子式,2. 秩的定義,矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩，記為r(A) = r或rank(A) = r 。,說(shuō)明(1). 0 r( Amn ) min m, n,說(shuō)明(2). 規(guī)定零矩陣的秩為0，即 r(O ) = 0,說(shuō)明(3). 對(duì)于n階矩陣A，有,A為滿秩矩陣,更一般地， 如果mn 階矩陣A滿足,r(A) = m， A為行滿秩矩陣,r(A) = n， A為列滿秩矩陣,例1.,解：在A中，,例2. 見(jiàn)教材P71例2.18,例3,解,注. 階梯陣的秩等于其階梯數(shù)，即非零行行數(shù)。,3. 矩陣秩的性質(zhì),（