2015屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)學(xué)案5函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、 自主梳理 (3)單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)yf(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為_ (4)函數(shù)yx(a0)在 (，)，(，)上單調(diào)_；在(，0)，(0，)上單調(diào)_；函數(shù)yx(a”、“b0)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明f(x)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性變式遷移1已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對xR有f(x)0，且f(5)1，設(shè)F(x)f(x)，討論F(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論探究點二函數(shù)的單調(diào)性與最值例2已知函數(shù)f(x)，x1，)(1)當(dāng)a時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對任意x1，)，f(x)0恒成立，試求實數(shù)a的

2、取值范圍變式遷移2已知函數(shù)f(x)x在(1，)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍探究點三抽象函數(shù)的單調(diào)性例3已知函數(shù)f(x)對于任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當(dāng)x0時，f(x)1時，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)2.分類討論及數(shù)形結(jié)合思想例(14分)求f(x)x22ax1在區(qū)間0,2上的最大值和最小值【答題模板】解f(x)(xa)21a2，對稱軸為xa.2分(1)當(dāng)a0時，由圖可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.5分(2)當(dāng)0a1時，由圖可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)m

3、axf(2)34a.8分(3)當(dāng)12時，由圖可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.綜上，(1)當(dāng)a0時，f(x)min1，f(x)max34a；(2)當(dāng)0a1時，f(x)min1a2，f(x)max34a；(3)當(dāng)12時，f(x)min34a，f(x)max1.14分【突破思維障礙】(1)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是由圖象的對稱軸確定的故只需確定對稱軸與區(qū)間的關(guān)系由于對稱軸是xa，而a的取值不定，從而導(dǎo)致了分類討論(2)不是應(yīng)該分a2三種情況討論嗎？為什么成了四種情況？這是由于拋物線的對稱軸在區(qū)間0,2所對應(yīng)的區(qū)域時，最小值是在頂點處取得，但最大值卻有可能是f(0)，也有可能是

4、f(2)函數(shù)的單調(diào)性的判定與單調(diào)區(qū)間的確定常用方法有：(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法；(3)圖象法；(4)單調(diào)性的運算性質(zhì)總結(jié)如下：若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)：(1)f(x)與f(x)C具有相同的單調(diào)性(2)f(x)與af(x)，當(dāng)a0時，具有相同的單調(diào)性，當(dāng)af(a)，則實數(shù)a的取值范圍為_3(2009寧夏，海南改編)用mina，b，c表示a，b，c三個數(shù)中的最小值設(shè)f(x)min2x，x2,10x(x0)，則f(x)的最大值為_4若f(x)x22ax與g(x)在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，則a的取值范圍為_5已知定義在R上的增函數(shù)f(x)，滿足f(x)f

5、(x)0，x1，x2，x3R，且x1x20，x2x30，x3x10，則f(x1)f(x2)f(x3)的符號為_(填“正”、“負”、“不確定”)6(2011淮安調(diào)研)函數(shù)y(x3)|x|的遞增區(qū)間是_7設(shè)f(x)是增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是_(填序號)yf(x)2是增函數(shù)；y是減函數(shù)；yf(x)是減函數(shù)；y|f(x)|是增函數(shù)8(2011蘇州質(zhì)檢)設(shè)0x1，則函數(shù)y的最小值是_二、解答題(共42分)9(14分)已知函數(shù)f(x)a.(1)求證：函數(shù)yf(x)在(0，)上是增函數(shù)；(2)若f(x)0成立(1)判斷f(x)在1,1上的單調(diào)性，并證明；(2)解不等式：f(x)34a35c,55c課堂

6、活動區(qū)例1解題導(dǎo)引對于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義(基本步驟為：取點，作差或作商，變形，判斷)來求解可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)求解有些函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為兩個或多個基本初等函數(shù)，利用其單調(diào)性可以方便求解解在定義域內(nèi)任取x1，x2，且使x10，yf(x2)f(x1).ab0，ba0，(ba)(x2x1)0，又x(，b)(b，)，只有當(dāng)x1x2b，或bx1x2時，函數(shù)才單調(diào)當(dāng)x1x2b，或bx1x2時，f(x2)f(x1)0，即y0.yf(x)在(，b)上是單調(diào)減函數(shù)，在(b，)上也是單調(diào)減函數(shù)變式遷移1解在R上任取x1、x2，設(shè)x1f(x1)，F(xiàn)(x2)F(x1)

7、f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)1，f(x)是R上的增函數(shù)，且f(5)1，當(dāng)x5時，0f(x)5時f(x)1；若x1x25，則0f(x1)f(x2)1，0f(x1)f(x2)1，10，F(xiàn)(x2)x15，則f(x2)f(x1)1，f(x1)f(x2)1，10，F(xiàn)(x2)F(x1)綜上，F(xiàn)(x)在(，5)上為減函數(shù)，在(5，)上為增函數(shù)例2解(1)當(dāng)a時，f(x)x2，設(shè)x1，x21，)且x1x2，f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(1)x1x2，x1x20，又1x10，f(x1)f(x2)0，f(x1)0恒成立，等價于x22xa0恒成立設(shè)yx22xa，x1，)，yx22xa(x1)

8、2a1遞增，當(dāng)x1時，ymin3a，于是當(dāng)且僅當(dāng)ymin3a0時，函數(shù)f(x)恒成立，故a3.方法二f(x)x2，x1，)，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)的值恒為正，滿足題意，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3.方法三在區(qū)間1，)上f(x)0恒成立等價于x22xa0恒成立即ax22x恒成立又x1，)，ax22x恒成立，a應(yīng)大于函數(shù)ux22x，x1，)的最大值ax22x(x1)21.當(dāng)x1時，u取得最大值3，a3.變式遷移2解設(shè)1x1x2.函數(shù)f(x)在(1，)上是增函數(shù)，f(x1)f(x2)x1(x2)(x1x2)(1)0.又x1x20，即ax1x2恒成立1x11，x1x2x2，則x1x20，f(

9、x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0時，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)x2，則f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0時，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，則1，由于當(dāng)x1時，f(x)0，f()0，即f(x1)f(x2)0，f(x1)0時，由f(|x|)2，得f(x)9；當(dāng)x0時，由f(|x|)2，得f(x)9，故x9或xa，解得2a0時，它有兩個減區(qū)間為(，1)和(1，)，故只需區(qū)間1,2是f(

10、x)和g(x)的減區(qū)間的子集即可，則a的取值范圍是00，x2x30，x3x10，x1x2，x2x3，x3x1.又f(x1)f(x2)f(x2)，f(x2)f(x3)f(x3)，f(x3)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x2)f(x3)f(x2)f(x3)f(x1)f(x1)f(x2)f(x3)0.60，解析y.畫圖象如圖所示：可知遞增區(qū)間為0，7解析舉例：設(shè)f(x)x，易知均不正確84解析y，當(dāng)0x1時，x(1x)(x)2.y4.9(1)證明當(dāng)x(0，)時，f(x)a，設(shè)0x10，x2x10.f(x1)f(x2)(a)(a)0.(5分)f(x1)f(x2)，即f(x)在(0，)上是增函數(shù)(

11、6分)(2)解由題意a2x在(1，)上恒成立，設(shè)h(x)2x，則a0，x(1，)，h(x)在(1，)上單調(diào)遞增(12分)故ah(1)，即a3.a的取值范圍為(，3(14分)10解設(shè)f(x)的最小值為g(a)，則只需g(a)0，由題意知，f(x)的對稱軸為.(1)當(dāng)4時，g(a)f(2)73a0，得a.又a4，故此時的a不存在(4分)(2)當(dāng)2,2，即4a4時，g(a)f()3a0得6a2.又4a4，故4a2.(8分)(3)當(dāng)2，即a4時，g(a)f(2)7a0得a7.又a4，故7a4.(13分)綜上得所求a的取值范圍是7a2.(14分)11解(1)任取x1，x21,1，且x10，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在1,1上單調(diào)遞增(4分)(2)f(x)在1,1上單調(diào)遞增，x1.(9分)(3)f(1)1，