江西省萍鄉(xiāng)市2019屆高三數(shù)學(xué)一模考試試題理含解析

1、江西省萍鄉(xiāng)市2019屆高三一?？荚嚁?shù)學(xué)（理）試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（ ）A. 5B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】化簡已知復(fù)數(shù)，由純虛數(shù)的定義可得a值，再由復(fù)數(shù)的模長公式可得結(jié)果【詳解】化簡可得= -1+3i，z是純虛數(shù)，10，解得1，|1-2i|故選B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，涉及純虛數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的模長公式，屬于基礎(chǔ)題2.下列說法錯誤的是（ ）A. 在回歸模型中，預(yù)報變量的值不能由解釋變量唯一確定B. 若變量，滿足關(guān)系，且變量與正相關(guān)，則與也正相關(guān)C. 在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬

2、合的精度越高D. 以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則，【答案】B【解析】【分析】對4個命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論【詳解】對于A，y除了受自變量x影響之外還受其他因素的影響，故A正確；對于B， 變量，滿足關(guān)系，則變量x與負(fù)相關(guān)，又變量與正相關(guān)，則與負(fù)相關(guān)，故B錯誤；對于C，由殘差圖的意義可知正確；對于D，ycekx，兩邊取對數(shù)，可得lnyln（cekx）lnc+lnekxlnc+kx，令zlny，可得zlnc+kx，z03x+4，lnc4，k0.3，ce4即D正確；故選B.【點睛】本題考查了兩個變量的線性相關(guān)及回歸方程的有關(guān)知識，考查了殘差圖的意義，涉及

3、對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型3.函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得f（x）奇偶性及f（1）的值即可得出答案【詳解】f（x）f（x），f（x）是偶函數(shù)，故f（x）圖形關(guān)于y軸對稱，排除C，D；又x=1時，0，對任意的恒成立，故a=1滿足題意.故答案為1【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是探尋到一個使命題成立的必要條件，這也是解決此類題的常用手段，屬于難題三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）17.在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足acosB+bcosA=2ccosC（1

4、）求角C的大小；（2）若ABC的周長為3，求ABC的內(nèi)切圓面積S的最大值【答案】（1）C=（2）【解析】【分析】(1)先根據(jù)正弦定理化邊為角，化簡即得cosC= ，解得結(jié)果，(2)先根據(jù)余弦定理得3+ab=2（a+b），再根據(jù)基本不等式得ab最大值，根據(jù)內(nèi)切圓性質(zhì)得內(nèi)切圓半徑為ab，即可求得內(nèi)切圓面積S的最大值【詳解】解：（）因為acosB+bcosA=2ccosCsinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sin（A+B）=2sinCcosC，而sin（A+B）=sinC0，則cosC=，又C（0，），所以C=（）令A(yù)BC的內(nèi)切圓半徑為R，有absin=3R，則R=ab，由余弦

5、定理得a2+b2-ab=（3-a-b）2，化簡得3+ab=2（a+b），而a+b2，故3+ab4，解得3或1若3，則a，b至少有一個不小于3，這與ABC的周長為3矛盾；若1，則當(dāng)a=b=1=c時，R取最大值綜上，知ABC的內(nèi)切圓最大面積值為Smax=（）2=點睛】本題考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式求最值，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.18.如圖，四邊形是邊長為2的菱形，且，平面，點是線段上任意一點.（1）證明：平面平面；（2）若的最大值是，求三棱錐的體積.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出ACBM，ACBD，從而AC平面BMND，由此能證明平面EAC平面BM

6、ND（2）由AECE1，cosAEC1，AEC（0，），得到當(dāng)AE最短時AEC最大，即AEMN，CEMN時AEC最大，AEC是二面角AMNC的平面角，大小是120，可得AE取MN得中點H，連接H與AC、BD的交點O，由題意知OH平面ABCD，建系，利用向量法結(jié)合AEC=120求得ND，利用VMNACVMEAC+VNEAC能求出三棱錐MNAC的體積【詳解】（1）因為平面，則.又四邊形是菱形，則，所以平面.因為在平面內(nèi)，所以平面平面.（2）設(shè)與的交點為，連結(jié).因為平面，則，又為的中點，則，所以，.當(dāng)最短時最大，此時，.取的中點，分別以直線，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，且a,則點，.設(shè)平面的

7、法向量，則，取，則，同理求得平面的法向量.因為是二面角的平面角，則，解得或,又a，因為，則 .【點睛】本題考查了面面垂直的證明及幾何體的體積的求法，考查了利用向量解決空間角的問題，考查運算求解能力，是中檔題19.在湖南師大附中的校園歌手大賽決賽中，有6位參賽選手（1號至6號）登臺演出，由現(xiàn)場的100位同學(xué)投票選出最受歡迎的歌手，各位同學(xué)須彼此獨立地在投票器上選出3位侯選人，其中甲同學(xué)是1號選手的同班同學(xué)，必選1號，另在2號至6號選手中隨機(jī)選2名；乙同學(xué)不欣賞2號選手，必不選2號，在其他5位選手中隨機(jī)選出3名；丙同學(xué)對6位選手的演唱沒有偏愛，因此在1號至6號選手中隨機(jī)選出3名（1）求同學(xué)甲選中3

8、號且同學(xué)乙未選中3號選手的概率；（2）設(shè)3號選手得到甲、乙、丙三位同學(xué)的票數(shù)之和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)A表示事件：“甲選中3號歌手”，事件B表示“乙選中3號歌手”，事件C表示“丙選中3號歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互獨立事件的概率乘法公式和對立事件的概率公式能求出概率（2）先由等可能事件概率計算公式求出P（C），由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望【詳解】設(shè)表示事件“甲同學(xué)選中3號選手”，表示事件“乙同學(xué)選中3號選手”，表示事件“丙同學(xué)選中3號選手

9、”，則（1），所以.（2），可能的取值為0，1，2，3， ， ， ，.所以的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望.【點睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意可能事件概率計算公式和相互獨立事件概率乘法公式的合理運用20.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，D（0，2）為橢圓C短軸的一個端點，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，線段DF的延長線與橢圓C相交于點E，且|DF|=3|EF|（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若直線OA與OB的斜率之積為-，求的取值范圍【答案】（1）+=1（2）-1，0）（0，1【解析】

10、【分析】（1）先由條件得b，再根據(jù)條件得E坐標(biāo)，代入橢圓方程解得a2（2）先設(shè)A，B兩點坐標(biāo)，化簡條件得y1y2=x1x2，再代入化簡=x1x2，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得x1，x2，最后根據(jù)基本不等式求最值，解得取值范圍.【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的方程為+=1，（ab0），右焦點F（c，0），D（0，2）為橢圓C短軸的一個端點，b=2，|DF|=3|EF|，E（，-），+=1，即a2=2c2，又c2=a2-4，a2=2（a2-4），解得a2=8，故橢圓方程為+=1（2）kOAkOB=0，設(shè)kOA=k0，則kOB=，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），=，即y1y2=x1x2，=x1x2+

11、y1y2=x1x2，由，消y可得x2+2k2x2=8，即x12=，同理x22=，x12x22=4，當(dāng)且僅當(dāng)4k2=，即k=時取等號，-2x1x22，且x1x20，-1t1，且t0，故的取值范圍為-1，0）（0，1【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓位置關(guān)系，考查綜合分析與求解能力，屬較難題.21.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個相異零點，求證：.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）對f（x）中的k分類討論，根據(jù)f（x）的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.（2）由題意得lnx1kx10，lnx2kx20，兩式作差可得，lnx1lnx2k（x1x2

12、）,k，要證lnx1+lnx22即k（x1+x2）2，將k代換后，化簡變形得，設(shè)t1，構(gòu)造函數(shù)g（t），利用新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，證得g（t）g（1）0即可【詳解】（1），當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）因為，是的兩個零點，則，所以，.要證，只要證，即證，即證，即證，只要證.設(shè)，則只要證.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增.所以，即，所以，即.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)區(qū)間中的應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的成立，考查分類討論思想方法和構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡整理的運算能力，屬于難題22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以為極點

13、，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)動直線：分別與曲線，相交于點，求當(dāng)為何值時，取最大值，并求的最大值.【答案】（1）曲線的極坐標(biāo)方程是，曲線的直角坐標(biāo)方程是；（2）當(dāng)時，取最大值，且.【解析】【分析】（1） 將C1的參數(shù)方程消去可化為普通方程，再利用互化公式可得C1的極坐標(biāo)方程同理利用互化公式將C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程（2）法一：將直線的參數(shù)方程分別代入曲線、的普通方程，求得，利用及三角函數(shù)的值域可得結(jié)果.法二：將（0），代入C1, C2的極坐標(biāo)方程，分別解得：由結(jié)合三角函數(shù)的值域可得結(jié)果【詳解】（1）曲線的普通方程為，即.將，代入，得，所以曲線的極坐標(biāo)方程是.由，得.將，代入，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程是.（2）解法一：設(shè)直線的傾斜角為，則的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）.將的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，得，則.將的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得，則.所以 ，據(jù)題意，直線的斜率存在且不為0，則，所以當(dāng)，即時，取最大值，且.解法二：設(shè)直線的傾斜角為，則的極坐標(biāo)方程為.設(shè)點，的極坐標(biāo)分別為，則，.所以 .據(jù)題意，直線的斜率存在且不為0，則，所以當(dāng)，即時，取最大值，且.【點睛】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查了直線的參數(shù)方程的應(yīng)用與極徑的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能