大一高等數(shù)學期末考試試卷及答案詳解1

1、大一高等數(shù)學期末考試試卷 （一） 一、選擇題（共12分） x?,x?0,2ef(x)?a的值為( ). ,則1. （3分）若為連續(xù)函數(shù)?a?x,x?0?(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 f(3?h)?f(3)?lim2,?(3)f的值為（ ）. 2. （3分）已知則 2h0h?1 (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 2? 2 ?xdx?cos12的值為（分）定積分3 ）. （3. ? 2(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 x?xf(x)f(x)在該點處則( ). 4. （3分）若在處不連續(xù),0(A)必不可導 (B)一定可導(C)可能可導 (D)必無極限 二、填空題（共12分）

2、 2x3),y(0,1)(x的曲線方程，且在任意一點處的切線斜率為1（3分） 平面上過點 . 為 124?sinx)xdx?x?( . 分）2. （3 1? 12sinxlim= . （3分） 3. x0?x 23y?2x?3x的極大值為4. （3分） . 42分）三、計算題（共xln(1?5x).lim （6分）求1. 2x3sin0?x xe?y,?.y分）設6 2.求 （2x?12?.dx?x)xln(1 （3. 6分）求不定積分x?,x?1,?3 ?f(x?1)dx,f(x)?1?cosx 6（分）求其中 4.?0?x?1,xe?1.?yxt?0tdtdt?ecos)(xy?f.dy

3、由方程5. （6分）設函數(shù)所確定,求002?f(2x?3)sinxdx?C,.f(x)dx? 求6. （6分）設n3?lim1?. 6分）求極限7. （? 2n?n四、解答題（共28分） ?(lnx)?1?x,f(0)?f1,f(x). （且求7分）設1.?xy?cosx?xx軸旋轉一周所得旋與軸所圍成圖形繞著2. （7分）求由曲線? 22?. 轉體的體積3219x?3x?x?24y?. 分）求曲線在拐點處的切線方程3. （7 x1?y?x?5,1?. 上的最小值和最大值 （7在分）求函數(shù)4.) (6分五、證明題?,bx)fa( ,在區(qū)間證明上連續(xù)設b?a1bb?(xf)dx.?a)(x?b)

4、dx?f(a)?f(b)?(xxf( 22aa （二） 一、 填空題（每小題3分，共18分） 2?x1?fxxf1x?的第1設函數(shù) ，則 是類間斷點. 2x?3x?2 ?2?x?y?ln1 ?y. ，則2函數(shù) x2 1?x?lim? 3 . x?x? 11?,2?y?處的切線方程為 曲線4 在點 . 2x? ?2341,?x32y?x?上的最大值 ，最小值 5函數(shù) . 在 arctanx?dx. 6 2x?1 分）20分，共4單項選擇題（每小題 二、?x有界是它收斂的（ 1數(shù)列 ） . n? AB充分但非必要條件 ； 必要但非充分條件； ? CD 無關條件. 充分必要條件； 2下列各式正確的是

5、（ ） . 1?x?x? ABC?e?edx?Clnxdx ； ； x111? D Cdx?ln?Clnx?dx?lnC1?2x. ； xx2lnx1?2?b,0yx?0ffafxxxa,b?f上在，則曲線3 設在且. 上，? BAxx軸正向下降且為凹的； 沿 沿 軸正向上升且為凹的；? DCxx軸正向下降且為凸的. 沿沿 軸正向上升且為凸的； ?xxxf?xflnx?0處的導數(shù)（ 4設 在 ）. ，則? AB?11； 等于 等于 ； ? CD 0不存在 . 等于 ； ?f2xlim，以下結論正確的是（ 5已知 ）. ?x?1? f 21BA?xx?1?1處的某去心鄰域內(nèi)有定義； ； 函數(shù)在

6、處有定義且 函數(shù)在 ? CDx?11x?處的右側某鄰域內(nèi)有定義處的左側某鄰域內(nèi)有定義；函數(shù)在函數(shù)在. 三、 計算（每小題6分，共36分） 12sinlimx. 1求極限： x0x?2?x?y?ln1y. 2. 已知，求?xsin0?xx?y的導數(shù)求函數(shù)3. . 2x?dx4. . 21?x?xcosxdx. 5. 11? y?x?yfyx?yx 6.，求方程. 確定函數(shù)?2x2?exfdxxfx. 的一個原函數(shù)，求為分）已知10（ 四、x?xey?. 分）求曲線的拐點及凹凸區(qū)間五、 （6?x?xfC?xdxf?xe?1. 分）設（ 10，求六、 （三） ). 分，共20分(本題共5小題，每小題

7、4 一、填空題11 2)lim(cosxxe_. =_ （1）0?x 1?0y?xy?xlnxx?y?1_. _）曲線上與直線平行的切線方程為（212)(lnxx?x?xe(e)?f ?)f(xf(x)?0?(1)f2_ . （3）已知, ，且則_2x11?y.?xy 13x?93）曲線_（4的斜漸近線方程為 _ 752y22 ?.x?1)?(x?1)?Cy(?(x?1)y22 31x?_的通解為5）微分方程（ ).20分5小題，每小題4分，共二、選擇題 (本題共 ）下列積分結果正確的是（ D （11111?2?dx?dx?0 2xx1?1 (B) (A) 11?dx?dx? x41x1 (D

8、) (C) )(xfx)a,bf(. ）在 D 的圖形如圖內(nèi)有定義，其導數(shù)1-1所示，則（2）函數(shù) x,x都是極值點. (A) 21y ?)(,xx,fx,f(x)?(xf)y?. 都是拐點(B) 2112?)x,f(xx 是拐點. (C) 是極值點.， 212?x)f(xx,ax. (D) 是拐點，是極值點2111xObx圖1-1 2 x?2xxy?Ce?Ce?xe（3）函數(shù)滿足的一個微分方程是（ D ）. 21xx?y?y?e.2y?3e.yy?2y?3x （A） （B） xx?y?y?y?y?2y3xe.?2y?3e. （DC （）?h?xx?ff00limx )f(xh0?h為（在 處

9、可導，則 A （4）設 ）. 0?xfxf? (A) (D) 不存在 . . (B) . (C) 0. 00 . ）下列等式中正確的結果是（5 （ A ?).x(f?)dx)x(f(xdf()?fx). (A)(B) ?).x(fdx)xf(?).?dx)xfd(fx (D) (C) . 24分）小題，每小題6分，共三、計算題（本題共41x)lim(? x?1lnx1x?. 求極限11?x?xxln1xlim)(?lim xln?1)(x1x?xlnx?11?x 分 解 1 = xlnlim 1?x1?xx?ln x 2分 =xxlnlim x?xlnx?11?x 1 = 分 1?lnx1?l

10、im 211?lnx?1x? 2分 = tlnsinx?2dyyd?ttsiny?cost? y 2?xdxdx. 確定與2.方程為的函數(shù)，求?)(dyyt,ti?ts?n ?(t)dxx 分） （3 解 2?)y(dtsint.tsin?ttant?tsin? 2?)xt(dx （6分） xarctan?dx)?xx(1. 3. 計算不定積分4. xarctanxarctan ?分?2?2?dx?解：?dx? )(1?x)x(1?x ?分?2? =2?arctanxdarctanx? 2分2?arctanx）?C? =（ x3?dxx?1?10 計算定積分4.)1?xxx(1?333?xx?

11、dd?dx)?1?x(1 x?x?1100 （ 分）3 解 03352?1?x)?3?(2 33 （ 6分） 0t?1?x （或令） . 小題，共四、解答題（本題共429分）x2?xe?y6y?5y?. 6分）解微分方程1（本題2分?1?解：特征方程r?-5r?60? 分3特征解r?2,r?.?1?21 xx32分?1?eCe?.? 次方程的通解Y=C 21 x2*分1?)令y?x(bx?be?10 11.bb代入解得?，? 102 1x*2分?11)x(y所以?x?e? 21xxx223分1?(xe?e?Cy所以所求通解?C?.e1)?x 212 R，設桶的底半徑為4-1），桶內(nèi)盛有半桶水，

12、一個橫放著的圓柱形水桶2（本題7分）（如圖? ，計算桶的一端面上所受的壓力水的比重為 解：建立坐標系如圖R 22?分4?x?dx?P?2?gxR?0 R 2222?）?R?g?x?1R?x分d（023R22?）?x?1?分g（R2y 03?g23?R?1分 3x b2?(x)dx?f10fbf(a)?(b)?(fx)a,，且在上有連續(xù)的導數(shù)， 3. （本題8分）設ab?(xf)dxxf(x). 試求abb?分2?x)?dx?xf(x)df解：(xf(x)f)(xaa1b?2?分 ?2xdf(x)? 2a1bb22?分2?x)(?fx) =xfdx( a2a11分?2? =0? 22 xy?ln

13、y?lnxx軸圍成平及4. （本題8分）過坐標原點作曲線的切線，該切線與曲線 面圖形D.A; D的面積 (3) 求(1)e?x D(4) 求繞直線旋轉一周所得旋轉體的體積V.(2) x ，則為曲線點的橫坐標設解：(1) 切0y(x,lnx)xlny?處的切線方程是在點 0011(x?xlnx?).y? 00x -1分 0Dlnx?1?0x?e.xeO1從而，由該切線過原點知 00所以該切線的方程為 1x.y? e -1分 平面圖形D的面積11y?e?1.(eey?)dy?A 20 分-2 1xy? xe?exx?e 軸及直線 （2） 切線所圍成的三角形繞直線 旋轉所得的圓錐體積為與 12?.e

14、V? 13 分 2 xlny?e?exx? 所圍成的圖形繞直線旋轉所得的旋轉體體積為曲線與x軸及直線12y?dy)(Ve?e2 分 1 ， 0 因此所求旋轉體的體積為?11222y?).?3?12e?Ve)dy?(?V?5e?e?(eV 21630 1分 . 7分）五、證明題（本題共1小題，共xxx1e?. 證明對于任意的實數(shù)，1.?e2xx1?x?e?1?x 2 解法一：x1.xe?f(x)?0.(0)?f 解法二：設 1則分x?1.?)?fe(x 1分因為?0.(0)?)?f(x)f(fx(x)?0.f0x? 時，當 2分單調增加，?0.?f(0)x)f(xf)(x)?0.f(0x? 當分

15、單調增加，時， 20.?(x)fxxx?1e 分。所以對于任意的實數(shù) 1，即 解法三：由微分中值定理得，?0xx?xex(?1?e0)?e?ee 分之間。 2位于0到x，其中?x0?xx?1e1e 分。時，當 2?x0?xx?1ee1 分時，當。 2xxx?e1 所以對于任意的實數(shù) 1，分。 （四） 分）：分，5題共20一填空題（每小題411 x2?x)lim(e?x e2. 10?x41?xx?2005?edx?ex1?x e1? .2dyyx?2?t?x?dte)(xy?y0?xe?1dx. 3設函數(shù)由方程確定，則1x1?tf(t)dt?f(x)2?x?fxfx1)?f(0 e21. ，則

16、設可導，且，4. ?2xex)?y?(CC?0?4y?4yy21. 微分方程的通解為5二選擇題（每小題4分，4題共16分）： x?kxx)?lnf( (0,?)0k?e內(nèi)零點的個數(shù)為（在 ，則函數(shù)B 設常數(shù)1）. 個. 0 1 2 3(A)個; (B)個; (C)個; (D)?xcos32?y4?y ） C （ 的特解形式為微分方程 2?xxy?Axcos2y?Acos2 （A） （B）； *?x2Asiny?xsin2Axcos2x?Bxy? D） （C）（； ） A 3下列結論不一定成立的是 （bd?dxdx?fxxf?b?,ac,dac; 則必有,(A) (A) 若b?0?fdxx?b,

17、a0?x)f(a; 則上可積,(B) (B) 若在?xfaT有數(shù)都數(shù),則 若對任意周是期為常的連續(xù)函(C) (C)TTa?dxfxxdxf?0a; x?dtftt?xf0. 則也為奇函數(shù) (D) 若可積函數(shù)為奇函數(shù),(D)1 e?1x?xf 1)(xf 0?xe32?x設4. , 則 是C ）. 的（; 可去間斷點(A) 連續(xù)點; (B) . 無窮間斷點(C) 跳躍間斷點; (D) ：6分，5題共30分）三計算題（每小題22x3?dxex. 1計算定積分0112222t?t?23x?tdedt?dx設x?t,則?xete 22-2 解： 000? 212t?t?dt?te?e? 020? -2

18、 21312?2?te?e?e? 0222-2 xsinx?dx 5xcos. 2計算不定積分dxx111xsinx?dx?xd()? 4544x44coscosxcoscosxx?解： -3 1x2?x?1)dtan?(tanx 44x4cos11x3C?tanx?x?tan 444cosx12-3 ),?sintx?a(t?t),cost?a(1?y ?2在 .3求擺線處的切線的方程?)aa(?1),( 2-2 解：切點為 dyasint?ks)a(1?cotdx?t?t?1 -2 22?a?1)y?x?a(?(2?)xy?a? 22即 . 切線方程為 -2 x2?dt?tcos(x)(F

19、x)?22?)cosx?(2x?1)cos(x?x2x?x)F(，則. 4. 設 0)2n)?(n?2)(n?3(n?1)(n?xxlimnnn. 5，求設?n?ni1?)?1ln(?lnx nnn -2 解： 1i?n1i1?dx?xlimlnx?lim)ln1(?)ln1( nnn0?nn?-2 1?i11 1?xxdx?2ln2?1)?xln(1? 0x1?0-2 = 412?2ln?exlim en= 故?n? 四應用題（每小題27分）分，3題共92y?x?x. 軸所圍圖形的面積與該曲線過坐標原點的切線及1求由曲線 解：1xy?2?2x),y（x 設切點為，則過原點的切線方程為0002

20、?,yx?4),（yx.-3 由于點在切線上，帶入切線方程，解得切點為0000x?y),2(422 的切線方程為過原點和點-3 2222?dy)2?s2y(y2? 3-3 =面積0112242?2)xdx?dx(xx?s? 3222220 或 22x?y?2xy?xx?2DD旋轉一周所生成的繞直線由所確定，試求與2設平面圖形旋轉體的體積. V?V?V 解：法一： 21 ?21122?dyy)(2?2?(1?1?y)dy?00?122?dy1?y)?(y?2?10-6 ? 1?113?)2?(y?1)(?2? 03443?-3 12?dxx)?x(2?x)(22x? =法二：V01122?dxx

21、)(?x2dx?2?2x?(2?x)2x- 5 00 ?4122?dx?xx?2?2x(2?2x)2x 303?11242?1?x?x)?2?(22? 0343?2141222? 32323- 4 tata?f(t)?)at (a). t(?,?)a?1,a并求最為何值時設? 問最小內(nèi)的駐點為在3. . 小值lnlnat?.? (a)?1)?alna?a?0得由ft(t lna : - 3 解lnlna?1e? ea?0又由t(a)?得唯一駐點 2a(lna)-3 eee?為t(ae)的極小值點.(a)?0,于是時,t(a)?0;當a?ea時,ta當?e?-2 lne1ee?1?t(e.)?1

22、a?e最小值為為t(a)的最小值點, ee-1 故五證明題（7分） 1f(0)=f(1)?0,f()?1， (0,1)0,1f(x2內(nèi)可導且在 設函數(shù)上連續(xù)，在?)=1f.(?(0,1) , 使得試證明至少存在一點F(x)?f(x)?xF(x)0,1(0,1)f(0)=f(1)=0, ，證明：設可導，因在上連續(xù)在F(0)?f(0)?0?0,F(1)?f(1)?1?1,- 2 有1111111f()=1F()=f()-=1-=，1 F(x)2222222，知上又由在用零點定理， 11F(1)F()=-?0 22根據(jù)，- 2 11?(,1)=0，?，(1)F(0,1)? 22，使得可知在內(nèi)至少存在

23、一點, ?)?(F?)=0(0,(0,1)F(0)=使至得點少存在一 理值ROLLE由中定得?)?f(1=0)=0F(. -3 ，證畢即 標準答案A. D; 4 2 C; 3 一、 1 B; 23;?1y?x;0. 4 3 0; 2 二、 1 3x5x?5mi?l? 6分 解三、 1 原式 2x330x? xxe2?(?lxnlny?ln1), 解 2分2 221x? xx1e2?y? 4 分 221?12xx 122)?ln(1?xx)d(1? 3分 3 解 原式 2x12222?(1?xdx)?(1?x)ln(1?x?)? 分 2 2x21?1222C?(1?x)ln(1?xx 1分 2,

24、1?tx? 2分 令4 解 則 23dtf(x)dx?f(t)? 分 1 10?t21tdt1)?dt?(e? 1分 tcos1?1?1t2?0?et 1分 121?e?e 分 1 y?0,x?y?cose 2分 5 兩邊求導得 xcos?y? 1分 ye xosc? 1 分 1?isnxxcosdx?dy? 2 分 1?xsin1f(2x?3)d(2?(2x?3)dx?x2)f? 解 2 分 6 212C?3)?sin(2x 分 4 232n?33? 23 e?1lim2 6分= = 7 原式解 ? n2?ntt?,xt?ln,)?1?x?e,fe(t 分 3 四、1 解 令 則 tt.?e

25、Ct?dt?(1?e)f(t)? 2分 = 0,?Cf(0)?1, 2分 x.f(x)?x?e? 分 1 ?2? xxd?coVs?2 分 3 2 解 ?x? 2?2?xs?2xcod? 2 2分 02?.? 分 2 22?y,24?6xy,?6x?6?3x 1 分 3 解 ?0,?y1.?x 分 1 令 得 ?0,y?y0;?1?x?1?x? 分 時, 當 當 時, 2 (1,3)? 分 1 , 為拐點 1).x?y?3?21( 該點處的切線為 2分 1x?121?,?1?y 解4 2分 xx21?213?.?x0,?y 分 得 令1 453? 1,y(1)?,?y?6,5?y(5)?2.5

26、5, 2 分? 44?35? y?.6,?5)?5y(? 最小值為 2分 最大值為? 44? 五、證明bb?)(b)dfx(x?a)(x(x?a)(?b)fx?(x)? 1分 aabb? dx)?b(x)2x?(x?a)(x?b)fa(x)?f? 分 1 aab)x(a?b)df(?2x? 分 1 abb? dxf(xb2x?(a?)f(x)?2? 1分 aab,dxf(a)?(b)?2f(x)?(b?a)f? 分 1 a 移項即得所證. 1分 （大一第一學期期末考試題及答案） 高等數(shù)學I?xx,x?x?xx）不一定是 當都是無窮小，則當 D 時， 時（ 1.00 無窮小. ? x?x22?x

27、x? (B) (A) 2?)(x? ?)?x(1?)(lnx)x( (D) (C) 1xsin? a?xlim? asin?a?x. C ）極限的值是（ 2.acotatanee C） D）（A） 1 （B） e ax2?1x?e?sin0x? ?)f(xx?0?ax0x?. ） 處連續(xù)，則a =（ 在D 3.1? 0 ）B（ 1 （C） e D） ）A （)af(?2h(fa?h)?lim )(fxa?xh. （處可導，那么 A 設在點 ）0?h 4.?)2fa3f(a)( ）（ A（） B1?)fa(? )af(3 ） (C) （D 二、填空題（本大題有4小題，每小題分）164分，共aln

28、?axln(?)1)0?(lima xa. 極限 的值是0?x 5.yx?xcose2?ylnx?y由x)，則導函數(shù) 確定函數(shù)y( 6.yxyye?x?2sin2 x. ? xyxxe?ln6?5z?3y?y1,2,3)x?2?z?0,2xM(l都平行，則直直線且與兩平面過點 7.3?2z?1y?x? 1?1?1l . 線 的方程為 2)xy?2x?ln(4 的單調遞增區(qū)間為 .求函數(shù) +? ）（8. ?，0）和（1， 三、解答題（）分324小題，每小題8分，共本大題有1 e)?(1?xxlim x. 計算極限0x? 9.111?x)ln(1 eln(1?xe)?x?1(1?x)?exx?li

29、mlim?eelim 22xxx 00?x?0xx解：x?ba,?t)f(t)dtxxF()?(x?)x(F)xf( 試求出上連續(xù)，且設。，b在a， 10.axx?dt)(f(t)dt?ttfF(x)?x 解：aaxx?dttxf(x)?)f(x)?f(t)dt?xf(x)?F?)xf(x)?(F aaxcos?.xdx 3xsin 求 11.：解ocx2?ix?ds 3isx112?2?x?i?xs 22 32分）分，共四、解答題（本大題有4小題，每小題82dx?21xx?2 求. 12.31t?令 x 111? 2dt(原式?) 23t111?2t2t 33td?t?arcsin2?2?1

30、1 2t1? 62 2x2?y 2x?1 求函數(shù). 的極值與拐點 13.解：函數(shù)的定義域（?，+?） 2)?x4x(3?)12(?x)(x1?y?y 2223)?x1()1(?x ?0y?= -1x = 1, x 得 令2 1 ?010y)?y(?(1)? x = 1是極大值點，x = -1是極小值點2 1 1)?y(?11y(1)? ，極小值極大值?0y?33= -x x = = 0, x 得令,5 4 3 x 3) ,-(-?3(-,0) 3(0, ) 3) ,+?(?y + + 33 3322 ），（0，0）故拐點（-（，-，3x?y2 xx?y?34求由曲線與. 所圍成的平面圖形的面積

31、 14.3x223,?12x?4x解:?3x?x0,x 4 .2x?0,x?6)(x?2)?0,x?6,(xx 31233xx0222?dx?)(3x?S?x(?3x?x)dx 440?6 4334x3xx3x2022 )?x?)?(x?( 06?16231623 11472?45? 33 2x?4?y5)B(3,?A(?1,3)上，求一點，在弧上有兩點設拋物線A ，B 15.)x,yP(ABP? 的面積最大使. 54AB?x?1?0AB連線方程：y?21?x?y223?2x?x?3)x?(點P到AB的距離?1?55的面積?ABP 2?2x?1?x32?2x?x3)?45?2(xS( 25 S

32、(x)?4x?4當x?1S(x)?0? S(x)?4?0?當x?1時S(x)取得極大值也是最大值 此時y?3所求點為(1，3) 另解：由于?ABC的底AB一定,故只要高最大而過C點的拋物線2的切線與AB平行時,高可達到最大值,問題轉為求C(x，4?x)00?5?3?2,解得x?1,所求C點為(1,3)?(,使fx)?2x?13? 000六、證明題（） 分本大題42xe(1?x)?1?x0x?. 設，試證 16.2xf(x)?e(1?x)?(1?x),x?0 證明：設2x2x?xe?1x)?f4?(x)f)(x?e2(1?(x0f,f)(x?x0在（，因此0，?(0)?0,f(x)f)f(x?）

33、?+，0）內(nèi)遞減，在（?+，0在（）內(nèi)，?+，0）內(nèi)遞減。在（?+2x2xx1?(1?x)?)(1?x?(1?x)?0ee),0?f(f(x)試證x 內(nèi)，0時，即亦即當 2x(1?x)e?1?x. 中國傳媒大學 2009-2010學年第 一 學期期末考試試卷（A卷） 及參考解答與評分標準 考試科目： 高等數(shù)學A（上） 考試班級： 2009級工科 各班 考試方式： 閉卷 命題教師： 六 總 分 二 一 三 四 五 大題 得分 得分 評卷人 一. 填空題（將正確答案填在橫線上。本大題共3小題，每小題3分，總計9分 ） ?(a,b)f(x)f(x)?0f(x)?0f(x)在此則函數(shù)，二階導數(shù),1、若

34、在的一階導數(shù)內(nèi)，函數(shù)區(qū)間內(nèi)單調 增加 ，曲線是 上凸 的。 2?x?t?2t?32dy? 32?y?2t?3t 2(1?t)y?y(x)2?dx，求2、設確定函數(shù)。 111?C?sincosdx? 2xxx 。3、 得分 評卷人 二. 單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中。本大題共3小題，每小題3分，總計 9分） 32?x?ax4xlim?A x?11x?1、設，則必有 (A)a?2，A?5 ; (B)a?4，A?10 ;(C)a?4，A?6 ; (D)a?4，A?10 . ) C ( 答 1?)f(x )(xf2x?1 、設，則2的一個原函數(shù)為xB)arct

35、an(A)arcsinx(xx11?11?ln(D)(C)ln x?11?x22 ) D 答( xe?dtx)?t)f(F(?0F)f(3 為連續(xù)函數(shù)，又，、設則3x)(1 (B)f(A)e)(0f(1)?f(C)0 (D) ) 答( B 評卷人得分 ）5分，總計10分 三. 解答下列各題（本大題共2小題，每小題xx?2?ee?lim xcos1?0x? 、求極限。1x?xxxe?2e?eelim?lim xsin1?cosx0?0xx（ 3 分） 解： xx?e?e2?lim? xcos0x? （5 分） 。 2?xlny?1?y 、2,求。12?x?ln)y?(12xln?21 分） （:

36、 解 3 x1ln1?ln?2x? x22x?xxln1?ln21 。 5（ 分） 評卷人得分 24）分 分，總計小題，每小題（本大題共解答下列各題.四 382?xarctan0x，? ?fx)(x?00x,?0?x? 處的可導性。，在、討論12x)arctanf(0f(x)?lim?lim 20x?x0?x?0x解： （4分） ?1 ， （6分） f(x)x?0處可導。 所以 在（8分） ?0,?x)11)0,10?f(f(x，使得在2、設上連續(xù)，且，證明：至少存在一點 ?()f。 F(x)?f(x)?xF(x)0,1上連續(xù)。 ，則 在 證：設 （2分） F(0)?f(0)?0?f(0)?0F(1)?f(1)?1?0； 又, （4分） F(0)?0或F(1)?0，則結論成立。 若 （6分） ?)?0使得F(?(0,1)F(0)?0或F(1)?0?。 若（，則由零點定理8分） x2x?42?x。3、證明不等式：當時， x2x?)?2f(x0?(4)f （2分） ，則 。 證：令 x?x?2)?2ln2f(x0?8?)?8lnf4(4 ， ， x2?22?2)f(ln(x)x?4時， ，顯然，當2?4)?1ln?0(x)?2f2 （4分） ?f(x)(4,?)內(nèi)單調增加。 在區(qū)間 ?f(4)?0?f(x)(4,?)內(nèi)恒大于零。 又