第10講平面圖形的幾何性質(zhì)(Ⅰ

1、第10講 教學(xué)方案平面圖形的幾何性質(zhì)（）基本內(nèi)容靜矩和形心；慣性矩、慣性積和慣性半徑。教學(xué)目的1、 掌握靜矩和形心的概念和計算方法。2、 掌握慣性矩、極慣性矩、慣性半徑和慣性積的概念和計算方法。3、 掌握慣性矩和極慣性矩的關(guān)系。4、 了解當(dāng)坐標(biāo)軸為形心軸或?qū)ΨQ軸時靜矩或慣性積的特點。5、 熟知某些簡單圖形的慣性矩、極慣性矩。重點、難點本節(jié)重點：描述平面圖形幾何性質(zhì)的各種幾何量的定義及計算。本節(jié)難點：某些平面圖形幾何性質(zhì)的計算。附錄 平面圖形的幾何性質(zhì)-1 靜矩和形心靜矩：平面圖形面積對某坐標(biāo)軸的一次矩，如圖-1所示。定義式：， （-1）量綱為長度的三次方。由于均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相

2、同的坐標(biāo)和。則由此可得薄板重心的坐標(biāo) 為同理有 所以形心坐標(biāo)， （-2）或，由式（-2）得知，若某坐標(biāo)軸通過形心軸，則圖形對該軸的靜矩等于零，即 ， ； ，則 ；反之，若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心。靜矩與所選坐標(biāo)軸有關(guān)，其值可能為正，負(fù)或零。如一個平面圖形是由幾個簡單平面圖形組成，稱為組合平面圖形。設(shè)第 I 塊分圖形的面積為 ，形心坐標(biāo)為 ，則其靜矩和形心坐標(biāo)分別為， （-3）， （-4）例-1 求圖-2所示半圓形的 及形心位置解：由對稱性， ， ?，F(xiàn)取平行于 軸的狹長條作為微面積 所以 讀者自己也可用極坐標(biāo)求解。例-2 確定形心位置，如圖-3所示。解：將圖形看作由兩個

3、矩形和組成，在圖示坐標(biāo)下每個矩形的面積及形心位置分別為矩形：mm2 mm， mm矩形：mm2 mm， mm整個圖形形心的坐標(biāo)為 -2 慣性矩、慣性積和慣性半徑慣性矩：平面圖形對某坐標(biāo)軸的二次矩，如圖-4所示。， （-5）量綱為長度的四次方，恒為正。相應(yīng)定義， （-6）為圖形對 軸和對 軸的慣性半徑。組合圖形的慣性矩。設(shè) 為分圖形的慣性矩，則總圖形對同一軸慣性矩為， （-7）若以 表示微面積 到坐標(biāo)原點 的距離,則定義圖形對坐標(biāo)原點 的極慣性矩 （-8）因為所以極慣性矩與（軸）慣性矩有關(guān)系 （-9）式（-9）表明，圖形對任意兩個互相垂直軸的（軸）慣性矩之和，等于它對該兩軸交點的極慣性矩。下式 （-10）定義為圖形對一對正交軸 、 軸的慣性積。量綱是長度的四次方。 可能為正，為負(fù)或為零。若 y ，z 軸中有一根為對稱軸則其慣性積為零。例-3 求如圖-5所示圓形截面的 。解：如圖所示取dA，根據(jù)定義，由于軸對稱性，則有 （I-10a） 由公式（-9） （I-10b） 對于空心圓截面，外徑為 ，內(nèi)徑為 ，則 （-12a） （I-