第二章經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)

1、第二章 經(jīng)典動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)2-1 約束2-1-1 完整約束假定系統(tǒng)的位形由個(gè)廣義坐標(biāo)規(guī)定，并存在如下的個(gè)獨(dú)立的約束方程 （=1,2, ，） （2-1）可以用這種方式表示的約束，就叫做完整約束，相應(yīng)的系統(tǒng)就叫做完整系統(tǒng)。式（2-1）表示的約束方程，如顯含時(shí)間時(shí)叫做非定常約束（或叫非平穩(wěn)定約束）；如不顯含時(shí)間時(shí)叫做定常約束（或叫平穩(wěn)約束）。2-1-2 非完整約束現(xiàn)在來(lái)考察受個(gè)約束的系統(tǒng)，這些約束有如下的不可積的微分表達(dá)式 （=1,2, ，） （2-2）一般來(lái)說(shuō)，式中的及都是諸和的函數(shù)，這種約束叫做非完整約束。由于式（2-2）的不可積性，因而找不到如式（2-1）所表達(dá)的函數(shù)，故也無(wú)法利用這些函數(shù)以消去某

2、些變量而找到一組獨(dú)立的廣義坐標(biāo)。因而，要描述非完整系統(tǒng)，需要的坐標(biāo)數(shù)總是大于系統(tǒng)的自由度數(shù)。2-2 達(dá)朗貝（DAlembert）原理再來(lái)考察具有個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)，對(duì)于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)寫(xiě)出牛頓第二定律 （2-3a）或 （2-3b）式中和分別為作用在第個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力和約束力；具有力的量綱，叫做作用于第個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的慣性力；其中是常質(zhì)量；而是相對(duì)于慣性參考系的加速度矢量。與慣性力不同，習(xí)慣上把和叫做真實(shí)力或?qū)嶋H力。因此，式（2-3b）表示作用于系統(tǒng)的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的全部真實(shí)力和慣性力之矢量和等于零。這一結(jié)果，把一個(gè)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題化成一個(gè)靜力學(xué)問(wèn)題，也就是通常所說(shuō)的動(dòng)靜法。2-3 廣義力設(shè)若給定作用于具有個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)上的一

3、組力，則這些力的虛功為（2-4）現(xiàn)在假定3個(gè)通常的直角坐標(biāo)，經(jīng)式的變換，使其與個(gè)廣義坐標(biāo)相聯(lián)系，則有 （=1,2, ，3N ） （2-5）一般說(shuō)來(lái)，上式中的為諸和的函數(shù)。 （2-6）式中（2-7）因此，和分別叫作相應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力和廣義虛位移。廣義力的量綱取決于廣義坐標(biāo)的量綱，但是不管在什么情況下，乘積必須是功或能的量綱，換言之，與在能量的意義上共軛，這一點(diǎn)必須牢牢記住。在表述虛功原理時(shí)，廣義力的概念是非常有用的。假定所考慮的是無(wú)初速的完整系統(tǒng)，它受有固定的無(wú)功約束。如果系統(tǒng)的位形是用獨(dú)立的廣義坐標(biāo)來(lái)表示，則系統(tǒng)處于靜平衡的充要條件是主動(dòng)力產(chǎn)生的全部廣義力都等于零。2-4 拉格朗日（Lag

4、range）方程2-4-1 功與動(dòng)能考察一個(gè)具有個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)，各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于慣性參考系的直角坐標(biāo)為。系統(tǒng)的動(dòng)能可表成（2-8）現(xiàn)用廣義坐標(biāo)來(lái)表示功能。設(shè)諸與諸之間有如下的變換式： （2-9）此外假定這些函數(shù)對(duì)于和是二次可微的。于是有（2-10）上式中對(duì)于諸是線性的，而和都是諸和的函數(shù)。將式（2-10）代入式（2-8），則有（2-11）式中 （2-12a,b） （2-13） （2-14）其中 ；從式（2-12a，b）、（2-13）和式（2-14）可看出是諸的齊次二次函數(shù)，是諸的齊次一次函數(shù)，而則是諸和的函數(shù)。需要指出，系數(shù)和也都是諸和的函數(shù)。2-4-2 拉格朗日方程現(xiàn)在假設(shè)系統(tǒng)是完整的，并且系統(tǒng)的

5、位形由一組獨(dú)立的廣義坐標(biāo)諸來(lái)描述。如果諸都是獨(dú)立的，則有 （） （2-15）式（2-15）就叫做拉格朗日方程。上面我們推導(dǎo)了位形由一組獨(dú)立廣義坐標(biāo)給定的完整系統(tǒng)的拉格朗日方程式（2-15）?，F(xiàn)在再假定所有的廣義力都可由位能函數(shù)導(dǎo)出，即（2-16）將式（2-16）代入式（2-15），則可得： （） （2-17）再定義一個(gè)函數(shù) （2-18）叫做拉格朗日函數(shù)（也叫做動(dòng)勢(shì)），則式（2-17）又可寫(xiě)成： （） （2-19）式（2-19）就是完整系統(tǒng)拉格朗日方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。如果廣義力中有一部分可由位能函數(shù)導(dǎo)出，而另一部分不能由位能函數(shù)導(dǎo)出，即 （） （2-20）則式（2-15）及式（2-18）可得： （）

6、 （2-79）式中是不能由位能函數(shù)導(dǎo)出的廣義力，例如摩擦力就是一個(gè)典型的例子。2-4-3 示例分析例21：兩質(zhì)點(diǎn)及由無(wú)質(zhì)量桿懸掛而構(gòu)成雙擺，如圖2-1所示。假定全部運(yùn)動(dòng)發(fā)生在鉛直平面（）內(nèi)，試求運(yùn)動(dòng)微分方程。再假設(shè)運(yùn)動(dòng)為微小運(yùn)動(dòng)，試將這些方程線性化。圖2-1 雙擺幾何約束條件： （a）四個(gè)直角坐標(biāo)，二個(gè)約束條件，故體系只有二個(gè)自由度?，F(xiàn)取及作為二個(gè)獨(dú)立廣義坐標(biāo)。， ， ， ，把看成，看成，并將及的表達(dá)式代入拉格朗日方程，則可得： （ b）方程（b）為非線性，不易求解?，F(xiàn)在就微小運(yùn)動(dòng)的情況把方程（b）線性化，即假定、以及它們對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)都遠(yuǎn)小于1。因此可近似地取， 方程（b）此時(shí)變成 （c）這里

7、已略去諸微量的高次項(xiàng)。式（c）寫(xiě)成矩陣形式為： （d）對(duì)應(yīng)于上式的慣性矩陣為，其元素為，動(dòng)能的正定性條件為：，即可見(jiàn)的正定條件是滿(mǎn)足的，因此是正定的，方程（c）是動(dòng)耦合、靜不耦合。例22：圖2-2表示兩自由度體系，彈簧為線性彈簧，小質(zhì)量通過(guò)一根無(wú)質(zhì)量剛桿（長(zhǎng)度為）可繞大質(zhì)塊的中心擺動(dòng)，為作用在上的力，試推導(dǎo)這個(gè)系統(tǒng)的方程。 圖22 慣性擺求解步驟如下：把和作為二個(gè)廣義坐標(biāo)，的直角坐標(biāo)為：，的直角坐標(biāo)系中的速度分量為：， （a）現(xiàn)在再來(lái)求相應(yīng)于和的廣義為和。利用虛功條件（在兩個(gè)坐標(biāo)系中主動(dòng)力所作的虛功應(yīng)相等）即可求得：由上式可知相應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義為，相應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義為。在式（a）中將，則相

8、應(yīng)的， （b）將式（a）和（b）代入拉格朗日方程，可得 （c）假設(shè)運(yùn)動(dòng)為微小運(yùn)動(dòng)，如例1，式（c）可簡(jiǎn)化為（d）或?qū)懗删仃囆问剑海╡）由式（e）可看出，體系的動(dòng)能T是正定的。式（e）也是動(dòng)耦合、靜不耦合。2-5 哈密爾頓原理在上面各節(jié)中，運(yùn)動(dòng)方程是以微分形式來(lái)表示。這種方法著重考察系統(tǒng)隨時(shí)間而演變的情況。另一方面，可以用變分原理作為描述動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的依據(jù)。這種方法是從整體上來(lái)觀察系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，并且要求在位形空間中找出一條路徑，使某一積分具有駐值。在經(jīng)典動(dòng)力學(xué)中一個(gè)十分重要的變分原理就是哈密爾頓原理，這個(gè)原理首次發(fā)表于1934年。設(shè)有一個(gè)由個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)，該系統(tǒng)相對(duì)于慣性參考系的位形由矢量給出。應(yīng)

9、用拉格朗日形式的達(dá)朗貝原理，有 （2-22）式中是作用在第個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力?，F(xiàn)假定諸虛位移是可逆的并與瞬時(shí)約束相一致，而這些約束都看成是無(wú)功約束。現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)能寫(xiě)出其變分的表達(dá)式（2-23）但 （2-24）式（2-24）中的第二項(xiàng)是由而得到的。由式（2-22）、（2-23）及（2-24）可得（2-25）現(xiàn)將上式在積分限和之間對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分，并用代表主動(dòng)力的虛功，則有 （2-26）另外，假定在時(shí)刻和時(shí)系統(tǒng)的位形已被規(guī)定，即變分在時(shí)刻和上都是零。于是有 （2-27）顯然，上式中的和的值是與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的。現(xiàn)在把表達(dá)式改用廣義坐標(biāo)來(lái)表示，則動(dòng)能T便成為諸、和的函數(shù)，而虛功為：（2-28）式中諸是主動(dòng)的廣

10、義力。于是式（2-27）可以寫(xiě)成： （2-29）其中諸在時(shí)刻和都等于零。對(duì)于受約束的系統(tǒng)，還需要諸必須與瞬時(shí)約束相一致。式（2-27）或式（2-29）往往被當(dāng)作哈密爾頓原理的廣義形式。實(shí)質(zhì)上，從推導(dǎo)的過(guò)程可以看出，它是式（2-22）所示的達(dá)朗貝原理的積分形式，并且適用于同樣廣泛的各種力學(xué)系統(tǒng)。而哈密爾頓原理的通常形式卻適用于較為有限的一類(lèi)系統(tǒng)?，F(xiàn)在就來(lái)推導(dǎo)這個(gè)通常形式。假定所有主動(dòng)力都可由位能函數(shù)導(dǎo)出，則有（2-30）在這里必須指出，一般來(lái)說(shuō)，不是W的變分；而卻顯然是V的變分。再?gòu)氖剑?-23）可看出是的變分，所以 （2-31）于是由式（2-27）可得 （2-32）其中仍然取固定的端點(diǎn)和（見(jiàn)圖2-3）。對(duì)于完整系統(tǒng)，積分運(yùn)算和變分運(yùn)算是可以交換的，因此以代換后，得（2-33）這里實(shí)際路徑和變更后的路徑（見(jiàn)圖2-3）都滿(mǎn)足每個(gè)完整約束所加上的條件。圖2-3 在（）維位形空間中的實(shí)際路徑和變更后的路徑由此得到哈密爾頓原理如下：在位形空間中完整動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)于固定的時(shí)間區(qū)間到內(nèi)所經(jīng)過(guò)的實(shí)際路徑能使積分（2-34）對(duì)于路徑變更來(lái)說(shuō)取駐值，而在路徑的端點(diǎn)上這些變更都為零。從數(shù)學(xué)分析中可以知道，當(dāng)和具有所要求的平滑度時(shí)，而且諸是獨(dú)立的，則作為的充要條件是 （）上式就是拉格朗日方程。因此哈密爾頓原理和拉