2009年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷(理科

1、2009年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1（5分）已知，是兩個向量集合，則ABCD2（5分）設(shè)為非零實數(shù)，函數(shù)的反函數(shù)是ABCD3（5分）投擲兩顆骰子，得到其向上的點數(shù)分別為和，則復(fù)數(shù)為實數(shù)的概率為ABCD4（5分）函數(shù)的圖象按向量平移到，的函數(shù)解析式為，當(dāng)為奇函數(shù)時，向量可以等于A，B，C，D，5（5分）將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到一個班，則不同分法的種數(shù)為A18B24C30D366（5分）設(shè)，則AB0C1D7（5分）已知雙曲線的準(zhǔn)線過橢圓的焦點，則直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是A

2、，B，C，D，8（5分）在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為A2000元B2200元C2400元D2800元9（5分）設(shè)球的半徑為時間的函數(shù)若球的體積以均勻速度增長，則球的表面積的增長速度與球半徑A成正比，比例系數(shù)為B成正比，比例系數(shù)為C成反比，比例系數(shù)為D成反比，比例系數(shù)為10（5分）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成

3、三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，這樣的數(shù)成為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A289B1024C1225D1378二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11（5分）已知關(guān)于的不等式的解集，則實數(shù) 12（5分）如圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)落在，內(nèi)的頻數(shù)為 ，數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率約為 13（5分）如圖，衛(wèi)星和地面之間的電視信號沿直線傳播，電視信號能夠傳送到達的地面區(qū)域，稱為這個衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域為了轉(zhuǎn)播2008年北京奧運會，我國發(fā)射了“中星九號”廣播電視直播衛(wèi)星，它離地球表面的距離約為已知地球半徑約為，則“中星九號”

4、覆蓋區(qū)域內(nèi)的任意兩點的球面距離的最大值約為 （結(jié)果中保留反余弦的符號）14（5分）已知函數(shù)，則的值為 15（5分）已知數(shù)列滿足：為正整數(shù)），若，則所有可能的取值為 三、解答題（共6小題，滿分75分）16（10分）一個盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)2，3，4，5；另一個盒子也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)3，4，5，6現(xiàn)從一個盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記為；再從另一盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為，記隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望17（12分）已知向量，（1）求向量的長度的最大值；（2）設(shè)，且，求的值18（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，點是上的點，

5、且（）求證：對任意的，都有（）設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成的角為，若，求的值19（13分）已知數(shù)列的前項和為正整數(shù)）（）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（）令，試比較與的大小，并予以證明20（14分）過拋物線的對稱軸上一點，的直線與拋物線相交于、兩點，自、向直線作垂線，垂足分別為、（）當(dāng)時，求證：；（）記、的面積分別為、，是否存在，使得對任意的，都有成立？若存在，求出的值，否則說明理由21（14分）在上定義運算：、是常數(shù)），已知，如果函數(shù)在處有極值，試確定、的值；求曲線上斜率為的切線與該曲線的公共點；記的最大值為，若對任意的、恒成立，試求的取值范圍（參考公式：2009年湖北省高

6、考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1（5分）已知，是兩個向量集合，則ABCD【解答】解：由已知可求得，再由交集的含義，有，所以選2（5分）設(shè)為非零實數(shù)，函數(shù)的反函數(shù)是ABCD【解答】解：由函數(shù)得：，函數(shù)的反函數(shù)是：故選：3（5分）投擲兩顆骰子，得到其向上的點數(shù)分別為和，則復(fù)數(shù)為實數(shù)的概率為ABCD【解答】解：因為為實數(shù)所以故則可以取1、2、3、4、5、6，共6種可能，所以，故選：4（5分）函數(shù)的圖象按向量平移到，的函數(shù)解析式為，當(dāng)為奇函數(shù)時，向量可以等于A，B，C，D，【解答】解：將函數(shù)向左平移個單位，再向上平移2個單位可得到，故選：5（5分）

7、將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到一個班，則不同分法的種數(shù)為A18B24C30D36【解答】解：每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到一個班用間接法解四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個班的種數(shù)是，元素還有一個排列，有種，而甲乙被分在同一個班的有種，滿足條件的種數(shù)是故選：6（5分）設(shè)，則AB0C1D【解答】解：令和分別代入二項式中得，由平方差公式得所以故選：7（5分）已知雙曲線的準(zhǔn)線過橢圓的焦點，則直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是A，B，C，D，【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線中，則，易得準(zhǔn)線方程是所以即所以方程是聯(lián)立可得由解得，故選：

8、8（5分）在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為A2000元B2200元C2400元D2800元【解答】解：設(shè)需使用甲型貨車輛，乙型貨車輛，運輸費用元，根據(jù)題意，得線性約束條件求線性目標(biāo)函數(shù)的最小值解得當(dāng)時，故選：9（5分）設(shè)球的半徑為時間的函數(shù)若球的體積以均勻速度增長，則球的表面積的增長速度與球半徑A成正比，比例系數(shù)為B成正比，比例系數(shù)為C成反比，比例系數(shù)為D成反比，比例系數(shù)為【解答】解：由題意

9、可知球的體積為，則，由此可得，而球的表面積為，所以，即故選：10（5分）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，這樣的數(shù)成為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A289B1024C1225D1378【解答】解：由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項，則由可排除，又由，與無正整數(shù)解，故選：二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11（5分）已知關(guān)于的不等式的解集，則實數(shù)【解答】解：不等式，又關(guān)于的不等式的解集，是方程的一個根，故答案

10、為：12（5分）如圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)落在，內(nèi)的頻數(shù)為64，數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率約為 【解答】解：觀察直方圖易得數(shù)落在，內(nèi)的頻率；數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率；樣本數(shù)落在，內(nèi)的頻數(shù)為，頻率為故答案為64 0.413（5分）如圖，衛(wèi)星和地面之間的電視信號沿直線傳播，電視信號能夠傳送到達的地面區(qū)域，稱為這個衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域為了轉(zhuǎn)播2008年北京奧運會，我國發(fā)射了“中星九號”廣播電視直播衛(wèi)星，它離地球表面的距離約為已知地球半徑約為，則“中星九號”覆蓋區(qū)域內(nèi)的任意兩點的球面距離的最大值約為（結(jié)果中保留反余弦的符號）【解答】解：如圖所示，可得，則在中可得：，所以球面距離

11、的最大值約為：故答案為：14（5分）已知函數(shù)，則的值為1【解答】解：因為所以解得故故答案為115（5分）已知數(shù)列滿足：為正整數(shù)），若，則所有可能的取值為4，5，32【解答】解：由題意知中任何一項均為正整數(shù)，若為奇數(shù)，則，得不滿足條件若為偶數(shù)，則，滿足條件若為奇數(shù)，則，得不滿足條件若為偶數(shù)，則，滿足條件（1）若為奇數(shù)，則，滿足條件若為奇數(shù)，則，不滿足條件若為偶數(shù)，則滿足條件若為奇數(shù)，則，得不滿足條件若為偶數(shù)，則，滿足條件（2）若為偶數(shù)，則，滿足條件若為奇數(shù)，則，得不滿足條件若為偶數(shù)，則，滿足條件若為奇數(shù)，則，得，滿足條件若為偶數(shù)，則，滿足條件故的取值可以是4，5，32故答案為：4，5，32三、解

12、答題（共6小題，滿分75分）16（10分）一個盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)2，3，4，5；另一個盒子也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)3，4，5，6現(xiàn)從一個盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記為；再從另一盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為，記隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望【解答】解：隨機變量，依題意的可能取值是5，6，7，8，9，10，11得到； ； ；的分布列為56789101117（12分）已知向量，（1）求向量的長度的最大值；（2）設(shè)，且，求的值【解答】解：（1），則，即當(dāng)時，有，所以向量的長度的最大值為2（2）由（1）可得，即由，得，即，或，于是或18（12分

13、）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，點是上的點，且（）求證：對任意的，都有（）設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成的角為，若，求的值【解答】解：（）證法1：如圖1，連接、，由地面是正方形可得平面，是在平面上的射影，（）解法1：如圖1，由平面知，平面，平面，又底面是正方形，而，平面連接、，過點在平面內(nèi)作于，連接，則，故是二面角的平面角，即在中，在中，從而在中，由，得即，所以由，解得，即為所求（）證法2：以為原點，以的方向分別作為，軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，0，0，即（）解法由得，設(shè)平面的法向量為，則由，得即取，得易知平面與平面的一個法向量分別為與，由，解得，即為所求19（13

14、分）已知數(shù)列的前項和為正整數(shù)）（）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（）令，試比較與的大小，并予以證明【解答】解：（）在中，令，可得，即當(dāng)時，即當(dāng)時，又，數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列于是，由得，所以由得于是確定的大小關(guān)系等價于比較與的大小猜想當(dāng)，2時，當(dāng)時，證明如下：（1）當(dāng)時，由猜想顯然成立（2）假設(shè)時猜想成立即則時，所以當(dāng)時猜想也成立綜合（1）（2）可知，對一切的正整數(shù)，都有20（14分）過拋物線的對稱軸上一點，的直線與拋物線相交于、兩點，自、向直線作垂線，垂足分別為、（）當(dāng)時，求證：；（）記、的面積分別為、，是否存在，使得對任意的，都有成立？若存在，求出的值，否則說明理由【解答】解：依題意，可設(shè)直線的方程為，則有，將代入消去可得從而有，于是又由，可得（）證：如圖，當(dāng)時，點，即為拋物線的焦點，為其準(zhǔn)線，其方程為此時，并由 可得，故有； （）存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：證：記直線與軸的交點為，則于是有，將、代入上式化簡可得上式恒成立，即對任意的，成立21（14分）在上定義運算：、是常數(shù)），已知，如果函數(shù)在處有極值，試確定、的值；求曲線上斜率為的切線與該曲線的公共點；記的最大值為，若對任意的、恒成立，試求的取值范圍（參考公式：【解答】解：依題意，解得或若，在上單調(diào)遞減，在處無極值；若，直接討論知，在處有極大值，所以為