高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)（一）學(xué)案北師大版選修1-1

1、2.2拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等簡(jiǎn)單性質(zhì).2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)思考1類比橢圓、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，結(jié)合圖像，你能說(shuō)出拋物線y22px(p0)中x的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？思考2參數(shù)p對(duì)拋物線開(kāi)口大小有何影響？梳理標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形性質(zhì)范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)離心率e_知識(shí)點(diǎn)二焦點(diǎn)弦設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：y22px(p0)|AB|x1x2py22px

2、(p0)|AB|p(x1x2)x22py(p0)|AB|y1y2px22py(p0)|AB|p(y1y2)類型一拋物線簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用例1已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線l過(guò)F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程引申探究等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OAOB，則AOB的面積是_反思與感悟把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線簡(jiǎn)單性質(zhì)(1)開(kāi)口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖像開(kāi)口，關(guān)鍵是明確二次項(xiàng)是x 還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù)(2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸(3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過(guò)焦點(diǎn)

3、垂直于對(duì)稱軸的弦(又稱為通徑)長(zhǎng)為2p；離心率恒等于1.跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線及對(duì)稱軸距離分別為10和6，求拋物線的方程類型二拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題例2已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y26x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)(1)若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離反思與感悟(1)拋物線的焦半徑定義拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段焦半徑公式P(x0，y0)為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)若拋物線y22px(p0)，則|PF|x0；若拋物線y22px(p0)，則|PF|x0；若拋物線x2

4、2py(p0)，則|PF|y0；若拋物線x22py(p0)，則|PF|y0(2)過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)的求解方法設(shè)過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2p.然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2即可跟蹤訓(xùn)練2 直線l過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|8，則直線l的方程為_(kāi)類型三與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題例3設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,2)求|PB|PF|的最小值反思與感悟拋

5、物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對(duì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線垂線段最短等跟蹤訓(xùn)練3已知點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A. B2C. D.1設(shè)AB為過(guò)拋物線y22px (p0)的焦點(diǎn)的弦，則|AB|的最小值為()A. Bp C2p D無(wú)法確定2設(shè)拋物線y28x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A4 B6 C8 D123已知拋物線yax2的準(zhǔn)線方程是y2，則此拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離

6、的最小值為()A1 B2 C3 D44過(guò)拋物線y28x的焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線，則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為()A8 B16 C32 D615正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y22px(p0)上，求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)1討論拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用簡(jiǎn)單性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程2拋物線中的最值問(wèn)題：注意拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，其次是平面幾何知識(shí)的應(yīng)用答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1范圍x0，關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)思考2因?yàn)檫^(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且垂直于對(duì)稱軸的弦的長(zhǎng)度是2p，所以p越大，開(kāi)口越大梳理(0,0)1題型

7、探究例1解由題意，設(shè)拋物線方程為y22mx(m0)，焦點(diǎn)F(，0)直線l：x，所以A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(，m)，(，m)，所以|AB|2|m|.因?yàn)镺AB的面積為4，所以|2|m|4，所以m2.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.引申探究4p2解析因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x軸，內(nèi)接AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對(duì)稱性知，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45.由方程組得或所以易得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p,2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)拋物線的方程為y22ax(a0)，點(diǎn)P(x0，y0)因?yàn)辄c(diǎn)P到對(duì)稱軸距離為6，所以y06

8、.因?yàn)辄c(diǎn)P到準(zhǔn)線距離為10，所以|x0|10.因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以362ax0，由，得或或或所以所求拋物線的方程為y24x或y236x.例2解(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直線l的方程為y. 聯(lián)立消去y得x25x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1x25.而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26，所以線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3.又準(zhǔn)線方程是x，所以M到準(zhǔn)線的距離等于3.跟蹤訓(xùn)練2xy10或xy10解

9、析拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，若l與x軸垂直，則|AB|4，不符合題意所以可設(shè)所求直線l的方程為yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2.又AB過(guò)焦點(diǎn)，由拋物線的定義可知|AB|x1x2p28，即6，解得k1.所以所求直線l的方程為xy10或xy10.例3解(1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程是x1.由拋物線的定義知，點(diǎn)P到直線x1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小顯然，連接AF，AF與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，故最小值為，即點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值為.(2)如圖，把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入y24x中，得y2.因?yàn)?2，所以點(diǎn)B在拋物線內(nèi)部過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直于準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，連接P1F.此時(shí)，由拋物線定義知，|P1Q|P1F|.所以|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314，即|PB|PF|的最小值為4.跟蹤訓(xùn)練3A如圖，由拋物線定義知|PA|PQ|PA|PF|，則所求距離之和