高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程3.1雙曲線及其標準方程學(xué)案北師大版選修1-1

1、31雙曲線及其標準方程學(xué)習(xí)目標1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導(dǎo)過程.2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題知識點一雙曲線的定義思考1如圖，取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點M處，拉開或閉攏拉鏈，筆尖經(jīng)過的點可畫出一條曲線，那么曲線上的點應(yīng)滿足怎樣的幾何條件？思考2已知點P(x，y)的坐標滿足下列條件，試判斷下列各條件下點P的軌跡是什么圖形？(1)|6；(2)6.梳理把平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的集合叫作雙曲線定點F1，F(xiàn)2叫作

2、_，兩個焦點之間的距離叫作_知識點二雙曲線的標準方程思考1雙曲線的標準形式有兩種，如何區(qū)別焦點所在的坐標軸？思考2如圖，類比橢圓中a，b，c的意義，你能在y軸上找一點B，使|OB|b嗎？類型一雙曲線的定義及應(yīng)用命題角度1雙曲線中的焦點三角形問題例1(1)如圖，已知雙曲線的方程為1(a0，b0)，點A，B均在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點F2，|AB|m，F(xiàn)1為雙曲線的左焦點，則ABF1的周長為_引申探究本例(2)中若F1PF290，其他條件不變，求F1PF2的面積(2)已知雙曲線1的左、右焦點分別是F1、F2，若雙曲線上一點P使得F1PF260，則F1PF2的面積為_反思與感悟求雙

3、曲線中焦點三角形面積的方法(1)方法一：根據(jù)雙曲線的定義求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；通過配方，利用整體的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面積(2)方法二：利用公式SPF1F2|F1F2|yP|(yP為P點的縱坐標)求得面積特別提醒：利用雙曲線的定義解決與焦點有關(guān)的問題，一是要注意定義條件|PF1|PF2|2a的變形使用，特別是與|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|間的關(guān)系跟蹤訓(xùn)練1已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左，右焦點，點P在C上，|PF1|2|P

4、F2|，則cos F1PF2等于()A. B. C. D.命題角度2由雙曲線定義求軌跡方程例2已知在ABC中，三邊長分別為a，b，c，B(1,0)，C(1,0)，求滿足sin Csin Bsin A的頂點A的軌跡反思與感悟定義法求雙曲線方程的注意點(1)注意條件中是到定點距離之差，還是差的絕對值(2)當(dāng)差的絕對值為常數(shù)時要注意常數(shù)與兩定點間距離的大小問題(3)求出方程后要注意表示滿足方程的解的坐標是否都在所給的曲線上跟蹤訓(xùn)練2已知動圓M與圓C1：(x4)2y22外切，與圓C2：(x4)2y22內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A.1(x) B.1C.1 D.1類型二求雙曲線的標準方程例3求下列

5、雙曲線的標準方程(1)與橢圓1有公共焦點，且過點(2，)；(2)焦距為26，且經(jīng)過點M(0,12)；(3)過點P(3，)，Q(，5)，且焦點在坐標軸上反思與感悟待定系數(shù)法求方程的步驟(1)定型：即確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸(2)設(shè)方程：根據(jù)焦點位置設(shè)出相應(yīng)的標準方程的形式若不知道焦點的位置，則進行討論，或設(shè)雙曲線的方程為Ax2By21(AB0)；與雙曲線1(a0，b0)共焦點的雙曲線的標準方程可設(shè)為1(b2ka2)(3)計算：利用題中條件列出方程組，求出相關(guān)值(4)結(jié)論：寫出雙曲線的標準方程跟蹤訓(xùn)練3根據(jù)條件求雙曲線的標準方程(1)c，經(jīng)過點A(5,2)，焦點在x軸上；(2)經(jīng)

6、過點P(4，2)和點Q(2，2)；(3)已知雙曲線與橢圓1有共同的焦點，且過點(，4)類型三由雙曲線標準方程求參數(shù)例4已知曲線1.(1)當(dāng)曲線為橢圓時，求m的取值范圍，并寫出焦點坐標；(2)當(dāng)曲線為雙曲線時，求m的取值范圍，并寫出焦點坐標反思與感悟(1)對于方程1，當(dāng)mn0，n0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當(dāng)m0時表示焦點在y軸上的雙曲線(2)對于方程1，則當(dāng)mn0時表示雙曲線且當(dāng)m0，n0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當(dāng)m0，n1 Bm3 D1m35與橢圓x25y25共焦點且過點(，1)的雙曲線的方程為_1雙曲線定義中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意與橢圓中a，b，c的區(qū)別在橢

7、圓中a2b2c2，在雙曲線中c2a2b2.3用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，要先判斷焦點所在的位置，設(shè)出標準方程后，由條件列出a，b，c的方程組如果焦點不確定要分類討論，采用待定系數(shù)法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1曲線上的點滿足條件：|MF1|MF2|常數(shù)；如果改變一下筆尖位置，使|MF2|MF1|常數(shù)，可得到另一條曲線思考2(1)|表示點P(x，y)到兩定點F1(5,0)、F2(5,0)的距離之差的絕對值，|F1F2|10，|PF1|PF2|6|F1F2|，故點P的軌跡是雙曲線(2)表示點P(x，y)到兩定點F1(4,0)、F2(4，0)的距

8、離之差，|F1F2|8，|PF1|PF2|6|F1F2|，故點P的軌跡是雙曲線的右支梳理雙曲線的焦點雙曲線的焦距知識點二思考1雙曲線標準方程中x2與y2的系數(shù)的符號決定了焦點所在的坐標軸當(dāng)x2的系數(shù)為正時，焦點在x軸上；當(dāng)y2的系數(shù)為正時，焦點在y軸上，而與分母的大小無關(guān)思考2以雙曲線與x軸的交點A為圓心，以線段OF2為半徑畫圓交y軸于點B.題型探究例1(1)4a2m(2)16解析(1)由雙曲線的定義，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AF2|BF2|AB|，所以ABF1的周長為|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m.(2)由1，得a3，b4，c5.由定義和余弦定理

9、，得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF26416.引申探究解由雙曲線方程知a3，b4，c5，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36.在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100.將代入得|PF1|PF2|32，所以SF1PF2|PF1|PF2|16.跟蹤訓(xùn)練1C由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2，又|PF1|2|

10、PF2|，|PF2|2，|PF1|4，|F1F2|4，在F1PF2中由余弦定理：cos F1PF2.例2解如圖所示，sin Csin Bsin A，根據(jù)正弦定理，得cba21，即|AB|AC|1|BC|.點A的軌跡符合雙曲線的定義點A的軌跡是以B，C為焦點的雙曲線的右支(不包括點A在BC上的情況)跟蹤訓(xùn)練2A設(shè)動圓M的半徑為r，則由已知得|MC1|r，|MC2|r，所以|MC1|MC2|2.又C1(4,0)，C2(4,0)，所以|C1C2|8，所以20，b0)，則有解得故所求雙曲線的方程為1.方法二由橢圓方程1知焦點在y軸上，設(shè)所求雙曲線方程為1(1625)因為雙曲線過點(2，)，所以1，解得20或7(舍去)，故所求雙曲線的方程為1.(2)雙曲線經(jīng)過點M(0,12)，M(0,12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.雙曲線的標準方程為1.(3)設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0，b0)，c，b2c2a26a2.由題意知1，1，解得a25或a230(舍)b21.雙曲線的標準方程為y21.(2)設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0)點P(4，2)和點Q(2，2)在雙曲線上，解得雙曲線的方程為1.(3)橢圓1的焦點坐標為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，故可設(shè)雙曲線的方程為1.由題意，知解得故雙曲線