第三章-平面與空間直線ppt課件

1、第一節(jié) 平面及其方程,一、由平面上一點與平面的方位向量決定的平面的方程,1、方位向量,在空間給定一個點M0與兩個不共線的向量a,b，則 通過點M0且與a,b平行的平面就被唯一確定。向量a, b稱為平面的方位向量,顯然，任何一對與平面平行的不共線向量都可作 為平面的方位向量,2、平面的向量式參數方程,又因為,所以,r-r0= ua+vb,即,r=r0+ ua+vb （1,方程（1）稱為平面的向量式參數方程,顯然,3、平面的坐標式參數方程,若設M0，M的坐標分別為(x0,y0,z0),(x,y,z),則,r0=x0,y0,z0,r=x,y,z,并設,a=X1,Y1,Z1,b=X2,Y2,Z2,則由

2、（1）可得,2）式稱為平面的坐標式參數方程,r=r0+ ua+vb （1,例1、已知不共線的三點M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3),求過這三點的平面的方程,解,因此，平面的向量式參數方程為,r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3,坐標式參數方程為,從（3），（4）中分別消去參數u,v可得,r-r1,r2-r1,r3-r1)=0 （5,與,或,5）（6）（7）都有叫做平面的三點式方程,特別地，若平面與三坐標軸的交點分別 為M1(a,0,0) M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc0,則平面的方程為,稱為平面的截距式方程。 其中a

3、,b,c分別稱為平面在 三坐標軸上的截距,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法向量,法向量的特征,垂直于平面內的任一向量,二、平面的點法式方程,注: 1 對平面, 法向量n不唯一,2 平面 的法向量n與 上任一向量垂直,2. 平面的點法式方程,設平面過定點 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=A,B, C,得,A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0,稱方程(1) 為平面的點法式方程,1,例1: 求過點(2, 3, 0)且以 n = 1, 2, 3為法向量的平面的方程,解: 根據平面的點法式方程(1), 可得平面方程為,1 (x 2) 2 (y +

4、 3) + 3 (z 0) = 0,即: x 2y + 3z 8 = 0,解: 先找出該平面的法向量n,14i + 9j k,例2: 求過三點M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程,所以, 所求平面的方程為,14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0,即: 14x + 9y z 15 = 0,例3、已知兩點M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求線段的垂直 平分面的方程,解,又所求平面過點M1M2的中點M0(2,-1,1)，故 平面的點法式方程為,x-2)+(y+1)-2(z-1)=0,整理得,x+y-2z+1=0,三、平面

5、的一般方程,1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0都表示平面,且此平面的一個法向量是,n = A, B, C,證: A, B, C不能全為0, 不妨設A 0, 則方程可以化為,它表示過定點,注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2,稱為平面的一般方程,且法向量為 n = A, B, C的平面,例2: 已知平面過點M0(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程,解: 所求平面與已知平面有相同的法向量n =2 3, 4,2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0,即: 2x 3y + 4

6、z 4 = 0,2. 平面方程的幾種特殊情形,1) 過原點的平面方程,由于O(0, 0, 0)滿足方程, 所以D = 0. 于是, 過原點的平面方程為,Ax + By + Cz = 0,2) 平行于坐標軸的方程,考慮平行于x軸的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = A, B, C與x 軸上的單位向量 i =1, 0, 0垂直, 所以,n i = A 1 + B 0 + C 0 = A = 0,于是,平行于x 軸的平面方程是 By + Cz + D = 0,平行于y 軸的平面方程是 Ax + Cz + D = 0,平行于z 軸的平面方程是 Ax + By + D =

7、0,特別: D = 0時, 平面過坐標軸,3) 平行于坐標面的平面方程,平行于xOy 面的平面方程是,平行于xOz 面的平面方程是,平行于yOz 面的平面方程是,Cz + D = 0,By + D = 0,Ax + D = 0,例3: 求通過x 軸和點(4, 3, 1)的平面方程,解: 由于平面過x 軸, 所以 A = D = 0,設所求平面的方程是 By + Cz = 0,又點(4, 3, 1)在平面上, 所以,3B C = 0,C = 3B,所求平面方程為 By 3Bz = 0,即: y 3z = 0,例4: 設平面與x, y, z 軸的交點依次為P(a, 0, 0), Q(0, b, 0

8、), R(0, 0, c)三點, 求這平面的方程,解: 設所求平面的方程為,Ax + By + Cz + D = 0,因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三點都在這平面上, 于是,aA + D = 0 bB + D = 0 cC + D = 0,解得,所求平面的方程為,即,3,設平面為,由所求平面與已知平面平行得,向量平行的充要條件,解,化簡得,令,所求平面方程為,若平面上的一點 特殊地取自原點O 向平面 所引垂線的垂足， 而 的法向量取單位向量 ，設 ，那么由點 和法向量 決定的平面的向量式法式方程為,平面的坐標式方程，簡稱法式方程為,平面的法式方程是具有

9、下列兩個特征的一種一般方程： 一次項的系數是單位法向量的坐標，它們的平方和等于1； 因為p是原點O 到平面 的距離，所以常數,平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 與法式方程的互化,取 乘平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 可得法式方程 在取定符號后叫做法式化因子,選取的符號通常與常數項 相反的符號,例 把平分面 的方程 化為法式方程， 求自原點指向平面 的單位向量及其方向余弦，并求原點到平面的距離,第二節(jié) 平面與點的相關位置,設P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點，求點 P0到平面的距離,在平面上任取一點P1(x1, y1, z1,過P0點作一法向量 n =

10、A, B, C,于是,又 A(x0 x1) + B(y0 y1) + C(z0 z1,Ax0 + By0 + Cz0 + D (Ax1 + By1 + C z1 + D,Ax0 + By0 + Cz0 + D,所以, 得點P0到平面Ax + By + Cz + D = 0的距離,4,例如: 求點A(1, 2, 1)到平面: x + 2y + 2z 10 = 0的距離,第三節(jié) 兩平面的相關位置,1、設兩個平面的方程為,1：A1x+B1y+c1z+D1=0 (1) 2：A2x+B2y+c2z+D2=0 (2,定理1：兩個平面（1）與（2,相交A1:B1:C1A2:B2:C2,平行,重合,1）定義,

11、通常取銳角,兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角,2、兩平面的夾角,2）、兩個平面的交角公式,設兩個平面1，2間的二面角用(1,2)表示，而兩 平面的法向量n1,n2的夾角記為=(n1,n2），顯然有,1,2)=或,因此,3、兩平面垂直的充要條件,兩平面(1)(2)垂直的充要條件為,A1A2+B1B2+C1C2=0,例5: 一平面通過兩點M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程,解: 設所求平面的一個法向量 n =A, B, C,已知平面 x+y+z = 0的法向量 n1=1, 1, 1,于是,A (1) + B 0 + C (2) =

12、 0 A 1 + B 1 + C 1 = 0,解得,B=C A= 2C,取C = 1, 得平面的一個法向量,n = 2, 1, 1,所以, 所求平面方程是,2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0,即: 2x y z = 0,例6 研究以下各組里兩平面的位置關系,解,兩平面相交，夾角,兩平面平行,兩平面平行但不重合,兩平面平行,兩平面重合,練 習 題,練習題答案,已知直線l通過定點M0(x0,y0),且與非零矢量 v =X,Y共線，求直線l的方程,t為隨M而定的實數,又因為,所以,r-r0=tv,2）矢量式參數方程為,故得l的,第四節(jié) 空間直線及其方程,注1：參數t的幾何

13、意義,當v是單位矢量時，|t|為點M與M0之間距離,注2：直線的方向矢量,與直線l共線的非零矢量 v 稱為直線l的方向矢量,3）：直線的對稱式方程,由直線的參數方程（2）中消去參數t可得,對稱式方程,定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般方程,一、空間直線的一般方程,1、方位向量的定義,如果一非零向量s =m, n, p,平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方位向量,二、空間直線的對稱式方程,而s 的坐標m, n, p稱為直線L的一組方向數,2. 直線的對稱式方程,已知直線L過M0(x0, y0, z0)點,方位向量 s =m, n, p,所以得比例式,2,稱為空間直線的對稱式

14、方程或點向式方程,三、 空間直線的參數式方程,得,稱為空間直線的參數方程,3,令,方位向量的余弦稱為直線的方向余弦,例1: 寫出直線,x + y + z +1 = 0 2x y + 3z + 4 = 0,的對稱式方程,解: (1) 先找出直線上的一點M0(x0, y0, z0,令z0 = 0, 代入方程組, 得,x + y +1 = 0 2x y + 4 = 0,解得,所以, 點 在直線上,2) 再找直線的方位向量 s,由于平面1: x + y + z +1 = 0的法線向量n1=1, 1, 1,平面2: 2x y+3z+4 = 0的法線向量n2=2,1, 3,所以, 可取,4i j 3k,于

15、是, 得直線的對稱式方程,例2: 求通過點A(2, 3, 4)與B(4, 1, 3)的直線方程,解: 直線的方位向量可取 AB = 2, 2, 1,所以, 直線的對稱式方程為,第五節(jié) 直線與平面的相關位置,設直線和平面的方程分別為,一、直線與平面的位置關系的充要條件,定理1 直線(1)與平面(2)的相互位置關系有下列的 充要條件,1o 相交,AX+BY+CZ0,2o 平行,3o 重合,證：將直線方程改與為參數式,將（3）代入（2）并整理得,AX+BY+CZ)t= -(Ax0+By0+Cz0+D) （4,因此，當且僅當AX+BY+CZ0時，（4）有唯一解,這時直線與平面有唯一公共點,當且僅當AX

16、+BY+CZ=0,Ax0+By0+Cz0+D0時,方程（4）無解,這時直線與平面有沒有公共點,當且僅當AX+BY+CZ=0,Ax0+By0+Cz0+D=0時,方程（4）有無數個解，這時直線在平面內,定義,直線和它在平面上的投影直線的夾角 稱為直線與平面的夾角,二、直線與平面的夾角,1）直線與平面的夾角公式,2）直線與平面的位置關系,s / n,s n,例1: 判定下列各組直線與平面的關系,解: L的方位向量 s =2, 7, 3,的法向量 n =4, 2, 2,s n = (2) 4 + (7) (2) + 3 (2) = 0,又M0(3, 4, 0)在直線L上, 但不滿足平面方程,所以L與

17、平行, 但不重合,解: L的方位向量 s =3, 2, 7,的法向量 n =6, 4, 14,L 與 垂直,解: L的方位向量 s =3, 1, 4,的法向量 n =1, 1, 1,s n = 3 1 + 1 1 + (4) 1 = 0,又L上的點 M0(2, 2, 3)滿足平面方程,所以 , L 與 重合,解,為所求夾角,第六節(jié) 空間兩直線的位置關系,一、空間兩直線的位置關系,1、位置關系,共面,異面,相交,平行,重合,2、相關位置的判定,設兩直線L1, L2的方程為,s1 =m1, n1, p1,s2 =m2, n2, p2,定理1,判定空間兩直線L1，L2的相關位置的充要條件,1）異面,

18、2）共面,0,相交,m1:n1:p1m2:n2:p2,平行,m1:n1:p1=m2:n2:p2(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1,重合,m1:n1:p1=m2:n2:p2=(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1,二、兩直線的夾角,定義: 兩直線的方位向量間的夾角稱為兩直線的夾角, 常指銳角,已知直線L1, L2的方程,s1 =m1, n1, p1,s2 =m2, n2, p2,1. L1與 L2的夾角的余弦為,2. L1垂直于 L2 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0,3. L1平行于 L2,解: 直線L1, L2的方位向量 s1=1, 4, 1 s2=2, 2

19、, 1,有,所以,解,設所求直線的方位向量為,根據題意知,取,所求直線的方程,解,先作一過點M且與已知直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點N,令,代入平面方程得,交點,取所求直線的方位向量為,所求直線方程為,三、兩異面直線間的距離與公垂線的方程,1、兩異面直線間的距離,設兩異面直線L1，L2與其公垂線L0的交點為N1，N2,則L1與L2之間的距離,所以兩異面直線L1，L2的距離為,2、兩直線的公垂線方程,公垂線可看為由過L1上的點M1，以v1,v1v2為方位 向量的平面與過L2上的點M2，以v2,v1v2為方位向量 的平面的交線，因此，公垂線的方程為,其中X，Y，Z為v1v2 的分量,例

20、1 求通過點P(1,1,1)且與兩直線,都相交的直線的方程,解,設所求直線的方向矢為v=X,Y,Z,則直線為,因為L與L1，L2都相交，且L1過點M1(0,0,0),方向矢 為v1=1,2,3,L2過點M2(1,2,3)，方向矢為v2=2,1,4,故,即 X-2Y+Z=0 X+2Y-Z=0,解得 X:Y:Z=0:1:2,故所求直線的方程為,例2 已知兩直線,試證明它們?yōu)楫惷嬷本€，并求其距離和公垂線的方程,解,所以L1與L2為異面直線,又v1v2=0,0,2,所以,公垂線的方程為,即,第八節(jié) 平面束,一、平面束,1、有軸平面束,空間通過同一條直線的所有平面的集合稱為有軸 平面束，該直線稱為平面束的軸,2、平行平面束,空間平行于同一平面的平面的集合稱為平