數(shù)學(xué)建模：模型---非線性模型求解

1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),非線性規(guī)劃,實(shí)驗(yàn)?zāi)康?實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,2 掌握用數(shù)學(xué)軟件求解優(yōu)化問(wèn)題,1 直觀了解非線性規(guī)劃的基本內(nèi)容,1非線性規(guī)劃的基本理論,4實(shí)驗(yàn)作業(yè),2 用數(shù)學(xué)軟件求解非線性規(guī)劃,3 鋼管訂購(gòu)及運(yùn)輸優(yōu)化模型,非線性規(guī)劃的基本解法,非線性規(guī)劃的基本概念,非線性規(guī)劃,返回,定義 如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個(gè)是非線性函數(shù),則最優(yōu)化問(wèn)題就叫做非線性規(guī)劃問(wèn)題,非現(xiàn)性規(guī)劃的基本概念,一般形式: （1） 其中 ， 是定義在 Rn 上的實(shí)值函數(shù)，簡(jiǎn)記,其它情況: 求目標(biāo)函數(shù)的最大值，或約束條件小于等于零兩種情況，都可通過(guò)取其相反數(shù)化為上述一般形式,定義1 把滿足問(wèn)題（1）中條件的解 稱為可行解（或可

2、行點(diǎn)），所有可行點(diǎn)的集合稱為可行集（或可行域）記為D即 問(wèn)題(1)可簡(jiǎn)記為,定義2 對(duì)于問(wèn)題(1),設(shè) ,若存在 ,使得對(duì)一切 ,且 ,都有 ,則稱X*是f(X)在D上的局部極小值點(diǎn)（局部最優(yōu)解）特別地,當(dāng) 時(shí)，若 ,則稱X*是f(X)在D上的嚴(yán)格局部極小值點(diǎn)（嚴(yán)格局部最優(yōu)解,定義3 對(duì)于問(wèn)題(1),設(shè) ,若對(duì)任意的 ,都有 則稱X*是f(X)在D上的全局極小值點(diǎn)（全局最優(yōu)解）特別地,當(dāng) 時(shí)，若 ,則稱X*是f(X)在D上的嚴(yán)格全局極小值點(diǎn)（嚴(yán)格全局最優(yōu)解,返回,非線性規(guī)劃的基本解法,SUTM外點(diǎn)法,SUTM內(nèi)點(diǎn)法（障礙罰函數(shù)法,1 罰函數(shù)法,2 近似規(guī)劃法,返回,罰函數(shù)法,罰函數(shù)法基本思想是

3、通過(guò)構(gòu)造罰函數(shù)把約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題，進(jìn)而用無(wú)約束最優(yōu)化方法去求解這類方法稱為序列無(wú)約束最小化方法簡(jiǎn)稱為SUMT法 其一為SUMT外點(diǎn)法，其二為SUMT內(nèi)點(diǎn)法,其中T(X,M)稱為罰函數(shù)，M稱為罰因子，帶M的項(xiàng)稱為罰項(xiàng)，這里的罰函數(shù)只對(duì)不滿足約束條件的點(diǎn)實(shí)行懲罰:當(dāng) 時(shí)，滿足各 ，故罰項(xiàng)為0，不受懲罰當(dāng) 時(shí),必有約束條件 ，故罰項(xiàng)大于0，要受懲罰,SUTM外點(diǎn)法,罰函數(shù)法的缺點(diǎn)：每個(gè)近似最優(yōu)解Xk往往不是容許解，而只能近似滿足約束，在實(shí)際問(wèn)題中這種結(jié)果可能不能使用；在解一系列無(wú)約束問(wèn)題中，計(jì)算量太大，特別是隨著Mk的增大，可能導(dǎo)致錯(cuò)誤,1任意給定初始點(diǎn) X0，取M11，給定允許

4、誤差 ，令k=1； 2求無(wú)約束極值問(wèn)題 的最優(yōu)解，設(shè)Xk=X(Mk)，即 ； 3若存在 ，使 ,則取MkM( ),令k=k+1返回（2），否則，停止迭代得最優(yōu)解 計(jì)算時(shí)也可將收斂性判別準(zhǔn)則 改為,SUTM外點(diǎn)法(罰函數(shù)法)的迭代步驟,SUTM內(nèi)點(diǎn)法（障礙函數(shù)法,內(nèi)點(diǎn)法的迭代步驟,近似規(guī)劃法的基本思想：將問(wèn)題(3)中的目標(biāo)函數(shù) 和約束條件 近似為線性函數(shù)，并對(duì)變量的取值范圍加以限制，從而得到一個(gè)近似線性規(guī)劃問(wèn)題，再用單純形法求解之，把其符合原始條件的最優(yōu)解作為(3)的解的近似,近似規(guī)劃法,每得到一個(gè)近似解，都從這點(diǎn)出發(fā)，重復(fù)以上步驟,這樣，通過(guò)求解一系列線性規(guī)劃問(wèn)題，產(chǎn)生一個(gè)由線性規(guī)劃最優(yōu)解組成

5、的序列，經(jīng)驗(yàn)表明，這樣的序列往往收斂于非線性規(guī)劃問(wèn)題的解,近似規(guī)劃法的算法步驟如下,返回,用MATLAB軟件求解,其輸入格式如下: 1x=quadprog(H,C,A,b); 2x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); 3x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); 4x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); 5x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options); 6x,fval=quaprog(); 7x,fval,exitflag=quaprog(); 8x,fv

6、al,exitflag,output=quaprog(,1二次規(guī)劃,例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x22 -x1+2x22 x10, x20,MATLAB（youh1,1寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式,2輸入命令： H=1 -1; -1 2; c=-2 ;-6;A=1 1; -1 2;b=2;2; Aeq=;beq=; VLB=0;0;VUB=; x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,3運(yùn)算結(jié)果為： x =06667 13333 z = -82222,s.t,1 首先建立M文件fun.m,用來(lái)定義目標(biāo)函數(shù)F（X

7、）: function f=fun(X); f=F(X,2一般非線性規(guī)劃,其中X為n維變?cè)蛄?，G(X)與Ceq(X)均為非線性函數(shù)組成的向量，其他變量的含義與線性規(guī)劃、二次規(guī)劃中相同用MATLAB求解上述問(wèn)題，基本步驟分三步,3 建立主程序.求解非線性規(guī)劃的函數(shù)是fmincon,命令的基本格式如下： (1) x=fmincon(fun,X0,A,b) (2) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(fun,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonl

8、con) (5)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon,options) (6) x,fval= fmincon() (7) x,fval,exitflag= fmincon() (8)x,fval,exitflag,output= fmincon(,輸出極值點(diǎn),M文件,迭代的初值,參數(shù)說(shuō)明,變量上下限,注意： 1 fmincon函數(shù)提供了大型優(yōu)化算法和中型優(yōu)化算法默認(rèn)時(shí): 若在fun函數(shù)中提供了梯度（options參數(shù)的GradObj設(shè)置為on），并且只有上下界存在或只有等式約束，fmincon函數(shù)將選擇大型算法當(dāng)既有等式約束又有梯度約束時(shí)，

9、使用中型算法 2 fmincon函數(shù)的中型算法使用的是序列二次規(guī)劃法在每一步迭代中求解二次規(guī)劃子問(wèn)題，并用BFGS法更新拉格朗日Hesse矩陣 3 fmincon函數(shù)可能會(huì)給出局部最優(yōu)解，這與初值X0的選取有關(guān),1寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式： s.t,2x1+3x2 6 s.t. x1+4x2 5 x1,x2 0,例2,2先建立M-文件 fun3m: function f=fun3(x); f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)2,MATLAB(youh2,3再建立主程序youh2m： x0=1;1; A=2 3 ;1 4; b=6;5; Aeq=;beq=; VLB=0

10、;0; VUB=; x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,4運(yùn)算結(jié)果為： x = 07647 10588 fval = -20294,1先建立M文件fun4m定義目標(biāo)函數(shù): function f=fun4(x); f=exp(x(1) *(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1,x1+x2=0 s.t. 1.5+x1x2 - x1 - x2 0 -x1x2 10 0,例3,2再建立M文件myconm定義非線性約束： function g,ceq=mycon(x) g=x(1)+x(2);15+x(1)*x(2)-

11、x(1)-x(2); -x(1)*x(2)-10,3主程序youh3m為: x0=-1;1; A=;b=; Aeq=1 1;beq=0; vlb=;vub=; x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b,Aeq,beq,vlb, vub,mycon,MATLAB(youh3,4 運(yùn)算結(jié)果為： x = -12250 12250 fval = 18951,例4,1先建立M文件funm定義目標(biāo)函數(shù): function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2,2再建立M文件mycon2m定義非線性約束： function g,ceq=mycon2(x) g=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7,3 主程序fxxm為: x0=3;25; VLB=0 0;VUB=5 10; x,fval,exitflag,output =fmincon(fun,x0, VLB,V