廣東省華附、省實、深中、廣雅2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期四校聯(lián)考試題 理（含解析）

1、 整理于網(wǎng)絡(luò) 可修改廣東省華附、省實、深中、廣雅2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期四校聯(lián)考試題 理（含解析）一、選擇題1.集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】首先求出集合M、N中的元素，由集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】，可表示全體整數(shù)，表示全體奇數(shù)，故選：B【點睛】本題考查了集合與集合之間關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定集合中的元素，屬于基礎(chǔ)題.2.原命題為“若互為共軛復(fù)數(shù)，則”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ）A. 真，假，真B. 假，假，真C. 真，真，假D. 假，假，假【答案】B【解析】試題分析：設(shè)復(fù)數(shù)，則，所以，故原命題為真；逆命題：若，則互為

2、共軛復(fù)數(shù)；如，且，但此時不互為共軛復(fù)，故逆命題為假；否命題：若不互為共軛復(fù)數(shù)，則；如，此時不互為共軛復(fù)，但，故否命題為假；原命題和逆否命題的真假相同，所以逆否命題為真；故選B.考點：命題以及命題的真假.3.已知平面向量,是非零向量,|=2,(+2),則向量在向量方向上的投影為()A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)向量垂直得到(+2),=0，化簡得到=2，再根據(jù)投影的定義即可求出【詳解】平面向量,是非零向量,|=2,(+2),(+2),=0，即 即=2向量在向量方向上的投影為=1，故選B【點睛】本題主要考查向量投影的定義及求解的方法，公式與定義兩者要靈活運用解答

3、關(guān)鍵在于要求熟練應(yīng)用公式4.平面平面的一個充分條件是（ ）A. 存在一條直線，B. 存在一條直線，C. 存在兩條平行直線，D. 存在兩條異面直線，【答案】D【解析】試題分析：對于A，一條直線與兩個平面都平行，兩個平面不一定平行故A不對；對于B，一個平面中的一條直線平行于另一個平面，兩個平面不一定平行，故B不對；對于C，兩個平面中的兩條直線平行，不能保證兩個平面平行，故C不對；對于D，兩個平面中的兩條互相異面的直線分別平行于另一個平面，可以保證兩個平面平行，故D正確考點：空間線面平行的判定與性質(zhì)5.函數(shù)零點個數(shù)是 （ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【詳解】令=0，可得，在同

4、一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出y=的圖象，由圖可得交點個數(shù)為3，所以函數(shù)零點的個數(shù)是3，故選C6.已知函數(shù)（，為常數(shù)，）在處取得最大值，則函數(shù)是（ ）A. 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點對稱B. 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點對稱C. 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于對稱D. 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于對稱【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)已知可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)得到，再化簡函數(shù)，從而求解問題.【詳解】，在處取得最大值，則，奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點對稱.故選：A【點睛】本題考查了輔助角公式以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)的圖象連續(xù)且在上單調(diào)，又函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，若數(shù)列是公差不為

5、0的等差數(shù)列，且，則的前2019項之和為（ ）A. 0B. 2019C. 4038D. 4040【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，平移可得的圖像關(guān)于對稱，由題意可得，利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，計算即可得到所求的和.【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且函數(shù)的圖象連續(xù)且在上單調(diào)，可得的圖像關(guān)于對稱，由數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，可得，又是等差數(shù)列，可得，所以的前2019項之和為 故選：C【點睛】本題考查了函數(shù)的平移變換、等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項和，需熟記公式與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8.函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間為（ ）A. 和B. 和C. 和D. 【答案】B【解析】【分析】利用二

6、倍角公式將函數(shù)化，進(jìn)而可得，根據(jù)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】，令 ，由，則 所以，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減；故選：B【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，需熟記正弦三角函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”的特征，此題屬于中檔題.9.函數(shù)f(x)的值域為()A. ,B. ,0C. 0,1D. 0,【答案】C【解析】令，則的幾何意義是單位圓(在軸及其上方)上的動點與點連線的斜率，由圖象，得，即函數(shù)的值域為0,1

7、，故選C.點睛：本題考查利用三角代換、直線的斜率公式求函數(shù)的值域，解決本題的關(guān)鍵有兩個，一是利用的形式和平方關(guān)系聯(lián)想到三角代換，二是由的形式聯(lián)想到過兩點的直線的斜率公式，充分體現(xiàn)了代數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何間的有機(jī)結(jié)合.10.已知圓，點，內(nèi)接于圓，且，當(dāng)，在圓上運動時，中點的軌跡方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】將圓周角為定值轉(zhuǎn)化為圓心角為定值，結(jié)合圓心距構(gòu)成的直角三角形得，從而得中點的軌跡方程.【詳解】設(shè)中點為，圓心角等于圓周角的一半，在直角三角形中，由，故中點的軌跡方程是：，如圖，由的極限位置可得，.故選：D【點睛】本題考查了動點的軌跡方程問題，考查了數(shù)形結(jié)合的思

8、想，屬于基礎(chǔ)題.11.是雙曲線的右焦點，過點向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點，若，則的離心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：由題意得，因此，選A.考點：雙曲線離心率【名師點睛】求雙曲線的離心率（取值范圍）的策略求雙曲線離心率是一個熱點問題若求離心率的值，需根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的方程求解，若求離心率的取值范圍，需轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的不等式求解，正確把握c2a2b2的應(yīng)用及e1是求解的關(guān)鍵12. 若正四面體SABC的面ABC內(nèi)有一動點P到平面SAB、平面SBC、平面SCA的距離依次成等差數(shù)列，則點P在平面ABC內(nèi)的軌跡是A. 一條線段B. 一個

9、點C. 一段圓弧D. 拋物線的一段【答案】A【解析】試題分析：設(shè)點到三個面的距離分別是.因為正三棱錐的體積為定值，所以為定值，因為.成等差數(shù)列，所以.為定值，所以點的軌跡是平行的線段考點：等差數(shù)列的性質(zhì)；拋物線的定義點評：本題以等差數(shù)列為載體，考查正三棱錐中的軌跡問題，關(guān)鍵是分析得出P到側(cè)面SBC的距離為定值二、填空題13.在區(qū)間上分別任取兩個數(shù)，若向量，則滿足的概率是_ .【答案】【解析】【分析】由已知向量的坐標(biāo)求出滿足的所滿足的條件，結(jié)合，數(shù)形結(jié)合得出答案.【詳解】由，得 由，得，即，滿足，作出圖像如圖：圓的面積為，正方形的面積為.則的概率是 .故答案為：【點睛】本題考查了幾何概型的概率求

10、法，解題的關(guān)鍵是變量滿足的條件，屬于基礎(chǔ)題.14.已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則_.【答案】【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式得到，在中取即可得出答案.【詳解】數(shù)列、為等差數(shù)列，且前項和分別為和，則，且，又，所以.故答案為： 【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.15.已知隨機(jī)變量，若，則_【答案】【解析】隨機(jī)變量服從，解得：.又，故答案為0.116.在銳角中，角，所對的邊分別為，當(dāng)取最大值時，角的值為_.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理以及二倍角公式將化為，再由兩角和與差的公式將式子化為，由此可得，代入的展開式

11、，利用基本不等式即可求解.【詳解】由，即， ，由三角形為銳角三角形，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取等號 故答案為：【點睛】本題考查了正弦定理邊化角、兩角和與差的公式、二倍角公式以及基本不等式，需熟記公式，綜合性比較強(qiáng)，屬于中檔題.三、解答題17.已知數(shù)列滿足：，.（）求數(shù)列的通項公式；（）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）由可化為，令，推出，根據(jù)的特征即可求出.（）根據(jù)題意可得，與原式作差再由（）即可求解.【詳解】（）由可化為.令，則，即.因為，所以，所以，即，故.（）由，可知，兩式作差得，即.又當(dāng)時，也滿足上式，故.【點睛】本題考查了由遞推關(guān)系式求通項公式以及與的

12、關(guān)系，屬于中檔題.18.某鮮花店根據(jù)以往某品種鮮花的銷售記錄，繪制出日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示將日銷售量落入各組區(qū)間的頻率視為概率，且假設(shè)每天的銷售量相互獨立（1）求在未來的連續(xù)4天中，有2天的日銷售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；（2）用表示在未來4天里日銷售量不低于100枝的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1）;（2）見解析.【解析】試題分析：根據(jù)頻率分布直方圖求頻率要注意小條形的面積代表頻率，有2天日銷售量低于100枝，另外2天不低于150枝為事件的概率，可根據(jù)4天中有2天發(fā)生的概率公式計算，根據(jù)二項分布列出頻率分布列，計算數(shù)學(xué)期望.試題解析：（1）設(shè)日

13、銷量為，有2天日銷售量低于100枝，另外2天不低于150枝為事件則，（2）日銷售量不低于100枝的概率，則，于是，則分布列為01234【點睛】頻率分布直方圖、莖葉圖、線性回歸、獨立性檢驗是高考需要掌握的統(tǒng)計知識，概率分布問題注意一些常用的概率分布，如二項分布，超幾何分布等，會計算概率，正確列出分布列，正確計算數(shù)學(xué)期望及方差.19.如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，直線平面，分別是，的中點.（）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明；（）設(shè)，求二面角大小的取值范圍.【答案】（）平面，證明見解析；（）【解析】【分析】（）證出平面，由線面平行的性質(zhì)定理可證出，再由線面平行的

14、判定定理即可求解.（）法一：證出是二面角的平面角，根據(jù)的范圍即可求解. 法二：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量與平面的法向量，利用向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】（）證明如下：，平面，平面，平面.又平面，平面與平面的交線為，.而平面，平面，平面.（）解法一：設(shè)直線與圓的另一個交點為，連結(jié)，.由（）知，而，.平面，.而，平面，又平面，是二面角的平面角.注意到，.，即二面角的取值范圍是.解法二：由題意，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.設(shè)平面的法向量為，則由得，取得.易知平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，易知為銳角，即二面角的取值范圍是.【點睛】本題考查了線面平行的

15、性質(zhì)定理、判定定理以及求面面角、空間向量法求面面角，考查了學(xué)生的空間想象能力以及推理能力，屬于中檔題.20.已知橢圓：的離心率為，過左焦點的直線與橢圓交于，兩點，且線段的中點為.（）求橢圓的方程；（）設(shè)為上一個動點，過點與橢圓只有一個公共點的直線為，過點與垂直的直線為，求證：與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程.【答案】（）；（）證明見解析，【解析】【分析】（）設(shè)，根據(jù)點，都在橢圓上，代入橢圓方程兩式相減，根據(jù)“設(shè)而不求”的思想，結(jié)合離心率以及中點坐標(biāo)公式、直線的斜率建立等式即可求解.（）設(shè)，由對稱性，設(shè)，由，得橢圓上半部分的方程為，從而求出直線的方程，再由過點與垂直的直線為，求出，兩方程

16、聯(lián)立，消去，即可求解.【詳解】（）由題可知，直線的斜率存在.設(shè)，由于點，都在橢圓上，所以，-，化簡得又因為離心率為，所以.又因為直線過焦點，線段的中點為，所以，代入式，得，解得.再結(jié)合，解得，故所求橢圓的方程為.（）證明：設(shè)，由對稱性，設(shè)，由，得橢圓上半部分的方程為，又過點且與橢圓只有一個公共點，所以，所以：，因為過點且與垂直，所以：，聯(lián)立，消去，得，又，所以，從而可得，所以與的交點在定直線上.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了圓錐曲線中“設(shè)而不求”的思想，考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)，.（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)時，都有成立，求的取值范圍；（

17、）試問過點可作多少條直線與曲線相切？并說明理由.【答案】（）見解析；（）；（）見解析，理由見解析【解析】【分析】（）首先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分類討論的取值范圍；當(dāng)時，當(dāng)時，分析的正負(fù)即可求解. （）由（）中的導(dǎo)函數(shù)討論是否在區(qū)間內(nèi)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，使即可解不等式即可. （）法一：設(shè)切點為，求出切線方程，從而可得，令，討論的取值范圍，分析函數(shù)的的單調(diào)性以及在上的零點即可求解； 法二：設(shè)切點為，求出切線方程，從而可得，分離參數(shù)可得，令，討論的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，根據(jù)值域確定的范圍即可求解.【詳解】（）函數(shù)的定義域為，.（1）當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)

18、時，令，得.當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù).綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（）由（）可知，（1）當(dāng)時，即時，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以在區(qū)間上，顯然函數(shù)在區(qū)間上恒大于零；（2）當(dāng)時，即時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以.依題意有，解得，所以.（3）當(dāng)時，即時，在區(qū)間上為減函數(shù)，所以.依題意有，解得，所以.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上恒大于零.另解：當(dāng)時，顯然恒成立.當(dāng)時，恒成立恒成立的最大值.令，則，易知在上單調(diào)遞增，所以最大值為，此時應(yīng)有.綜上，的取值范圍是.（）設(shè)切點為，則切線斜率，切線方程為.因為切線過點，則.即.令，則.（1）當(dāng)時，在區(qū)間上，單調(diào)遞增；在區(qū)間上，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為.故方程無解，即不存在滿足式.因此當(dāng)時，切線的條數(shù)為0.（2）當(dāng)時，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為.取，則.故在上存在唯一零點.取，則.設(shè)，則.當(dāng)時，恒成立.所以在單調(diào)遞增，恒成立.所以.故在上存在唯一零點.因此當(dāng)時，過點存在兩條切線.（3）當(dāng)時，顯然不存在過點的切線.綜上所述，當(dāng)時，過點存在兩條切線；當(dāng)時，不存在過點的切線.另解：設(shè)切點為，則切線斜率，切線方程為.因為切線過點，則，即.當(dāng)時，無解