浙江省寧波市2020屆高三數(shù)學上學期期末考試試題含解析

1、浙江省寧波市2020屆高三數(shù)學上學期期末考試試題（含解析）一、選擇題1.已知集合，那么（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定義可求出集合.【詳解】，因此，故選c.【點睛】本題考查交集的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.雙曲線的漸近線方程是 ( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】由雙曲線標準方程可知，且焦點在x軸上，所以雙曲線的漸近線方程為，故選a.3.已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，則“”是“”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】c【解析】【分析】利用等差數(shù)列的定義以及前項和公式

2、，結(jié)合充要條件的定義即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，即，所以“”是“”的充分條件，由，所以，所以“”是“”的必要條件，綜上，“”是“”的充要條件.故選：c.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由三視圖可得幾何體是三棱柱挖去一個三棱錐，用三棱柱體積減去三棱錐體積即為該幾何體的體積.【詳解】由已知三視圖得到幾何體是三棱柱挖去一個三棱錐，所以幾何體的體積為.故選：d.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)

3、的圖象大致是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)，且，即可得到結(jié)論.【詳解】由于是奇函數(shù)，故排除a，b；又，則，即函數(shù)有唯一零點，再排除選c.故選：d.【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，判斷函數(shù)的奇偶性，利用排除法是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6.已知隨機變量的分布列是123若，則的值是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)得，再由，解得，進而求得的值.【詳解】由，得.由，得，聯(lián)立，得，.所以.故選：a.【點睛】本題考查了離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)，期望與方差，屬于基礎(chǔ)題.7.已知關(guān)于x的二項式( + )n展開式的

4、二項式系數(shù)之和為32，常數(shù)項為80，則a的值為()a. 1b. 1c. 2d. 2【答案】c【解析】由題意知2n32，n5，tr1()5rarar，令，得，a380，解得a2.故選c.8.已知，為橢圓：的左右焦點，在橢圓上存在點，滿足且到直線的距離等于，則橢圓的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】過做直線的垂線，交于點，根據(jù)題意以及橢圓的定義，利用等腰三角形三線合一，得關(guān)于，的方程，進而可求得離心率的值.【詳解】由已知得，根據(jù)橢圓的定義可得，又到直線的距離等于，即，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得：，可列方程：，故選：b.【點睛】本題考查橢圓的方程及其簡單幾何性質(zhì)，考

5、查等腰三角形性質(zhì)及勾股定理的應用，橢圓的離心率的取值，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.9.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)取值范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性討論的范圍即可得到答案.【詳解】由，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不滿足條件；當時，顯然不滿足條件；當時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且恰有兩個零點，則或或，解得或.故選：b.【點睛】本題考查了利用函數(shù)有零點求參數(shù)的范圍，分段函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題.10.已知平面四邊形中，現(xiàn)將沿對角線翻折得到三棱錐，在此過程中，二面角、的大小分別為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（

6、）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用定量分析結(jié)合最大角原理即可得到結(jié)論.【詳解】如圖，因為，所以點在上的投影點靠近點，由翻折的性質(zhì)，知點在底面的投影點在所在的直線上，如圖設(shè)為點，則，由最大角原理知：，當且僅當與重合時，取到等號；而，如圖易得，所以，即；又，由圖易得，所以；綜上可得：.故選：b.【點睛】本題考查二面角，線面角，利用平面四邊形中，構(gòu)造圓面解決問題是關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題11.若復數(shù)，（為虛數(shù)單位），則_；若為純虛數(shù)，則的值為_.【答案】 (1). (2). 1【解析】【分析】利用復數(shù)的模，復數(shù)的乘除運算化簡，在令實部為0，即可得到答案.【詳解】；若為純虛數(shù)

7、，則.故答案為：；1.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題12.中國古代數(shù)學專著九章算術(shù)有問題：“五只雀，六只燕，共重一斤（等于16兩），雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重”，則雀重_兩，燕重_兩.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】分別設(shè)出雀與燕的重量，互換一只后，列出方程，解得即可.【詳解】設(shè)雀重兩，燕重兩，由題意得：互換后有，解得：，故答案為：；.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解，屬于基礎(chǔ)題.13.已知實數(shù)、滿足，且可行域表示的區(qū)域為三角形，則實數(shù)的取

8、值范圍為_，若目標函數(shù)的最小值為-1，則實數(shù)等于_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合目標函數(shù)的最小值，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出可行域如圖，則要為三角形需滿足在直線下方，即，；目標函數(shù)可視為，則為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù)，該直線截距最大在過點時，此時，直線：，與：的交點為，該點也在直線：上，故，故答案為：；.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法，屬于基礎(chǔ)題.14.在中，三個內(nèi)角、所對的邊分別為、，已知，則_；又，則_.【答案】 (1). (

9、2). 【解析】【分析】利用正弦定理或余弦定理將邊化為角或角化為邊，在結(jié)合三角形的面積公式，整理化簡即可得到結(jié)論.【詳解】解析1：（邊化角），；，又（可消元求出邊、），.解析2：（任意三角形射影定理）下同.故答案為：，.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎(chǔ)題.15.已知，均為正實數(shù)，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式即可得到結(jié)論.【詳解】，當且僅當，時取等號.故答案為：.【點睛】本題考查了基本不等式的應用，構(gòu)造基本不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16.從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)中隨機取出5個數(shù)排成一排，依次記為，則使為奇數(shù)的不同排列方法有_

10、種.【答案】180【解析】【分析】分類討論，先選后排，最后相加即可.【詳解】若為奇數(shù)為偶數(shù)時，有種；若為偶數(shù)為奇數(shù)時，有種；共180種.故答案為：180.【點睛】本題考查計數(shù)原理，對于復雜一點的計數(shù)問題，有時分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個原理解決，即類中有步，步中有類，屬于基礎(chǔ)題17.已知，若存在實數(shù)及單位向量，使得不等式成立，則實數(shù)的最大值為_.【答案】【解析】【分析】利用三點共線，將不等式轉(zhuǎn)化為求最值的距離問題，或利用絕對值不等式，解得即可.【詳解】解析：原題等價于解析1：幾何法（三點共線+將軍飲馬）如圖，（為單位圓上的，為上一點，為中點），由將軍飲

11、馬模型，作關(guān)于對稱點，則，所以，.解析2：代數(shù)法（建系坐標運算+將軍飲馬）設(shè)，則，由將軍飲馬可得，所以.解析3：絕對值不等式+將軍飲馬因為，所以，由解析2可得.解析4：絕對值不等式，+對稱轉(zhuǎn)化因為，則，則，因為，則，則，則，所以.故答案為：.【點睛】本題考查不等式成立問題，構(gòu)造不等式解不等式是關(guān)鍵，“將軍飲馬”模型的使用，對稱問題，兩點之間，線段最短，點到直線的距離，垂線段最短，屬于難題.三、解答題18.已知函數(shù)圖象上相鄰兩個最高點的距離為.（1）若的圖象過，且部分圖象如圖所示，求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)是偶函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，求函數(shù)在上的最大值與最小值.【答案】（

12、1）（2），.【解析】【分析】（1）由題意得，再由，進而可得解析式；（2）由是偶函數(shù)，得，從而，經(jīng)過平移得，再表示出，利用余弦型函數(shù)即可得最值.【詳解】解析：由題意得，所以，.（1）由于，則，又，則或（舍去），故.（2）由于是偶函數(shù)，則，又，所以，將的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，故.因為，所以，.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圖象的平移問題，余弦型函數(shù)求最值，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，且，設(shè)，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論

13、；（2）方法一：利用幾何法求線面角，一作，二證，三求解；方法二：利用空間直角坐標系，線面角的向量關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】（1）解析：因為底面為平行四邊形，是中點，所以是中點，所以，平面，平面，所以平面.（2）解析1：（幾何法）因為平面，平面平面，所以直線與平面的交點即為與的交點，設(shè)為，所以為等邊三角形，取中點，則，因為平面，所以平面平面，平面平面，所以平面，所以是直線與平面所成角，因為，分別為，的中點，所以是的重心，在中，所以，在平行四邊形中，在中，在中，所以，所以，又因為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.解析2：（向量法）取中點，則，因為平面，所以平面，因為，所以為等邊三角形，所以，此

14、時，兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系，在中，所以，由，得，所以，平面的法向量為，所以，所以，即直線與平面所成角正弦值為.【點睛】本題考查線面平行，線面角，應用幾何法求線面角，向量法求線面角，屬于基礎(chǔ)題.20.已知等差數(shù)列滿足，為等比數(shù)列的前項和，.（1）求，的通項公式；（2）設(shè)，證明：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由基本量思想的等差數(shù)列的通項公式，由與的關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）利用放縮法和數(shù)列求和即可得到不等式.【詳解】（1）由題意得，解得：，即數(shù)列的通項公式為，由，得，兩式相減整理得：，即數(shù)列的通項公式為（2）解析1：（應用放縮和錯位相減求和證明不等式）解：，兩式

15、相減整理得，又因為，.所以，.（2）解析2：（應用放縮和裂項求和證明不等式）令，化簡整理得：，所以，.【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式，考查數(shù)列求和，考查放縮法，屬于中檔題.21.已知拋物線：過點，為其焦點，過且不垂直于軸的直線交拋物線于，兩點，動點滿足的垂心為原點.（1）求拋物線的方程；（2）求證：動點在定直線上，并求的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析,的最小值為【解析】【分析】（1）直接將代入拋物線方程即可得到答案；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，表示出，運用基本不等式即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意，將點代入，即，解得，所以，拋物線的方程為.（2）解析1：（巧設(shè)直線）證明

16、：設(shè)：，聯(lián)立，可得，則有，可設(shè)：，即，同理：，解得，即動點在定直線：上.，當且僅當時取等號.其中，分別為點和點到直線的距離.（2）解析2：（利用向量以及同構(gòu)式）證明：設(shè)：，聯(lián)立，可得，則有.，又為的垂心，從而，代入化簡得：，同理：，從而可知，是方程的兩根，所以，所以動點在定直線：上.，當且僅當時取等號.其中，分別為點和點到直線距離.【點睛】本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理，考查基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題.22.已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）使不等式對任意，恒成立時最大的記為，求當時，的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）（3）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；