湖北省隨州市2019_2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

1、湖北省隨州市2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）（本卷考試時(shí)間120分鐘；在答題卡相應(yīng)處作答方才有效）第卷（選擇題）一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的）1.直線的傾斜角為（ ）a. 30b. 60c. 120d. 150【答案】c【解析】【分析】由直線的一般式方程得到直線的斜率，再由求解傾斜角.【詳解】直線的斜率，.故選：c【點(diǎn)睛】本題考查了直線的一般式方程、直線的斜率和直線的傾斜角的關(guān)系，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化，運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.2.數(shù)列2，的一個(gè)通項(xiàng)公式an等于（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】觀察數(shù)列

2、的規(guī)律即可得解.【詳解】數(shù)列2，可寫(xiě)成：，所以通項(xiàng)公式an.故選c.【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過(guò)觀察得數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.3.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（ ）a. b. c. 4d. 8【答案】c【解析】【分析】得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后得到其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，從而得到答案.【詳解】拋物線，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，屬于簡(jiǎn)單題.4.設(shè)為平面外的一條直線，的方向向量為，的法向量為，則對(duì)于下列結(jié)論，各選項(xiàng)說(shuō)法正確的為（ ）若，則；若，則；設(shè)與所成的角為，則a. 只有正確b. 只有正確c. 只有正確d

3、. 都正確【答案】d【解析】【分析】根據(jù)空間向量得到直線與直線，直線與平面間的關(guān)系，對(duì)各說(shuō)法進(jìn)行判斷，從而得到答案.【詳解】為平面外的一條直線，的方向向量為，的法向量為因?yàn)?，所以可以得到直線與平面的法向量垂直，又因?yàn)橹本€在平面外，所以得到，故正確；因?yàn)?，所以可以得到直線與平面法向量平行，從而得到，故正確；與所成的角為，所以直線與法向量所成的角為，根據(jù)向量夾角公式，直線與法向量所成的角的余弦值為所以得到，故正確；故選：d.【點(diǎn)睛】根據(jù)空間向量判斷線線關(guān)系和線面關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.5.已知雙曲線c：（，）的離心率為，則c的漸近線方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由雙曲線的

4、離心率，得到，關(guān)系，從而得到，關(guān)系，從而得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】雙曲線的離心率為，所以，所以，解得，所以雙曲線的漸近線為.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線的離心率求漸近線，屬于簡(jiǎn)單題.6.已知數(shù)列中，則等于（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項(xiàng)公式，從而得到.【詳解】因?yàn)?，所以，所以得到，因?yàn)?，所以得到，所?故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)，屬于簡(jiǎn)單題.7.若，則方程所表示的曲線一定不會(huì)是（ ）a. 直線b. 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓c. 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓d. 雙曲線【答案】b【解析】【分析】根據(jù)取不同的值，得到不同的方

5、程，從而對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，得到答案.【詳解】方程當(dāng)，即，方程變?yōu)榧椿?，表示直線，故a選項(xiàng)正確；方程，變形為要表示為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，從而得到，所以不成立，故b選項(xiàng)錯(cuò)誤；方程，變形為要表示為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，得到，可以成立，故c選項(xiàng)正確；方程，變形為要表示為雙曲線，則，得到，可以成立，故d選項(xiàng)正確.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查直線、橢圓、雙曲線的表示，屬于簡(jiǎn)單題.8.如圖，空間四邊形中，且，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)，再由，得到，求解.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，所?故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.9.古

6、希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k（，）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓若平面內(nèi)兩定點(diǎn)a、b間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)p滿足，則的最大值為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)，得到點(diǎn)軌跡方程，再表示出，利用圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離得到答案.【詳解】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，則，設(shè)，所以由，可得，整理得，其中看作是圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，所以其最大值為，所以的最大值為，故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查求圓的軌跡方程，圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，屬于中檔題.10.有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，190和2，8，14，200，由這兩個(gè)

7、等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（ ）a. 15b. 16c. 17d. 18【答案】b【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)等差數(shù)列的公差，得到公共項(xiàng)的公差，從而得到新數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)新數(shù)列中的項(xiàng)小于等于，從而得到的范圍，得到答案.【詳解】等差數(shù)列2，6，10，190，公差為，等差數(shù)列2，8，14，200，公差為，所以由兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，其公差為，首項(xiàng)為，所以通項(xiàng)為，所以，解得，而，所以最大值為，即新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查求兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列，屬于中檔題.11.橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)、，它們的交點(diǎn)對(duì)兩公共焦點(diǎn)

8、、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，并設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義以及余弦定理可得出、關(guān)于的等式，從而可得出、的關(guān)系式.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，并設(shè)，焦距為，在中，由余弦定理得，由橢圓和雙曲線的定義得，解得.代入，得，即，即，因此，.故選b.【點(diǎn)睛】本題考查共焦點(diǎn)和共交點(diǎn)的橢圓和雙曲線的綜合問(wèn)題，要充分結(jié)合橢圓、雙曲線的定義以及余弦定理列等式求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.12.棋盤(pán)上標(biāo)有第0、1、2100站，棋子開(kāi)始位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲

9、出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站或第100站時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)棋子位于第n站的概率為，設(shè)則下列結(jié)論正確的有（ ）；數(shù)列（）是公比為的等比數(shù)列；a. 1個(gè)b. 2個(gè)c. 3個(gè)d. 4個(gè)【答案】c【解析】【分析】根據(jù)題意得到，的值，先讓棋子在站，然后得到在站和站的概率，得到三個(gè)站之間的概率關(guān)系，整理得到數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)得到，從而對(duì)四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷，得到答案.【詳解】根據(jù)題意第站，硬幣擲出正面到達(dá)第站，所以，從第站，硬幣擲出反面，或從第站硬幣擲出正面，到達(dá)第站，所以，從第站，硬幣擲出反面，或從第站硬幣擲出正面，到達(dá)第站，所以，所以結(jié)論正確；從第站，硬幣擲出正

10、面到達(dá)第站，所以從第站，硬幣擲出反面，或從第站硬幣擲出正面，到達(dá)第站，所以，即，而，所以（）是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以結(jié)論正確；，而，所以，而當(dāng)棋子跳到第站時(shí)，游戲停止，故.從而得到，故，所以結(jié)論錯(cuò)誤；，所以結(jié)論正確.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查建立數(shù)列模型解決實(shí)際問(wèn)題，累加法求數(shù)列通項(xiàng)，考查化歸與轉(zhuǎn)化和分類(lèi)討論的思想，屬于難題.第卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，將答案填在答題卡中的橫線上）13.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的公差為_(kāi)【答案】3【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，將條件轉(zhuǎn)化為和表示，得到方程組，解得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，解得故答?/p>

11、為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.14.已知直線l：與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】曲線表示以為圓心，為半徑的左側(cè)半圓，直線為斜率為的直線，畫(huà)出圖像，根據(jù)圖像得到直線的臨界位置，求出的方程，從而得到的范圍.【詳解】曲線表示以為圓心，為半徑的右側(cè)半圓，直線為斜率為的直線，畫(huà)出圖像，如圖所示，要使兩個(gè)圖像有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則直線需在圖中所示兩條直線之間，且與圓相切時(shí)不可取，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，得到，（舍），所以可得的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖像的交點(diǎn)求參數(shù)的范圍，根據(jù)直線與圓相切求參數(shù)的值，考查數(shù)形結(jié)合的思想

12、，屬于中檔題.15.下表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩”，其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列，記第i行第j列的數(shù)為，則_，表中的數(shù)2021共出現(xiàn)_次【答案】 (1). 57 (2). 12【解析】【分析】根據(jù)表格規(guī)律，得到第行中的數(shù)為以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而得到的通項(xiàng)，得到，根據(jù)，得到的關(guān)系，然后列出所有情況，得到答案.【詳解】根據(jù)題目所給表格規(guī)律，得到第行中的數(shù)為以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，由，得.所以共出現(xiàn)次.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)表格規(guī)律寫(xiě)出數(shù)列通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)公式得到數(shù)列中的項(xiàng)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.16.若橢圓：（）與橢圓：（）的焦距相等，給出如下四個(gè)結(jié)

13、論：和一定有交點(diǎn)；若，則；若，則；設(shè)與在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)，若，則其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_【答案】【解析】【分析】通過(guò)時(shí)的圖像可知和沒(méi)有交點(diǎn)，根據(jù)兩橢圓相同，結(jié)合，得到，根據(jù)分析法得到所需條件與矛盾，根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合得到兩橢圓之間離心率的關(guān)系，從而得到.【詳解】對(duì)于結(jié)論，當(dāng)時(shí)，橢圓的圖像完全在橢圓的內(nèi)部，此時(shí)和沒(méi)有交點(diǎn)，所以錯(cuò)誤；對(duì)于結(jié)論，因?yàn)閮蓹E圓的焦距相等，即相等，可得，因，所以得到由可得，所以得到，所以得到，所以正確；對(duì)于結(jié)論，由可得，即，即，從而得到，與條件中的矛盾，所以錯(cuò)誤；對(duì)于結(jié)論，因?yàn)閮蓹E圓的相同，若兩橢圓的離心率相同，則根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，兩橢圓在第一象限的交點(diǎn)，其橫縱坐標(biāo)

14、應(yīng)相等，而此時(shí)與在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)，則橢圓更接近圓，或橢圓更扁，即，所以，得到，所以正確.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查焦距相等的橢圓間的關(guān)系，橢圓的幾何性質(zhì)，根據(jù)橢圓的形狀判斷離心率的大小，考查了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且. （1）求數(shù)列的通項(xiàng).（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】(1)利用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求得關(guān)于的遞推公式滿足等比數(shù)列,再求得首項(xiàng)與公比即可求得數(shù)列的通項(xiàng).(2) 為差比數(shù)列,故考慮用錯(cuò)位相減求和.詳解】解（1）兩式相減得,即數(shù)列an是等

15、比數(shù)列(2) 得【點(diǎn)睛】本題主要考查了通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系,同時(shí)也考查了錯(cuò)誤相減求和的方法,屬于中等題型.18.已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為， 邊上 的高，所在直線方程為.（1）求頂點(diǎn) 的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)邊上的高所在直線方程求出的斜率，由點(diǎn)斜式可得的方程，與所在直線方程聯(lián)立即可得結(jié)果；（2）設(shè) 則， 代入中，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式可得結(jié)果.【詳解】（1）由邊上的高所在直線方程為得， 所以直線ab所在的直線方程為，即 聯(lián)立 解得 所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,3）（2）因?yàn)樵谥本€上，所以設(shè) 則， 代入中，得 所以 則直線的方程為，即【點(diǎn)

16、睛】本題主要考查直線的方程，直線方程主要有五種形式，每種形式的直線方程都有其局限性，斜截式與點(diǎn)斜式要求直線斜率存在，所以用這兩種形式設(shè)直線方程時(shí)要注意討論斜是否存在；截距式要注意討論截距是否為零；兩點(diǎn)式要注意討論直線是否與坐標(biāo)軸平行；求直線方程的最終結(jié)果往往需要化為一般式.19.某學(xué)習(xí)軟件以數(shù)學(xué)知識(shí)為題目設(shè)置了一項(xiàng)闖關(guān)游戲，共有15關(guān)，每過(guò)一關(guān)可以得到一定的積分，現(xiàn)有三種積分方案供闖關(guān)者選擇.方案一：每闖過(guò)一關(guān)均可獲得40積分；方案二：闖過(guò)第一關(guān)可獲得5積分，后面每關(guān)的積分都比前一關(guān)多5；方案三：闖過(guò)第一關(guān)可獲得0.5積分，后面每關(guān)的積分都是前一關(guān)積分的2倍.若某關(guān)闖關(guān)失敗則停止游戲，最終積分

17、為闖過(guò)的各關(guān)的積分之和，設(shè)三種方案闖過(guò)n（且）關(guān)后的積分之和分別為，要求闖關(guān)者在開(kāi)始前要選擇積分方案（1）求出的表達(dá)式；（2）為獲得盡量多的積分，如果你是一個(gè)闖關(guān)者，試分析這幾種積分方案該如何選擇？小明通過(guò)試驗(yàn)后覺(jué)得自己至少能闖過(guò)12關(guān)，則他應(yīng)該選擇第幾種積分方案？【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析，小明應(yīng)該選擇方案三.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分別得到各方案所對(duì)應(yīng)的數(shù)列，從而得到；（2）令，分別得到的范圍，結(jié)合題意中的，從而做出判斷.【詳解】（1）按方案一闖過(guò)各關(guān)所得積分構(gòu)成常數(shù)數(shù)列，故；按方案二闖過(guò)各關(guān)所得積分構(gòu)成首項(xiàng)為5，公差為5的等差數(shù)列，故；按方案三闖過(guò)各關(guān)所得積分構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為

18、2的等比數(shù)列，故（2）令，即，解得，而當(dāng)時(shí)，又因?yàn)榍?，故恒成立，故方案二不予考慮.令，即，解得，故有，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，故當(dāng)能闖過(guò)的關(guān)數(shù)小于10時(shí)，應(yīng)選擇方案一；當(dāng)能闖過(guò)的關(guān)數(shù)大于等于10時(shí)，應(yīng)選擇方案三.小明應(yīng)該選擇方案三.【點(diǎn)睛】本題考查求常數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列前項(xiàng)和，比較數(shù)列的大小，屬于簡(jiǎn)單題.20.如圖，在四棱錐中，底面abcd，底面abcd為梯形，且（1）在pd上是否存在一點(diǎn)f，使得平面pab，若存在，找出f的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求二面角的大小【答案】（1）在bc上存在點(diǎn)f，當(dāng)時(shí)，有平面pab.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可得、兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)，從

19、而得到，若平面，則與平面的法向量垂直，從而得到關(guān)于的方程，得到的值，確定出的位置；（2）利用空間向量求出平面，平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式，得到兩平面法向量的夾角，從而得到二面角的大小.【詳解】（1）平面abcd，平面abcd，又，則可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在pd上存在一點(diǎn)f，使得平面pab，設(shè)，由，得，由可得，又，故.因?yàn)?，平面，所以平面，故可取平面pab的一個(gè)法向量為，若平面pab，則，解得，故在bc上存在點(diǎn)f，當(dāng)時(shí)，有平面pab.（2）由（1）可知設(shè)平面pad的法向量則，令，則，此時(shí)設(shè)平面pbd的法向量則，令，則此時(shí)，二面角為銳二面角，二面角

20、的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量由線面平行求點(diǎn)所在的位置；利用空間向量求二面角的大小，屬于中檔題.21.在中，兩直角邊ab，ac的長(zhǎng)分別為m，n（其中），以bc的中點(diǎn)o為圓心，作半徑為r（）的圓o（1）若圓o與的三邊共有4個(gè)交點(diǎn)，求r的取值范圍；（2）設(shè)圓o與邊bc交于p，q兩點(diǎn)；當(dāng)r變化時(shí)，甲乙兩位同學(xué)均證明出為定值甲同學(xué)的方法為：連接ap，aq，ao，利用兩個(gè)小三角形中的余弦定理來(lái)推導(dǎo)；乙同學(xué)的方法為；以o為原點(diǎn)建立合適的直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法來(lái)計(jì)算.請(qǐng)?jiān)诩滓覂晌煌瑢W(xué)的方法中選擇一種來(lái)證明該結(jié)論，定值用含m、n的式子表示.（若用兩種方法，按第一種方法給分）【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）計(jì)算出圓與邊、邊相切時(shí)的半徑，從而得到滿足要求的r的取值范圍；（2）甲同學(xué)方法：連接，利用余弦定理，表示出、，然后通過(guò)計(jì)算，得到，乙同學(xué)方法：以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，將用坐標(biāo)表示，通過(guò)計(jì)算，得到.【詳解】（1）因?yàn)?，故?dāng)圓與邊相切時(shí)，此時(shí)圓與的三邊共有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)圓與邊相切時(shí)，此時(shí)圓與的三邊共有5個(gè)交點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，圓與的三邊共