半導(dǎo)體物理及器件物理基礎(chǔ)微電子.ppt

1、第二章 半導(dǎo)體物理及器件物理基礎(chǔ),本節(jié)內(nèi)容,半導(dǎo)體材料、基本晶體結(jié)構(gòu)與共價鍵 能級與能帶 本征載流子濃度 施主和受主,導(dǎo)電性：固態(tài)材料可分為三類，即絕緣體、半導(dǎo)體及導(dǎo)體,絕緣體: 電導(dǎo)率很低，約介于10-18S/cm10-8S/cm,如熔融石英及玻璃； 導(dǎo) 體：電導(dǎo)率較高，介于104S/cm106 S/cm，如鋁、銀等金屬。 半導(dǎo)體：電導(dǎo)率則介于絕緣體及導(dǎo)體之間,半導(dǎo)體材料,半導(dǎo)體的特點：易受溫度、照光、磁場及微量雜質(zhì)原子的影響。 正是半導(dǎo)體的這種對電導(dǎo)率的高靈敏度特性使半導(dǎo)體成為各種電子應(yīng)用中最重要的材料之一,半導(dǎo)體材料的類型： 元素半導(dǎo)體：硅(Si)、鍺(Ge) 化合物半導(dǎo)體：砷化鎵（Ga

2、As）、磷化銦（InP）等,半導(dǎo)體材料,硅、鍺都是由單一原子所組成的元素半導(dǎo)體，均為周期表第IV族元素,20世紀50年代初期，鍺曾是最主要的半導(dǎo)體材料； 60年代初期以后，硅已取代鍺成為半導(dǎo)體制造的主要材料,硅的優(yōu)勢：硅器件在室溫下有較佳的特性；高品質(zhì)的硅氧化層可由熱生長的方式產(chǎn)生，成本低；硅含量占地表的25%，僅次于氧，儲量豐富,元素(elements)半導(dǎo)體,類別： 二元化合物半導(dǎo)體：由兩種元素組成。 三元化合物半導(dǎo)體：由三種元素組成。 多元化合物半導(dǎo)體：由三種及以上元素組成,二元化合物半導(dǎo)體： IVIV族元素化合物半導(dǎo)體：炭化硅（SiC）； III-V族元素化合物半導(dǎo)體：砷化鎵（GaAs

3、）、磷化鎵（GaP）、磷化銦（InP）等； II-VI族元素化合物半導(dǎo)體：氧化鋅（ZnO）、硫化鋅（ZnS）、碲化鎘（CdTe）等； IV-VI族元素化合物半導(dǎo)體：硫化鉛（PbS）、硒化鉛（PbSe）、碲化鉛（PbTe,化合物(compound)半導(dǎo)體材料,三元化合物與多元化合物半導(dǎo)體： 由III族元素鋁(Al)、鎵(Ga)及V族元素砷(As)所組成的合金半導(dǎo)體AlxGax-1As即是一種三元化合物半導(dǎo)體， 具有AxB1-xCyD1-y形式的四元化合物半導(dǎo)體可由許多二元及三元化合物半導(dǎo)體組成。例如，合金半導(dǎo)體GaxIn1-xAsyP1-y是由磷化鎵(GaP)、磷化銦(InAs)及砷化鎵(GaA

4、s)所組成,化合物半導(dǎo)體的優(yōu)勢與不足： 許多化合物半導(dǎo)體具有與硅不同的電和光電特性。這些半導(dǎo)體，特別是砷化鎵(GaAs),主要用于高速光電器件。 與元素半導(dǎo)體相比，制作單晶體形式的化合物半導(dǎo)體通常需要較復(fù)雜的程序。 化合物半導(dǎo)體的技術(shù)不如硅半導(dǎo)體技術(shù)成熟,化合物(compound)半導(dǎo)體材料,化合物(compound)半導(dǎo)體材料,半導(dǎo)體的晶格結(jié)構(gòu)： 半導(dǎo)體的結(jié)構(gòu)特點：半導(dǎo)體材料是單晶體，它在三維空間是周期性地排列著的。即使當原子熱振動時，仍以其中心位置作微量振動。 晶格(lattice)：晶體中原子的周期性排列稱為晶格。 單胞(unit cell)：周期性排列的最小單元，用來代表整個晶格，將此

5、單胞向晶體的四面八方連續(xù)延伸，即可產(chǎn)生整個晶格,晶體結(jié)構(gòu),單胞及其表示： 右圖是一個簡單的三維空間單胞。 晶格常數(shù)：單胞與晶格的關(guān)系可用三個向量a、b及c來表示，它們彼此之間不需要正交，而且在長度上不一定相同，稱為晶格參數(shù),每個三維空間晶體中的等效格點可用下面的向量組表示： Rma + nb + pc 其中m、n及p是整數(shù),晶體結(jié)構(gòu),幾種常見基本晶胞： 簡單立方晶格(simple cubic,sc)：在立方晶格的每一個角落，都有一個原子，且每個原子都有六個等距的鄰近原子。長度a稱為晶格常數(shù)。在周期表中只有钚(polonium)屬于簡單立方晶格。 體心立方晶格(body-centered,bcc

6、)：除了角落的八個原子外,在晶體中心還有一個原子。在體心立方晶格中，每一個原子有八個最鄰近原子。鈉(sodium)及鎢(tungsten)屬于體心立方結(jié)構(gòu),基本晶體結(jié)構(gòu),面心立方晶格(face-centered cubic, fcc):除了八個角落的原子外，另外還有六個原子在六個面的中心。在此結(jié)構(gòu)中，每個原子有12個最鄰近原子。很多元素具有面心立方結(jié)構(gòu)，包括鋁(aluminum)、銅(copper)、金(gold)及鉑(platinum)。 密集六方結(jié)構(gòu),基本晶體結(jié)構(gòu),金剛石晶格結(jié)構(gòu)：此結(jié)構(gòu)屬于面心立方晶體家族，可被視為兩個相互套構(gòu)的面心立方副晶格，此兩個副晶格偏移的距離為立方體體對角線的1/

7、4(a的長度)。此兩個副晶格中的兩組原子雖然在化學(xué)結(jié)構(gòu)上相同，但以晶格觀點看卻不同。硅和鍺都是金剛石晶格結(jié)構(gòu)。 閃鋅礦結(jié)構(gòu)(zincblende lattice)：大部分的III-V族化合物半導(dǎo)體(如GaAs)具有閃鋅礦結(jié)構(gòu)，它與金剛石晶格的結(jié)構(gòu)類似，只是兩個相互套構(gòu)的面心立方副晶格中的組成原子不同，其中一個副晶格為III族原子(Ga)，另一個副晶格為V族原子(As),基本晶體結(jié)構(gòu),例1 硅在300K時的晶格常數(shù)為5.43。請計算出每立方厘米體積中的硅原子數(shù)及常溫下的硅原子密度,解： 每個單胞中有8個原子，因此每立方厘米體積中的硅原子數(shù)為 8/a3=8/(5.43108)3=51022（個原子

8、/cm3） 密度=每立方厘米中的原子數(shù)每摩爾原子質(zhì)量/阿伏伽德羅常數(shù) =5102228.09/(6.021023)g/cm3 =2.33g/cm3,基本晶體結(jié)構(gòu),由于不同平面的原子空間位置不同。因此沿著不同平面的晶體特性并不同，且電特性及其他器件特性與晶體方向有著重要的關(guān)聯(lián)。 密勒指數(shù)(Miller indices)：是界定一晶體中不同平面的簡單方法。這些指數(shù)可由下列步驟確定： 找出平面在三坐標軸上的截距值(以晶格常數(shù)為計量單位)； 取這三個截距值的倒數(shù)，并將其化簡成最簡單整數(shù)比； 將此結(jié)果以“(hkl)”表示，即為單一平面的密勒指數(shù),基本晶體結(jié)構(gòu),關(guān)于密勒指數(shù)的一些其他規(guī)定： ( )：代表在

9、x軸上截距為負的平面，如 hkl：代表相對稱的平面群，如在立方對稱平面中，可用100表示(100)，(010)，(001)， ， ， 六個平面。 hkl：代表一晶體的方向，如100方向定義為垂直于(100)平面的方向，即表示x軸方向。而111則表示垂直于(111)平面的方向。 ：代表等效方向的所有方向組，如代表100、010、001、 、 、 六個等效方向的族群,例 如圖所示平面在沿著三個坐標軸的方向有三個截距a、3a、2a，其的倒數(shù)分別為1/a、1/3a和1/2a。它們的最簡單整數(shù)比為6:2:3(每個分數(shù)乘6a所得)。因此這個平面可以表示為(623)平面,基本晶體結(jié)構(gòu),在金剛石晶格中，每個原

10、子被四個最鄰近的原子所包圍。右下圖是其二維空間結(jié)構(gòu)簡圖。每個原子在外圍軌道有四個電子，分別與周圍4個原子共用4對電子。這種共用電子對的結(jié)構(gòu)稱為共價鍵(covalent bonding)。每個電子對組成一個共價鍵,共價鍵產(chǎn)生在兩個相同元素的原子，或具有相似外層電子結(jié)構(gòu)的不同元素原子之間，每個原子核擁有每個電子的時間相同。然而這些電子大部分的時間是存在兩個原子核間。原子核對電子的吸引力使得兩個原子結(jié)合在一起,半導(dǎo)體的共價鍵結(jié)合,砷化鎵為四面體閃鋅礦結(jié)構(gòu)，其主要結(jié)合也是共價鍵，但在砷化鎵中存在微量離子鍵成分，即Ga離子與其四個鄰近As離子或As離子與其四個鄰近Ga離子間的靜電吸引力。以電子觀來看，這

11、表示每對共價鍵電子存在于As原子的時間比在Ga原子中稍長,半導(dǎo)體的共價鍵結(jié)合,載流子：低溫時，電子分別被束縛在四面體晶格中，因此無法作電的傳導(dǎo)。但在高溫時，熱振動可以打斷共價鍵。當一些鍵被打斷時，所產(chǎn)生的自由電子可以參與電的傳導(dǎo)。而一個自由電子產(chǎn)生時，會在原處產(chǎn)生一個空缺。此空缺可由鄰近的一個電子填滿，從而產(chǎn)生空缺位置的移動，并可被看作與電子運動方向相反的正電荷，稱為空穴(hole)。半導(dǎo)體中可移動的電子與空穴統(tǒng)稱為載流子,半導(dǎo)體的共價鍵結(jié)合,其中m0是自由電子的質(zhì)量，q是電荷量，0是真空介電常數(shù)（free-space permittivity），h是普朗克常數(shù)（Plank constant）

12、，n是正整數(shù)，稱為主量子數(shù),孤立原子的能級 孤立原子而言，電子的能級是分離的。例如，孤立氫原子的玻爾能級模型,能級與能帶,但當兩個原子接近時，由于兩原子間的交互作用，會使得雙重簡并能級一分為二。如有N個原子形成一個固體，不同原子外層電子的軌道重疊且交互作用。將造成能級的移動。當N很大時，將形成一連續(xù)的能帶。此N個能級可延伸幾個電子伏特，視晶體內(nèi)原子的間距而定。右圖描述此效應(yīng)，其中a參數(shù)代表平衡狀態(tài)下晶體原子的間距,能級分裂成能帶 首先考慮兩個相同原子，當彼此距離很遠時，對同一個主量子數(shù)(如n1)而言，其能級為雙重簡并(degenerate)，亦即兩個原子具有相同的能量,能級與能帶,在平衡狀態(tài)下

13、的原子間距時，能帶將再度分裂，使得每個原子在較低能帶有4個量子態(tài)，而在較高能帶也有4個量子態(tài),下圖是N個孤立硅原子形成一硅晶體的能帶形成圖。當原子與原子間的距離縮短時，N個硅原子的3s及3p副外層將彼此交互作用及重疊,能級與能帶,導(dǎo)帶底部與價帶頂部間的禁止能量間隔(EC-EV)稱為禁帶寬度Eg，如圖左邊所示。它表示將半導(dǎo)體價帶中的電子斷鍵，變成自由電子并送到導(dǎo)帶，而在價帶中留下一個空穴所需的能量,在絕對零度時，電子占據(jù)最低能態(tài)，因此在較低能帶(即價帶)的所有能態(tài)將被電子填滿，而在較高能帶(即導(dǎo)帶)的所有能態(tài)將沒有電子，導(dǎo)帶的底部稱為EC，價帶的頂部稱為EV,能級與能帶,其中p為動量，m0為自由

14、電子質(zhì)量,自由電子的動能可表示為,畫出E相對p的圖，將得到如圖所示的拋物線圖,有效質(zhì)量,電子有效質(zhì)量視半導(dǎo)體的特性而定。其大小同樣可通過該材料的能量-動量曲線所表征的能量與動量關(guān)系式，由E與對p的二次微分可以得到,在半導(dǎo)體晶體中，導(dǎo)帶中的電子類似自由電子，可在晶體中自由移動。但因為原子核的周期性電勢，前式不再適合。但可將自由電子質(zhì)量換成有效質(zhì)量mn(下標符號n表示電子)，仍可得到相同形式的關(guān)系，即,有效質(zhì)量,右圖為一特殊半導(dǎo)體的簡單能量與動量關(guān)系式，其中導(dǎo)帶中有效質(zhì)量mn0.25m0 (上拋物線)，而價帶中空穴有效質(zhì)量mpm0(下拋物線)?？梢钥闯?，電子能量可由上半部拋物線得出，而空穴能量可由

15、下半部拋物線得出。兩拋物線在p0時的間距為禁帶寬度Eg,可見，拋物線的曲率越小，對應(yīng)的二次微分越大，則有效質(zhì)量越小?？昭ㄒ部梢杂妙愃频姆椒ū硎?其中有效質(zhì)量為mp，下標符合p表示空穴,有效質(zhì)量,右圖為砷化鎵的動量-能量關(guān)系曲線，其價帶頂部與導(dǎo)帶最低處發(fā)生在相同動量處(p0)。因此，當電子從價帶轉(zhuǎn)換到導(dǎo)帶時，不需要動量轉(zhuǎn)換。這類半導(dǎo)體稱為直接帶隙半導(dǎo)體,直接帶隙半導(dǎo)體,砷化鎵有一非常窄的導(dǎo)帶拋物線，其電子的有效質(zhì)量僅為0.063m0,直接帶隙和間接帶隙半導(dǎo)體,對硅而言，其動量-能量曲線中價帶頂部發(fā)生在p0時，但導(dǎo)帶的最低處則發(fā)生在沿100方向的ppC。因此，當電子從硅的價帶頂部轉(zhuǎn)換到導(dǎo)帶最低點時

16、，不僅需要能量轉(zhuǎn)換(Eg),也需要動量轉(zhuǎn)換(pC)。這類半導(dǎo)體稱為間接帶隙半導(dǎo)體。硅有一較寬的導(dǎo)帶拋物線，其電子的有效質(zhì)量為0.19m0,間接帶隙半導(dǎo)體,直接與間接禁帶結(jié)構(gòu)的差異在發(fā)光二極管與激光等應(yīng)用中相當重要。這些應(yīng)用需要直接禁帶半導(dǎo)體產(chǎn)生有效光子,直接帶隙和間接帶隙半導(dǎo)體,金屬、半導(dǎo)體及絕緣體的電導(dǎo)率存在巨大差異，這種差異可用它們的能帶來作定性解釋。人們發(fā)現(xiàn)，電子在最高能帶或最高兩能帶的占有率決定此固體的導(dǎo)電性,金屬、半導(dǎo)體和絕緣體的能帶及傳導(dǎo)特性,金屬,絕緣體,半導(dǎo)體,金屬,金屬導(dǎo)體的電阻很低，其導(dǎo)帶不是部分填滿如銅(Cu)就是與價帶重疊如鋅(Zn)或鉛(Pb)，所以根本沒有禁帶存在，

17、如圖所示,因此,部分填滿的導(dǎo)帶最高處的電子或價帶頂部的電子在獲得動能時(如從一外加電場)，可移動到下一個較高能級。對金屬而言，因為接近占滿電子的能態(tài)處尚有許多未被占據(jù)的能態(tài)，因此只要有一個小小的外加電場，電子就可自由移動，故金屬導(dǎo)體可以輕易傳導(dǎo)電流,金屬、半導(dǎo)體和絕緣體的能帶及傳導(dǎo)特性,絕緣體,絕緣體如二氧化硅(SiO2)，其價帶電子在鄰近原子間形成很強的共價鍵。這些鍵很難打斷，因此在室溫或接近室溫時，并無自由電子參與傳導(dǎo)。如圖所示,絕緣體的特征是有很大的禁帶寬度。在圖中可以發(fā)現(xiàn)電子完全占滿價帶中的能級，而導(dǎo)帶中的能級則是空的。熱能或外加電場能量并不足以使價帶頂端的電子激發(fā)到導(dǎo)帶。因此，雖然絕

18、緣體的導(dǎo)帶有許多空的能態(tài)可以接受電子，但實際上幾乎沒有電子可以占據(jù)導(dǎo)帶上的能態(tài)，對電導(dǎo)的貢獻很小，造成很大的電阻。因此無法傳導(dǎo)電流,金屬、半導(dǎo)體和絕緣體的能帶及傳導(dǎo)特性,半導(dǎo)體,半導(dǎo)體材料的電導(dǎo)率介于導(dǎo)體和絕緣體之間，且易受溫度、照光、磁場及微量雜質(zhì)原子的影響，其禁帶寬度較小(約為1eV)，如圖所示,在T0K時，所有電子都位于價帶，而導(dǎo)帶中并無電子，因此半導(dǎo)體在低溫時是不良導(dǎo)體。在室溫及正常氣壓下，硅的Eg值為1.12eV，而砷化鎵為1.42eV。因此在室溫下，熱能kT占Eg的一定比例，有些電子可以從價帶激發(fā)到導(dǎo)帶。因為導(dǎo)帶中有許多未被占據(jù)的能態(tài)，故只要小量的外加能量，就可以輕易移動這些電子，

19、產(chǎn)生可觀的電流,金屬、半導(dǎo)體和絕緣體的能帶及傳導(dǎo)特性,本征半導(dǎo)體（intrinsic semiconductor）,當半導(dǎo)體中的雜質(zhì)遠小于由熱產(chǎn)生的電子、空穴時，此種半導(dǎo)體稱為本征半導(dǎo)體,熱平衡狀態(tài)：即是在恒溫下的穩(wěn)定狀態(tài)，且并無任何外來干擾，如照光、壓力或電場。在恒溫下，連續(xù)的熱擾動造成電子從價帶激發(fā)到導(dǎo)帶，同時在價帶留下等量的空穴。熱平衡狀態(tài)下的載流子濃度不變,導(dǎo)帶中的電子濃度可將N(E)F(E)由導(dǎo)帶底端(為簡單起見，將EC起始視為0)積分到頂端Etop,其中n的單位是cm3，N(E)是單位體積下可允許的能態(tài)密度， F(E)為電子占據(jù)此能量范圍的幾率即費米分布函數(shù),本征載流子濃度及其溫度

20、特性,費米分布函數(shù)(Feimi distribution function)：一個電子占據(jù)能量E的能態(tài)的幾率,其中k是玻爾茲曼常數(shù)，T是以開(Kelvin)為單位的絕對溫度，EF是費米能級,費米能級(Fermi level)：是電子占有率為1/2時的能量,本征載流子濃度及其溫度特性,可見，F(xiàn)(E)在費米能量EF附近成對稱分布。在能量高于或低于費米能量3kT時，上式的指數(shù)部分會大于20或小于0.05，費米分布函數(shù)因此可以近似成下列簡單式,EEF）3kT,EEF）3kT,顯然，該式可看作是能量為E時空穴的占據(jù)幾率,本征載流子濃度及其溫度特性,右圖由左到右所描繪的時能帶圖、態(tài)密度N（E）、費米分布函

21、數(shù)及本征半導(dǎo)體的載流子濃度。其中態(tài)密度N（E）在一定的電子有效質(zhì)量下，隨E1/2改變,可由圖求得載流子濃度，亦即由圖(b)中的N(E)與圖(c)中的F(E)的乘積即可得到圖(d)中的n(E)對E的曲線(上半部的曲線)。圖(d)上半部陰影區(qū)域面積相當于電子濃度,利用,本征載流子濃度及其溫度特性,雖然在導(dǎo)帶在存在大量可允許的能態(tài)，然而對本征半導(dǎo)體而言，導(dǎo)帶中卻不會有太多的電子，即電子占據(jù)這些能態(tài)的幾率很小。同樣，在價帶也有大量的可允許能態(tài)，但大部分被電子占據(jù)，其幾率幾乎為1，只有少數(shù)空穴。因此費米能級的位置接近禁帶的中間(即EF低于EC好幾個kT,本征載流子濃度及其溫度特性,假如將導(dǎo)帶底部定為EC

22、而不是零，則導(dǎo)帶的電子濃度為,令,則,所以,在室溫下（300K），對硅而言NC是2.861019cm3；對砷化鎵則為4.71017cm-3,本征載流子濃度及其溫度特性,同理，價帶中空穴濃度p為,在室溫下，對硅而言NV是2.661019cm-3；對砷化鎵則為7.01018cm-3,本征載流子濃度及其溫度特性,本征載流子濃度ni:對本征半導(dǎo)體而言，導(dǎo)帶中每單位體積的電子數(shù)與價帶每單位體積的空穴數(shù)相同,即濃度相同，稱為本征載流子濃度，可表示為npni,本征費米能級Ei：本征半導(dǎo)體的費米能級,則,在室溫下，第二項比禁帶寬度小得多。因此，本征半導(dǎo)體的本征費米能級Ei相當靠近禁帶的中央,本征載流子濃度及其

23、溫度特性,所以,即,其中Eg=EC-EV。室溫時，硅的ni為9.65109cm-3；砷化鎵的ni為2.25106cm3。上圖給出了硅及砷化鎵的ni對于溫度的變化情形。正如所預(yù)期的，禁帶寬度越大，本征載流子濃度越小,最終,該式對非本征半導(dǎo)體同樣成立，稱為質(zhì)量作用定律,本征載流子濃度及其溫度特性,非本征半導(dǎo)體：當半導(dǎo)體被摻入雜質(zhì)時，半導(dǎo)體變成非本征的（extrinsic），而且引入雜質(zhì)能級,施主(donor)：圖(a)顯示一個硅原子被一個帶有5個價電子的砷原子所取代（或替補）。此砷原子與4個鄰近硅原子形成共價鍵，而其第5個電子有相當小的束縛能，能在適當溫度下被電離成傳導(dǎo)電子。通常我們說此電子被施給

24、了導(dǎo)帶。砷原子因此被稱為施主。由于帶負電載流子增加，硅變成n型,非本征半導(dǎo)體及其特性,受主(acceptor)：當一個帶有3個價電子的硼原子取代硅原子時，需要接受一個額外的電子，以在硼原子四周形成4個共價鍵，也因而在價帶中形成一個帶正電的空穴（hole）。此即為p型半導(dǎo)體，而硼原子則被稱為受主,可利用氫原子模型來計算施主的電離能(ionization energy)ED，并以電子有效質(zhì)量mn取代m0及考慮半導(dǎo)體介電常數(shù)s得到下式,非本征半導(dǎo)體及其特性,由上式計算出從導(dǎo)帶邊緣算起的施主電離能：在硅中為0.025eV，而在砷化鎵中為0.007eV。受主電離能的氫原子計算與施主相似。由價帶邊緣算起的

25、電離能，對硅及砷化鎵都是0.05eV,此簡單的氫原子模型雖然無法精確地解釋電離能尤其對半導(dǎo)體中的深層雜質(zhì)能級(即電離能kT)。但可用它來粗略推算淺層雜質(zhì)能級的電離能大小。如圖是對含不同雜質(zhì)的硅及砷化鎵所推算得的電離能大小?？梢?，單一原子中有可能形成許多能級,非本征半導(dǎo)體及其特性,非簡并(nondegenerate)半導(dǎo)體：電子或空穴的濃度分別遠低于導(dǎo)帶或價帶中有效態(tài)密度，即費米能級EF至少比EV高3kT，或比EC低3kT的半導(dǎo)體,通常對硅及砷化鎵中的淺層施主而言，室溫下即有足夠的熱能，供給將所有施主雜質(zhì)電離所需的能量ED，因此可在導(dǎo)帶中提供與所有施主雜質(zhì)等量的電子數(shù)，即可移動的電子及不可移動的

26、施主離子二者濃度相同。這種情形稱為完全電離，如圖。在完全電離的情形下，電子濃度為,非簡并半導(dǎo)體及其載流子濃度,可見，施主濃度越高，能量差(EC-EV)越小，即費米能級往導(dǎo)帶底部移近。同樣地，受主濃度越高，費米能級往價帶頂端移近,同樣，對如圖所示的淺層受主能級，假使完全電離，則空穴濃度為p=NA,非簡并半導(dǎo)體及其載流子濃度,以本征載流子濃度ni及本征費米能級Ei來表示電子及空穴濃度是很有用的，因為Ei常被用作討論非本征半導(dǎo)體時的參考能級,非簡并半導(dǎo)體及其載流子濃度,下圖顯示如何求得載流子濃度的步驟（注意npni2），其步驟與求本征半導(dǎo)體時類似。但在此例中費米能級較接近導(dǎo)帶底部，且電子濃度（即上半部陰影區(qū)域）比空穴濃度（下半部陰影區(qū)域）高出許多,非簡并半導(dǎo)體及其載流子濃度,例 一硅晶摻入每立方厘米1016個砷原子，求室溫下(300K)的載流子濃度與費米能級,解 在300K時，假設(shè)雜質(zhì)原子完全電離，可得到,室溫時，硅的ni為9.65109cm-3,從本征費米能級算起的費米能級為,從導(dǎo)帶底端算起的費米能級為,非簡并半導(dǎo)體及其載流子濃度,因為,若施主與受主兩者同時存在，則由較高濃度的雜質(zhì)決定半導(dǎo)體的傳導(dǎo)類型。費米能級需自行調(diào)整以保持電中性，即總負電荷(包括電子和離子化受主)必須等于總正電荷(包括空穴和離子化施主)。在完全電離的情況下，可以得到,可得到n型半導(dǎo)體中平衡電子和空