積化和差公式

1、積化和差積化和差，指初等數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的一組恒等式?？梢酝ㄟ^展開角的和差恒等式的手段來證明。方法一積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的手段來證 明。即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明:sin osin p=-1/2-2sino(sin 內(nèi)=-1/2(cosacos 伕sin o(sin -(cos acos J+sin osin =-1/2COS(a+3cos( a 其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法。(該證明法逆向推導(dǎo)可用于和差化積的計(jì)算，參見和差化積)方法二根據(jù)歐拉公式，eA ix = cos x + isin x令x=a+b i為復(fù)數(shù)得 e a i(a+b)=e Aia

2、* e 八初=(cos a+ isin a)(cos b+ isin b)=cos acos b-s in asin b+ i(s in acos b+s in bcosa)=cos(a+b)+i sin( a+b)所以 cos(a+b)=cos acos b-sin asin bsin( a+b)=s in acos b+s in bcos a記憶方法積化和差公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出了特點(diǎn)各自的簡單記憶方法。這一點(diǎn)最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域來判斷。sin和cos的值域都是-1,1，其和差的值域應(yīng)該是-2,2，而積的值域卻是-1,1，因此除以2是必須的。

3、也可以通過其證明來記憶，因?yàn)檎归_兩角和差公式后，未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2，如:cos( a -8S( a+ =(cos acos 供sin osin -(cos acos 伕sin osin =2sin osin B故最后需要除以2。無論乘積項(xiàng)中的三角函數(shù)是否同名，化為和差形式時(shí)，都應(yīng)是同名三角函數(shù)的和差。這一點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù)，兩角和差公式展開后乘積項(xiàng)的形式都不同， 就不會出現(xiàn)相抵消和相同的項(xiàng)，也就無法化簡下去了。使用哪種三角函數(shù)的和差仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有兩對同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對異名三角函數(shù)的乘積。所以反

4、過來，同名三角函數(shù)的乘積，化作余弦的和差；異名三角函數(shù)的乘積，化作正弦的和 差。是和還是差？這是積化和差公式的使用中最容易出錯(cuò)的一 項(xiàng)。規(guī)律為:小角B以cos B的形式出現(xiàn)時(shí)，乘積化為和；反之， 則乘積化為差。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。如果B的形式是cos 那么若把B替換為-結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，也就是含a+P和a- P的兩項(xiàng)調(diào)換位置對結(jié)果沒有影響，從而結(jié)果的形式應(yīng)當(dāng)是和；另一種情況可以類似說明。正弦-正弦積公式的負(fù)號是一個(gè)特殊情況，必須記牢。當(dāng)然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如o, n內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)檫@個(gè)區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所 以COS( a+P)不大于COS(

5、a- 。但是這時(shí)對應(yīng)的 a和P在0 ,力 的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于等于0，所以要么反過來把cos( a P)放到cos( a+p前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號。積化和差公式可以將兩個(gè)三角函數(shù)值的積化為另兩個(gè)三角函數(shù)值的和乘以常數(shù)的形式， 所以使用積化和差公式可以達(dá)到降 次的效果。在歷史上，對數(shù)出現(xiàn)之前，積化和差公式被用來將乘除運(yùn)算 化為加減運(yùn)算，運(yùn)算需要利用三角函數(shù)表。運(yùn)算過程:將兩個(gè)數(shù)通過乘、除10的方冪化為0到1之間的 數(shù)，通過查表求出對應(yīng)的反三角函數(shù)值，即將原式 化為 10八k*sin o(sin B的形式，套用積化和差后再次查表求三角函數(shù)的 值，并最后利用加減算出結(jié)果。對數(shù)出現(xiàn)后，積化和差公式的這 個(gè)作用由更加便捷的對數(shù)取代。在現(xiàn)代工程中，積化和差的重要應(yīng)用在于求解傅里葉級數(shù)，特別是在以2 n為周期和以2L為周期的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù) 時(shí)。因?yàn)樵谶@種情況下，被展開函數(shù)f(x) 般也是三角函數(shù)，但其 宀與傅里葉系數(shù)公式中的三角函數(shù)不同，這就為最終求解 系數(shù)帶來很大困難，因?yàn)榍蠼庀禂?shù)的過程中，要求一個(gè)在2 n周期內(nèi)的積分，若被積函數(shù)是cosxc