小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)方法講義之-列舉法-通用版

1、.第三講 列舉法解應(yīng)用題時(shí)，為了解題的方便，把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達(dá)到解決整個(gè)問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。 用列舉法解應(yīng)用題時(shí)，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時(shí)也要畫圖。例1 一本書共100頁，在排頁碼時(shí)要用多少個(gè)數(shù)字是6的鉛字？（適于三年級(jí)程度）解：把個(gè)位是6和十位是6的數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉出來，數(shù)一數(shù)。個(gè)位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個(gè)。十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個(gè)。10+10=20（個(gè)

2、）答：在排頁碼時(shí)要用20個(gè)數(shù)字是6的鉛字。*例2 從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過B市到C市有幾種走法？（適于三年級(jí)程度）解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來。第一種走法：A B C第二種走法：A B C第三種走法：A B C第四種走法：A B C第五種走法：A B C第六種走法：A B C答：從A市經(jīng)過B市到C市共有6種走法。*例3 9137=1001425=把+、-、四種運(yùn)算符號(hào)分別填在適當(dāng)?shù)膱A圈中（每種運(yùn)算符號(hào)只能用一次），并在長方形中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使上面的兩個(gè)等式都成立。這時(shí)長方形中的數(shù)是幾？（適于四年級(jí)程度）解：把+、-、四種運(yùn)算符號(hào)填在四個(gè)圓圈里，有

3、許多不同的填法，要是逐一討論怎樣填會(huì)特別麻煩。如果用些簡(jiǎn)單的推理，排除不可能的填法，就能使問題得到簡(jiǎn)捷的解答。先看第一個(gè)式子：9137=100如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)填上“”號(hào)，等式右端就要出現(xiàn)小于100的分?jǐn)?shù)；如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)僅填“+”、“-”號(hào)，等式右端得出的數(shù)也小于100，所以在兩個(gè)圓圈內(nèi)不能同時(shí)填“”號(hào)，也不能同時(shí)填“+”、“-”號(hào)。要是在等式的一個(gè)圓圈中填入“”號(hào)，另一個(gè)圓圈中填入適當(dāng)?shù)姆?hào)就容易使等式右端得出100。913-7=117-7=110，未湊出100。如果在兩個(gè)圈中分別填入“+”和“”號(hào)，就會(huì)湊出100了。9+137=100再看第二個(gè)式子：1425=上面已經(jīng)用過四個(gè)運(yùn)算符號(hào)中的兩

4、個(gè)，只剩下“”號(hào)和“-”號(hào)了。如果在第一個(gè)圓圈內(nèi)填上“”號(hào)， 142得到整數(shù)，所以：142-5=2即長方形中的數(shù)是2。*例4 印刷工人在排印一本書的頁碼時(shí)共用1890個(gè)數(shù)碼，這本書有多少頁？（適于四年級(jí)程度）解：（1）數(shù)碼一共有10個(gè)：0、1、28、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數(shù)的頁有9頁，用數(shù)碼9個(gè)。（2）頁碼是兩位數(shù)的從第10頁到第99頁。因?yàn)?9-9=90，所以，頁碼是兩位數(shù)的頁有90頁，用數(shù)碼：290=180（個(gè)）（3）還剩下的數(shù)碼：1890-9-180=1701（個(gè)）（4）因?yàn)轫摯a是三位數(shù)的頁，每頁用3個(gè)數(shù)碼，100頁到999頁，999-99=900，而剩下的1701個(gè)數(shù)碼

5、除以3時(shí)，商不足600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個(gè)數(shù)碼可以排多少頁。17013=567（頁）（5）這本書的頁數(shù)：9+90+567=666（頁）答略。*例5 用一根80厘米長的鐵絲圍成一個(gè)長方形，長和寬都要是5的倍數(shù)。哪一種方法圍成的長方形面積最大？（適于四年級(jí)程度）解：要知道哪種方法所圍成的面積最大，應(yīng)將符合條件的圍法一一列舉出來，然后加以比較。因?yàn)殚L方形的周長是80厘米，所以長與寬的和是40厘米。列表3-1：表3-1表3-1中，長、寬的數(shù)字都是5的倍數(shù)。因?yàn)轭}目要求的是哪一種圍法的長方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應(yīng)舍去

6、。前三種圍法的長方形面積分別是：355=175（平方厘米）3010=300（平方厘米）2515=375（平方厘米）答：當(dāng)長方形的長是25厘米，寬是15厘米時(shí)，長方形的面積最大。例6 如圖3-2，有三張卡片，每一張上寫有一個(gè)數(shù)字1、2、3，從中抽出一張、兩張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)。請(qǐng)將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來。（適于五年級(jí)程度）解：任意抽一張，可得到三個(gè)一位數(shù)：1、2、3，其中2和3是質(zhì)數(shù)；任意抽兩張排列，一共可得到六個(gè)不同的兩位數(shù)：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是質(zhì)數(shù)；三張卡片可排列成六個(gè)不同的三位數(shù)，但每個(gè)三位數(shù)數(shù)碼的和都是1

7、+2+3=6，即它們都是3的倍數(shù)，所以都不是質(zhì)數(shù)。綜上所說，所能得到的質(zhì)數(shù)是2、3、13、23、31，共五個(gè)。*例7 在一條筆直的公路上，每隔10千米建有一個(gè)糧站。一號(hào)糧站存有10噸糧食，2號(hào)糧站存有20噸糧食，3號(hào)糧站存有30噸糧食，4號(hào)糧站是空的，5號(hào)糧站存有40噸糧食?，F(xiàn)在要把全部糧食集中放在一個(gè)糧站里，如果每噸1千米的運(yùn)費(fèi)是0.5元，那么糧食集中到第幾號(hào)糧站所用的運(yùn)費(fèi)最少（圖3-3）？（適于五年級(jí)程度）解：看圖3-3，可以斷定糧食不能集中在1號(hào)和2號(hào)糧站。下面將運(yùn)到3號(hào)、4號(hào)、5號(hào)糧站時(shí)所用的運(yùn)費(fèi)一一列舉，并比較。（1）如果運(yùn)到3號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：0.510（10+10）+0.520

8、10+0.540（10+10）=100+100+400=600（元）（2）如果運(yùn)到4號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：0.510（10+10+10）+0.520（10+10）+0.53010+0.54010=150+200+150+200=700（元）（3）如果運(yùn)到5號(hào)糧站，所用費(fèi)用是：0.510（10+10+10+10）+0.520（10+10+10）+0.530（10+10）=200+300+300=800（元）800700600答：集中到第三號(hào)糧站所用運(yùn)費(fèi)最少。*例8 小明有10個(gè)1分硬幣，5個(gè)2分硬幣，2個(gè)5分硬幣。要拿出1角錢買1支鉛筆，問可以有幾種拿法？用算式表達(dá)出來。（適于五年級(jí)程度）解：（1

9、）只拿出一種硬幣的方法：全拿1分的：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）全拿2分的：2+2+2+2+2=1（角）全拿5分的：5+5=1（角）只拿出一種硬幣，有3種方法。（2）只拿兩種硬幣的方法：拿8枚1分的，1枚2分的：1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）拿6枚1分的，2枚2分的：1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）拿4枚1分的，3枚2分的：1+1+1+1+2+2+2=1（角）拿2枚1分的，4枚2分的：1+1+2+2+2+2=1（角）拿5枚1分的，1枚5分的：1+1+1+1+1+5=1（角）只拿出兩種硬幣，有5種方法。（3）拿三種硬幣的方法：拿3枚1分，1枚2分，1枚5

10、分的：1+1+1+2+5=1（角）拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：1+2+2+5=1（角）拿出三種硬幣，有2種方法。共有：3+5+2=10（種）答：共有10種拿法。*例9 甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家荣愐槐P。到現(xiàn)在為止，甲賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。問小強(qiáng)賽了幾盤？（適于五年級(jí)程度）解：作表3-2。表3-2 甲已經(jīng)賽了4盤，就是甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)各賽了一盤，在甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)相交的那些格里都打上；乙賽的盤數(shù)，就是除了與甲賽的那一盤，又與丙和小強(qiáng)各賽一盤，在乙與丙、小強(qiáng)相交的那兩個(gè)格中都打上；丙賽了兩盤，就是丙與甲、乙各賽一盤，打上；丁與甲賽的

11、那一盤也打上。丁未與乙、丙、小強(qiáng)賽過，在丁與乙、丙與小強(qiáng)相交的格中都畫上圈。根據(jù)條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強(qiáng)與甲、乙各賽一盤，未與丙、丁賽，共賽2盤。答：小強(qiáng)賽了2盤。*例10 商店出售餅干，現(xiàn)存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧客要買9千克餅干，為了便于攜帶要求不開箱。營業(yè)員有多少種發(fā)貨方式？（適于五年級(jí)程度）解：作表3-3列舉發(fā)貨方式。表3-3答：不開箱有7種發(fā)貨方式。*例11 運(yùn)輸隊(duì)有30輛汽車，按130的編號(hào)順序橫排停在院子里。第一次陸續(xù)開走的全部是單號(hào)車，以后幾次都由余下的第一輛車開始隔一輛開走一輛。到第幾次時(shí)汽車全部開走？最后開走的是第幾號(hào)車？（

12、適于五年級(jí)程度）解：按題意畫出表3-4列舉各次哪些車開走。表3-4從表3-4中看得出，第三次開走后剩下的是第8號(hào)、16號(hào)、24號(hào)車。按題意，第四次8號(hào)、24號(hào)車開走。到第五次時(shí)汽車全部開走，最后開走的是第16號(hào)車。答：到第五次時(shí)汽車全部開走，最后開走的是第16號(hào)車。*例12 在甲、乙兩個(gè)倉庫存放大米，甲倉存90袋，乙倉存50袋，甲倉每次運(yùn)出12袋，乙倉每次運(yùn)出4袋。運(yùn)出幾次后，兩倉庫剩下大米的袋數(shù)相等？（適于五年級(jí)程度）解：根據(jù)題意列表3-5。表3-5從表3-5可以看出，原來甲乙兩倉庫所存大米相差40袋；第一次運(yùn)走后，兩倉剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次運(yùn)走后，兩倉剩下的大米相差6

13、6-42=24（袋）；第三次運(yùn)走后，兩倉剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次運(yùn)走后，兩倉剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次運(yùn)走后，兩倉剩下的大米袋數(shù)相等。40-32=832-24=824-16=8從這里可以看出，每運(yùn)走一次，兩倉庫剩下大米袋數(shù)的相差數(shù)就減少8袋。由此可以看出，兩倉庫原存大米袋數(shù)的差，除以每次運(yùn)出的袋數(shù)差就得出運(yùn)幾次后兩個(gè)倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。（90-50）（12-4）=5（次）答：運(yùn)出5次后兩個(gè)倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。*例13 有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組。這時(shí)，三組的人數(shù)一樣多。問原來各組有多少個(gè)小朋友？（適于五年級(jí)程度）解：三個(gè)小組共72人，第三次并入后三個(gè)小組人數(shù)相等，都是723=24（人）。在這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組時(shí)，第一組應(yīng)是242=12（人），第三組應(yīng)是（24+12）=36（人），第二組人數(shù)仍為24人；