對解析幾何專題復習的一點思考

1、對解析幾何專題復習的一點思考上海市延安中學 呂志勇高三數(shù)學復習的目的， 一方面是回顧學習過的數(shù)學知識， 進一步鞏固基礎知 識，另一方面， 隨著學生學習能力的不斷提高， 學生不會僅僅滿足于對數(shù)學知識 的簡單重復，而是有對所學知識進一步理解的需求， 如數(shù)學知識蘊涵的思想方法、 數(shù)學知識之間本質聯(lián)系等等，所以高三數(shù)學復習既要“溫故” ，更要“知新”，既 能引起學生的興趣， 啟發(fā)學生的思維， 又能促使學生不斷提出問題， 有新的發(fā)現(xiàn) 和創(chuàng)造，進而培養(yǎng)學生問題研究的能力一、把握解析幾何的基本思想解析幾何是數(shù)學中最基本的分支學科之一 回顧歷史，解析幾何的創(chuàng)立是數(shù) 學史上偉大的創(chuàng)造之一，它是 17 世紀數(shù)學觀

2、和方法論出現(xiàn)重大變革的直接結 果笛卡兒、費爾馬等數(shù)學家，將代數(shù)和幾何中的一切好的東西，取長補短，融 合為一門新的數(shù)學， 即把代數(shù)方法應用于幾何， 從而創(chuàng)立了解析幾何 恩格斯說： “數(shù)學中的轉折點是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯 證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微積分也就成為必要的了 ”解析幾何是用代數(shù)方 法研究幾何圖形的一門學科， 要用代數(shù)方法研究幾何圖形， 首先需要把圖形問題 轉化成代數(shù)形式， 然后才能用代數(shù)方法進行計算， 在獲得代數(shù)結果以后， 又需要 把代數(shù)結果轉化為幾何結論一個解析幾何問題的解決是通過 “幾何圖形代數(shù)化 與代數(shù)結果幾何化 ”和代數(shù)計算來實現(xiàn)的， “幾何圖形

3、代數(shù)化與代數(shù)結果幾何化 ” 是解析幾何的基本思想2004 年的上海市秋季高考數(shù)學試卷的一道填空題就直接要求學生寫出解析 幾何的思想本質是什么， 這道題目引起一些爭議， 但命題的意圖是好的， 指導思 想是正確的， 在解析幾何的復習過程中要強化這種思想 通過具體例子可以說明 用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，以及用幾何的方法解決代數(shù)問題的優(yōu)越 性二、構建解析幾何知識的體系解析幾何復習時，需要理順解析幾何的知識體系：（1）首先要明確幾何中的點與代數(shù)中的坐標的對應關系，進而要理解曲線與方 程的概念 圖形問題代數(shù)化是解析幾何的核心， 它是通過用坐標表示點和用方程表示曲線的觀念來實現(xiàn)的.曲線與方程概念的提

4、出在代數(shù)與幾何之間架起了一座 橋梁，使兩種數(shù)學形式根據(jù)需要可以互化”然后可以通過對方程的研究來研究 曲線的性質，這是解析幾何的理論基礎.利用這個思想方法去理解概念、 公式所 反映的數(shù)學本質，如兩點距離、點到直線的距離、直線的平行與垂直、兩條直線 的夾角、圖形的對稱性和曲線交點等都是解析幾何中要研究的基本問題，深刻體會教材中是如何用代數(shù)形式來解決這些重要幾何概念以及位置關系的，那么遇見這些幾何表述時就能熟練轉化為代數(shù)形式來處理.(2) 通過對直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等具體曲線的研究，不僅要理解 和掌握它們的一些基本性質和結論，更重要的是體會解析幾何研究曲線性質的具 體方法和思想.(3) 了

5、解坐標系的平移、旋轉，曲線的參數(shù)方程，極坐標系等等知識，體會解 析幾何解決問題的方法不是單一的，而是多種多樣的.例題1類似于在平面上建立直角坐標系，我們在平面上建立一個斜角坐標系， 使得y軸與x軸的夾角為60 設P為平面上任意一點，過P分別作y軸、x軸的 平行線，分別交x軸、y軸于R、巳點，則R、P2點分別在x軸、y軸上的坐標x、y 稱為點P在斜角坐標系xOy中的坐標，記為(x,y) 在坐標平面內，方向與x軸和 y軸正方向相同的兩個單位向量分別記為i和j .(1) 若 A(Xi , yi)及 Bg , y2)，用兒，y、2X 2 y 表示 A B 兩 點的距離AB ；(2) 設M(4,2! ，

6、O為坐標原點，求過點M且與OM垂 直的直線I的方程，由此猜測直線I的一個方向向量并證 明你的結論;(3)設拋物線 C是以原點0為焦點，且以直線y=1為準線，試確定直線 x-y=0與拋物線C的交點個數(shù).三、掌握研究解析幾何問題的基本方法近幾年解析幾何的考題在難度、計算的復雜程度等方面都有所下降， 突出對解析幾何基本思想和基本方法的考查，重點要掌握解析幾何的一些基本方法來解 決問題，解析幾何中解題的基本方法有解析法、待定系數(shù)法、變換法、參數(shù)法等 方法.課堂教學中選擇例題要突出題目的普遍性， 解題方法要具有代表性，即通 性通法.(1) 加強解析幾何基本知識、基本方法的訓練，如熟悉圓錐曲線有關概念的直

7、例題2如圖，點A、B分別是橢圓3620接應用，求軌跡方程的各種基本方法，討論直線與曲線的交點或位置關系， 與圓 錐曲線有關的取值范圍等問題，能通過建立函數(shù)關系，轉化為求函數(shù)的值域、最軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點點P在橢 圓上，且位于x軸上方，PA_ PF .(1) 求點P的坐標；(2) 設M是橢圓長軸AB上的一點，M至V直線AP 的距離等于| MB |，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.這個考題具有一定的代表性，熟悉橢圓的焦點等概念，兩條直線的垂直關系， 點到直線的距離，定點到曲線上的動點的距離的最值等基本要求.(2) 解析幾何中有許多解題技巧和各種各樣的結論，如果死記硬背一些解題技

8、巧或結論，這對分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)是很不利的， 處理不當只會增加 學生的心理負擔，使其畏懼數(shù)學，從而厭倦數(shù)學，不能達到教學效果，學生也沒 有收獲.一方面對這些技巧和結論可以少講， 選擇例題的時候目標很明確，使利 用基本方法來解比利用技巧來解更有效；另一方面可以對這些技巧或方法進行分 析研究，指出它們的利弊.例題3已知曲線x2 4y2 =16上有兩點P和Q，O為坐標原點，又OP、OQ的 斜率之積為1，問|op2 +|oq|2是否為定值？4例題4 問題：已知曲線Ci : xy 2x0與曲線C2 :xy y 0有兩個公共點，求經過這兩個公共點的直線方程.”的解法如下：解:曲線Ci方程與曲線C

9、2方程相加得3x y 20，這就是所求的直線方程. 理由：（1）兩個方程相加后得到的方程表示直線；（2）公共點的坐標滿足曲線Ci 方程與曲線C2方程，則它就滿足相加后得到的方程；（3）兩點確定一條直線. 利用上述方法解下列問題：若曲線x2 2y2 =1與曲線3y2二ax b有且只有3個公共點，且它們不共線，則 經過這3個公共點的圓的方程是 .四、關注研究性學習，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新實踐能力由于解析幾何知識內容豐富，與其它數(shù)學知識關系密切，所以值得研究的數(shù) 學素材很多，復習時可以注意復習方式的改善.（1）可以采用專題研究學習的形式，教師設計一些專題，讓學生去做研究和整理.如讓學生去整理總結過拋物線

10、焦點的直線與拋物線相交于兩點時，會有哪些有意義的結論；如舉例說明求動點的軌跡方程的方法； 如探究求直線被曲線截得 的線段的中點的軌跡的各種方法，又如可以研究與圓錐曲線有關的定值、 定點問 題等等，這種學習方法使學生不知不覺就翻閱了許多資料，理解問題的能力得到鍛煉.（2）研究性課程已經作為新課程，另外近年來高考中增加了探索性、研究性等 能力型試題，其本質是突出對探究精神，創(chuàng)造能力與綜合素質的考查，教師精心 設計問題進行研究性學習，激發(fā)學生興趣，啟發(fā)學生思維，引導學生主動參與到 數(shù)學研究過程中，鼓勵學生自主學習，提出問題，合作探究，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和實 踐能力，在此過程中獲取對知識和情感的親身體驗.例

11、題5 （2003春季第21題）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點 對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線 PM、PN的斜率都存在，并記 為kpM、kpN時，那么kpM與kpN之積是與點P位置無關的定值.試對雙曲線2 2務一每=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明.a b學生解決這個問題不難，用的方法也是很基本的，關鍵是通過這個問題，怎 樣讓學生提出新的問題進行研究， 進而不斷有新的發(fā)現(xiàn)和新的創(chuàng)造，從而使學生 對數(shù)學入迷.解決這個問題的過程中，學生先后提出了下面幾個問題： 問題1:怎么會想到有這樣的結論？問題2:拋物線有類似的結論嗎？問題3:怎么會有這樣的結論？問題4:關于二次曲線

12、定義的討論？ 問題1的解決不困難，圓有直徑所對的圓周角等于 90，但橢圓中顯然沒有這個 結論，可是把圓周角等于90改為兩直角邊所在直線的斜率乘積等于 -1時，就有 題目的大膽猜想了.問題2,由于圓、橢圓、雙曲線都是有對稱中心的曲線，而拋物線沒有，所以拋 物線似乎沒有這方面的結論.問題3本身就是一個挺怪的問題，這個問題是學生在課堂上提出的，其他學生對 此問題的反映是：還有這樣的問題，這就更加引起我的注意，后來我是通過設計 下面的問題來解決的.x= X,例題6 若對一個 直角坐標平面 上的點(x,y)作變換 .!，可以將圓y 二yC : x2 y2二r2變?yōu)闄E圓E: x2 4yr2 .設圓C的兩條

13、互相垂直的直徑 AB和CD， 且AB的斜率為k k=0，則在上述變換下，AB和CD變換為過橢圓中心的弦AB 和CD求弦AB和CD 所在的直線方程.這道題目本身值得研究的東西很多，如研究這種變換的各種性質，這里發(fā)現(xiàn) 通過變換之后，圓變成橢圓，圓中的弦AB的斜率由k k = 0變成k，所以，在圓 中的兩條互相垂直的弦的斜率乘積等于 -1時，變換到橢圓的兩條弦時，它們的 斜率的乘積還是定值，只是這個定值與變換有關，提出問題的學生對這樣的解釋 是能夠接受的.順便的，我在此基礎上提出下面新的問題，讓學生去探究這種變 換的新的價值，如這種變換可以很好的解釋橢圓中的平行弦的中點是過橢圓中心 的一條弦，又如設

14、計下面的問題來研究橢圓面積的計算： 例題7 已知點A 1, 0，點B 4,0 ，動點P到點B的距離等于到點A的距離的 兩倍.(1) 求動點P的軌跡C的方程；(2) 過動點P作x軸的垂線，垂足為Q，點M是線段PQ的中點，求動點M的 軌跡方程；(3) 關于平面圖形的面積有下面的定理(平面中的祖暅原理)：夾在兩條平行直線之間的兩個平面圖形，用平行于這兩條直線的任意直線截這兩 個圖形，如果這條直線被這兩個圖形截得的線段長相等， 那么這兩個圖形的面積相等.2 2利用這個定理求橢圓才気=1的面積，并說明你的推理過程學生對能用這樣的方法來求橢圓的面積感到很驚訝！又會紛紛提出類似于如何求二次曲線與直線圍成的區(qū)

15、域的面積的計算方法”等等問題，如果需要的話，下面這又是一個好問題：例題8已知拋物線y2px的一條弦AB的兩端點坐標分別 為A(xi, yj, B(X2,y2)，過AB的中點作x軸的平行線交拋物線 于C .(1)求證:S.abc_ % 心3 ；一 16p；分別過AC、BC的中點作x軸的平行線交拋物線于D、E，試求 ACD和 BCE面積之和與 ABC面積的關系；(3) 再對AD、CD、CE、BE接上法作圖，并類似地一直 繼續(xù)下去，若將拋物線被AB截得的封閉圖像的面積定義為所做出的三角形面積 之和的極限，求這個面積.關于問題4,是一個學生在課后對我提出的問題， 他說，解析幾何教材中圓、橢圓、雙曲線(它們的定義算相同)、