運動學(xué)剛體平面運動

1、第13章剛體的平面運動,目 錄,13.1 基本概念與運動分解 13.2 平面圖形內(nèi)各點的速度計算 13.3 平面圖形內(nèi)各點的加速度計算,運動學(xué),剛體的平面運動是工程上常見的一種運動，這是一種較為復(fù)雜的運動。對它的研究可以在研究剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動的基礎(chǔ)上，通過運動合成和分解的方法，將平面運動分解為上述兩種基本運動然后應(yīng)用合成運動的理論，推導(dǎo)出平面運動剛體上一點的速度和加速度的計算公式,運動學(xué),13.1 剛體平面運動的概述和運動分解,一平面運動的定義 在運動過程中，剛體上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變。也就是說，剛體上任一點都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運動，具有這種特點的運動稱為剛體

2、的平面運動,例如： 曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿AB的運動， A點作圓周運動，B點作直線運動，因此，AB 桿的運動既不是平動也不是定軸轉(zhuǎn)動，而是平面運動,運動學(xué),運動學(xué),請看動畫,運動學(xué),二平面運動的簡化 剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運動。 即在研究平面運動時，不需考慮剛體的形狀和尺寸，只需研究平面圖形的運動，確定平面圖形上各點的速度和加速度,運動學(xué),三平面運動方程 為了確定代表平面運動剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置,任意線段AB的位置可用A點的坐標(biāo)和AB與x軸夾角表示，因此圖形S 的位置決定于三個獨立的參變量。所以,四平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動 當(dāng)圖

3、形上點不動時，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動； 當(dāng)圖形上 角不變時，則剛體作平動； 故剛體平面運動可以看成是平動和轉(zhuǎn)動的合成運動,運動學(xué),運動學(xué),例如車輪的運動,車輪的平面運動可以看成是車輪隨同車廂的平動和相對車廂的轉(zhuǎn)動的合成,車輪對于靜系的平面運動 （絕對運動） 車廂（動系A(chǔ)x y ) 相對靜系的平動 （牽連運動） 車輪相對車廂（動系A(chǔ)x y）的轉(zhuǎn)動 （相對運動,運動學(xué),我們稱動系上的原點為基點，于是,車輪的平面運動,隨基點A的平動,繞基點A的轉(zhuǎn)動,剛體的平面運動可以分解為隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動,運動學(xué),再例如：平面圖形在時間內(nèi)從位置I運動到位置II,1.以A為基點: 隨基點A平動到AB 后,繞基點轉(zhuǎn)

4、 角到AB 2.以B為基點: 隨基點B平動到AB 后, 繞基點轉(zhuǎn) 角到AB 圖中看出：AB AB AB ，。于是有,運動學(xué),所以，平面運動隨基點平動的運動規(guī)律與基點的選擇有關(guān)，而繞基點轉(zhuǎn)動的規(guī)律與基點選取無關(guān)。(即在同一瞬間，圖形繞任一基點轉(zhuǎn)動的 、 都是相同的）基點的選取是任意的。(通常選取運動情況已知的點作為基點,運動學(xué),曲柄連桿機(jī)構(gòu),AB桿作平面運動 平面運動的分解,請看動畫,13.2 平面圖形內(nèi)各點的速度計算,運動學(xué),一、基點法，又稱為合成法,取B為動點, 則B點的運動可視為牽連運動為平動和相對運動為圓周運動的合成,已知：圖形S內(nèi)一點A的速度， 圖形角速度求,指向與 轉(zhuǎn)向一致,取A為基

5、點, 將動系固結(jié)于A點, 動系作平動,由于A、 B點是任意的，因此 表示了圖形上任意兩點速度間的關(guān)系。由于恒有 ，因此將上式在AB上投影，有,速度投影定理,即平面圖形上任意兩點的速度在該兩點連線上的投影彼此相等。這種求解速度的方法稱為 速度投影法,運動學(xué),即平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的速度的矢量和。這種求解速度的方法稱為基點法，也稱為合成法。它是求解平面圖形內(nèi)一點速度的基本方法,速度投影法,1. 問題的提出 若選取速度為零的點作為基點，求解速度問題的計算會大大簡化于是，自然會提出，在某一瞬時圖形是否有一點速度等于零？如果存在的話，該點如何確定,運動學(xué),速度瞬心的

6、概念 平面圖形S，某瞬時其上一點A速度 ， 圖形角速度，沿 方向取半直線AL， 然后 順 的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至AL的位置，在AL上取長 度 則,二、瞬心法,即在某一瞬時必唯一存在一點速度等于零，該點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心,運動學(xué),幾種確定速度瞬心位置的方法,已知圖形上一點的速度 和圖形角速度， 可以確定速度瞬心的位置。（P點） 且在 順轉(zhuǎn)向繞A點 轉(zhuǎn)90的方向一側(cè),已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾 動， 則圖形與固定面的接觸點P為速度瞬 心,運動學(xué),已知某瞬間平面圖形上A,B兩點速度 的方向，且 。過 A 、 B兩點分別作速度 的垂線， 交點 P即為該瞬間的速度瞬心,

7、運動學(xué),另：對種(a)的情況，若vAvB， 則是瞬時平動,已知某瞬時圖形上A,B兩點的速度方向相同，且不與AB連線 垂直。此時， 圖形的瞬心在無窮遠(yuǎn)處,圖形的角速度 =0， 圖形上各點速度相等，這種情況稱為瞬時平動。 (此時各點 的加速度不相等,例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時，連桿BC作瞬時平動,此時連桿BC的圖形角速度 ，BC桿上各點的速度都相等，但各點的加速度并不相等。 設(shè)勻角速度，則,而的方向沿AC的， 瞬時平動與平動不同,運動學(xué),速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面圖形上點的速度的方法，稱為速度瞬心法。 平面圖形在任一瞬時的運動可以視為繞速度瞬心的瞬時轉(zhuǎn)動，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉(zhuǎn)動

8、中心。 若P點為速度瞬心，則任意一點A的速度大小為 ，方向AP，指向與 一致,運動學(xué),注意的問題 速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時間不斷變化的。在任一瞬時是唯一存在的。 速度瞬心處的速度為零, 加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動。 剛體作瞬時平動時，雖然各點的速度相同，但各點的加速度是不一定相同的。不同于剛體作平動,解：機(jī)構(gòu)中，OA作定軸轉(zhuǎn)動，AB作平面運動，滑塊B作平動,基點法（合成法） 研究 AB，以 A為基點，且方向如圖示,運動學(xué),例1 已知：曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA=AB=l，取柄OA以勻 轉(zhuǎn)動。 求：當(dāng) =45時， 滑塊B的速度及AB桿的角速度,試比較上述三種方法的特點,運動學(xué),

9、根據(jù)速度投影定理,不能求出,速度投影法 研究AB, , 方向OA, 方向沿BO直線,速度瞬心法 研究AB，已知的方向，因此 可確定出P點為速度瞬心,13.3 平面圖形內(nèi)各點的加速度計算,取A為基點，將平動坐標(biāo)系固結(jié)于A點取B動點，則B點的運動分解為相對運動為圓周運動和牽連運動為平動,于是由牽連平動時加速度合成定理可得如下公式,運動學(xué),已知：圖形S 內(nèi)一點A 的加速度 和圖形 的 、 （某一瞬時）。 求：該瞬時圖形上任一點B的加速度,其中：，方向AB，指向與 一致； ，方向沿AB，指向A點,運動學(xué),即平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。

10、 這種求解加速度的方法稱為基點法，也稱為合成法。是求解平面圖形內(nèi)一點加速度的基本方法,上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個要素，方能求 出其余兩個。由于 方位總是已知，所以在使用該公式中，只要再知道四個要素，即可解出問題的待求量,分析： 大小 ？ w 2 方向 ？ 故應(yīng)先求出,運動學(xué),例2 半徑為R的車輪沿直線作純滾動,已知輪心O點的速度 及加速度 ，求車輪與軌道接觸點P的加速度,解：輪O作平面運動，P為速度瞬心,由于此式在任何瞬時都成立，且O點作直線運動，故而,由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。當(dāng)車輪沿固定的直線軌道作純滾動時，其速度瞬心P的加速度指向輪心,運動學(xué)

11、,以O(shè)為基點，有 其中： 做出加速度矢量圖，由圖中看出： （ 與 等值反向） 即,解：(a) AB作平動,運動學(xué),例3 已知O1A=O2B, 圖示瞬時 O1A/O2B。 試問(a)、(b)兩種情況下1和 2，1和2是否相等,a,b,b) AB作平面運動, 圖示瞬時作瞬時平動, 此時,運動學(xué),運動學(xué),例4 曲柄滾輪機(jī)構(gòu)，滾子半徑R=15cm， n =60 rpm。求：當(dāng) =60時 (OAAB)，滾輪的,翻頁請看動畫,請看動畫,運動學(xué),例4 曲柄滾輪機(jī)構(gòu),解：OA定軸轉(zhuǎn)動，AB桿和輪B作平面運動 研究AB,P為其速度瞬心,運動學(xué),分析： 要想求出滾輪的、 先要求出 vB, aB,P1,P2為輪速度

12、瞬心,運動學(xué),取A為基點,指向O點,大??？ ？ 方向,作加速度矢量圖，將上式向BA線上投影,例5 曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)。已知：OA=0.15m ， n=300 rpm ，AB=0.76m， BC=BD=0.53m。圖示位置時，AB水平 求該位置時的、 及,運動學(xué),翻頁請看動畫,請看動畫,運動學(xué),例5 曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu),解：OA，BC作定軸轉(zhuǎn)動， AB，BD均作平面運動 根據(jù)題意： 研究AB， P為其速度瞬心,運動學(xué),研究BD，P2為其速度瞬心，BDP2為等邊三角形DP2=BP2=BD,例6 平面機(jī)構(gòu)中，楔塊M： =30，v=12cm/s ；盤： r = 4cm ，與 楔塊間無滑動。求圓盤的及軸O的速度和B點速度,運動學(xué),請看動畫,解：軸O， 桿OC， 楔塊M均作平動， 圓盤作平面運動，P為速度瞬心,運動學(xué),例6 平面機(jī)構(gòu)中， 楔塊M： =30，v=12cm/s ；盤： r = 4cm ，與 楔塊間無滑動。求圓盤的及軸O的速度和B點速度,解：OA定軸轉(zhuǎn)動 ； AB、 BC均作平面運動，滑塊B和C均作平動,求,對AB桿應(yīng)用速度投影定理,對BC桿應(yīng)用速度投影定理,運動學(xué),例7 已知：配氣機(jī)構(gòu)中，OA= r , 以等 o轉(zhuǎn)動,