有理數(shù)知識點總結 (2)

1、. 有理數(shù)基礎知識正數(shù)和負數(shù)正數(shù)和負數(shù)的概念負數(shù)：比0小的數(shù) 正數(shù)：比0大的數(shù) 0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)注意：字母a可以表示任意數(shù)，當a表示正數(shù)時，-a是負數(shù)；當a表示負數(shù)時，-a是正數(shù)；當a表示0時，-a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號的數(shù)是正數(shù)，帶負號的數(shù)是負數(shù)，這種說法是錯誤的，例如+a,-a就不能做出簡單判斷）正數(shù)有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數(shù)的符號是正號。2. 具有相反意義的量若正數(shù)表示某種意義的量，則負數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：零上8表示為：+8；零下8表示為：-83.0表示的意義0表示“ 沒有”，如教室里有0個人，就是說教室里沒

2、有人；0是正數(shù)和負數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。如：有理數(shù)1. 有理數(shù)的概念正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)正整數(shù)，0，負整數(shù)，正分數(shù)，負分數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。理解：只有能化成分數(shù)的數(shù)才是有理數(shù)。是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分數(shù)形式，不是有理數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分數(shù)，都是有理數(shù)。注意：引入負數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴大了，像-2,-4,-6,-8也是偶數(shù)，-1,-3,-5也是奇數(shù)。2. 有理數(shù)的分類按有理數(shù)的意義分類 按正、負來分 正整數(shù) 正整數(shù) 整數(shù) 0 正有理數(shù) 負整數(shù) 正分數(shù)有理數(shù) 有理數(shù) 0 （

3、0不能忽視） 正分數(shù) 負整數(shù) 分數(shù) 負有理數(shù) 負分數(shù) 負分數(shù)總結：正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負整數(shù)（也叫自然數(shù)） 負整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù) 正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負有理數(shù) 負有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù)數(shù)軸數(shù)軸的概念規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。注意：數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線；原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可；同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一；數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實際需要規(guī)定的。 2.數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，正有理數(shù)可用原點右邊的點表示，負有理數(shù)可用原點左邊的點表示，0用原點表示。所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，但數(shù)軸上的點不都

4、表示有理數(shù)，也就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是一一對應關系。（如，數(shù)軸上的點不是有理數(shù)） 3.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)比較，距離原點遠的數(shù)比距離原點近的數(shù)小。4.數(shù)軸上特殊的最大（?。?shù)最小的自然數(shù)是0，無最大的自然數(shù)；最小的正整數(shù)是1，無最大的正整數(shù)；最大的負整數(shù)是-1，無最小的負整數(shù)5.a可以表示什么數(shù)a0表示a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，則a0；a0表示a是負數(shù)；反之，a是負數(shù)，則a0時，-a0（正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)）當a0（負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）當a=0時，-a=0，（0的相反數(shù)是0）6.多重符號的化簡多

5、重符號的化簡規(guī)律:“+”號的個數(shù)不影響化簡的結果，可以直接省略；“-”號的個數(shù)決定最后化簡結果；即：“-”的個數(shù)是奇數(shù)時，結果為負，“-”的個數(shù)是偶數(shù)時，結果為正。絕對值絕對值的幾何定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|。2.絕對值的代數(shù)定義一個正數(shù)的絕對值是它本身； 一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)； 0的絕對值是0.可用字母表示為：如果a0，那么|a|=a； 如果a0，那么|a|=-a； 如果a=0，那么|a|=0?？蓺w納為：a0， |a|=a （非負數(shù)的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數(shù)是非負數(shù)。）a0， |a|=-a （非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)；絕對值等于其

6、相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）3.絕對值的性質任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，也就是說絕對值具有非負性。所以，a取任何有理數(shù)，都有|a|0。即0的絕對值是0；絕對值是0的數(shù)是0.即：a=0 |a|=0；一個數(shù)的絕對值是非負數(shù)，絕對值最小的數(shù)是0.即：|a|0；任何數(shù)的絕對值都不小于原數(shù)。即：|a|a；絕對值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a（a0），則x=a；互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；絕對值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b；若幾個數(shù)的絕對值的和等于0，則這幾個數(shù)就同時為0。即|a|+|b|

7、=0，則a=0且b=0。（非負數(shù)的常用性質：若幾個非負數(shù)的和為0，則有且只有這幾個非負數(shù)同時為0）4.有理數(shù)大小的比較利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個數(shù)相比較，左邊的總比右邊的??；利用絕對值比較兩個負數(shù)的大?。簝蓚€負數(shù)比較大小，絕對值大的反而??；異號兩數(shù)比較大小，正數(shù)大于負數(shù)。5.絕對值的化簡當a0時， |a|=a ； 當a0時， |a|=-a 6.已知一個數(shù)的絕對值，求這個數(shù)一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離，一般地，絕對值為同一個正數(shù)的有理數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)，絕對值為0的數(shù)是0，沒有絕對值為負數(shù)的數(shù)。有理數(shù)的加減法1.有理數(shù)的加法法則同號兩數(shù)相加，取相同的符號，

8、并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；一個數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。2.有理數(shù)加法的運算律加法交換律：a+b=b+a加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)在運用運算律時，一定要根據(jù)需要靈活運用，以達到化簡的目的，通常有下列規(guī)律：互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加“相反數(shù)結合法”；符號相同的兩個數(shù)先相加“同號結合法”；分母相同的數(shù)先相加“同分母結合法”；幾個數(shù)相加得到整數(shù)，先相加“湊整法”；整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加“同形結合法”。3.加法性質一個數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負數(shù)后的和比原數(shù)??；加0后的和等于原

9、數(shù)。即：當b0時，a+ba 當b0時，a+ba 當b=0時，a+b=a4.有理數(shù)減法法則減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。5.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義在有理數(shù)加減法混合運算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉化成加法后，再按照加法法則進行計算。在和式里，通常把各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法：按這個式子表示的意義讀作“負8、負7、負6、正5的和”按運算意義讀作“負8減7減6加5”6.有理數(shù)加減混合運算中運用結合律時的一些技巧：.把符號相同的加數(shù)相結合（

10、同號結合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （將減法轉換成加法）=-33+18-15-1+23 （省略加號和括號）=(-33-15-1)+(18+23) （把符號相同的加數(shù)相結合）=-49+41 （運用加法法則一進行運算）=-8 （運用加法法則二進行運算）.把和為整數(shù)的加數(shù)相結合 （湊整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （將減法轉換成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加號和括

11、號）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和為整數(shù)的加數(shù)相結合）=4-10+3.8 （運用加法法則進行運算）=7.8-10 （把符號相同的加數(shù)相結合，并進行運算）=-2.2 （得出結論）.把分母相同或便于通分的加數(shù)相結合（同分母結合法）-+-+-原式=(-)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1.既有小數(shù)又有分數(shù)的運算要統(tǒng)一后再結合（先統(tǒng)一后結合） (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10.把帶分數(shù)拆分后再結合（先拆分后

12、結合）-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1+=-1+-.分組結合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0.先拆項后結合（1+3+5+7+99）-（2+4+6+8+100）有理數(shù)的乘除法1.有理數(shù)的乘法法則法則一：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（“同號得正，異號得負”專指“兩數(shù)相乘”的情況，如果因數(shù)超過兩個，就必須運用法則三）法則二：任何數(shù)同0相乘，都得0；法則三：幾個不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù)；法則四

13、：幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,則積等于0.2.倒數(shù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a=1（a0），就是說a和互為倒數(shù)，即a是的倒數(shù)，是a的倒數(shù)。注意：0沒有倒數(shù)；求假分數(shù)或真分數(shù)的倒數(shù)，只要把這個分數(shù)的分子、分母點顛倒位置即可；求帶分數(shù)的倒數(shù)時，先把帶分數(shù)化為假分數(shù)，再把分子、分母顛倒位置；正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。（求一個數(shù)的倒數(shù)，不改變這個數(shù)的性質）；倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括0。3.有理數(shù)的乘法運算律乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即ab=ba乘法結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即(ab)c=a(bc).乘法分配律：一般地，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加。即a(b+c)=ab+ac4.有理數(shù)的除法法則（1）除以一個不等0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。（2）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得05.有理數(shù)的乘除混合運算（1）乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。（2）有理數(shù)的加減乘除混合運算，如無括號指出先做什么運算，則按照先乘除，后加減的順序進行。 有理數(shù)的乘方1.乘方的概念求n 個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方