抽象函數(shù)-題型大全例題-含答案

1、高考抽象函數(shù)技巧總結(jié)由于函數(shù)概念比較抽象，學(xué)生對(duì)解有關(guān)函數(shù)記號(hào)的問(wèn)題感到困難，學(xué)好這部分知識(shí)，能加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)靈活性；提高解題能力，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)?，F(xiàn)將常見(jiàn)解法及意義總結(jié)如下：一、求表達(dá)式：1.換元法：即用中間變量表示原自變量的代數(shù)式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力。例1：已知 ,求.解：設(shè),則2.湊合法：在已知的條件下，把并湊成以表示的代數(shù)式，再利用代換即可求.此解法簡(jiǎn)潔，還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法。 例2：已知，求解：又，(|1)3.待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未

2、知系數(shù)。例3 已知二次實(shí)函數(shù)，且+2+4,求.解:設(shè)=，則=比較系數(shù)得4.利用函數(shù)性質(zhì)法:主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.例4.已知=為奇函數(shù),當(dāng) 0時(shí),求解:為奇函數(shù)，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故先求0,為奇函數(shù)，當(dāng)0時(shí)例5一已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且有+， 求,.解：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，,不妨用-代換+= 中的,即顯見(jiàn)+即可消去,求出函數(shù)再代入求出5.賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出的表達(dá)式例6：設(shè)的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，且滿足條件,及=1,求解：的定義域?yàn)镹，取=1,則有=1,=+2,以上各式相加，有=1+2+3+=二、利用函數(shù)性質(zhì)，解的有關(guān)問(wèn)題1.判斷函數(shù)的奇偶性：例7

3、已知,對(duì)一切實(shí)數(shù)、都成立，且,求證為偶函數(shù)。證明：令=0, 則已知等式變?yōu)樵谥辛?0則2=2 0=1為偶函數(shù)。2.確定參數(shù)的取值范圍例8：奇函數(shù)在定義域（-1，1）內(nèi)遞減，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由得，為函數(shù)，又在（-1，1）內(nèi)遞減，3.解不定式的有關(guān)題目 例9：如果=對(duì)任意的有,比較的大小解：對(duì)任意有=2為拋物線=的對(duì)稱軸又其開(kāi)口向上(2)最小，(1)=(3)在2，)上，為增函數(shù)(3)(4),(2)(1)(4) 五類抽象函數(shù)解法1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)線性函數(shù)型抽象函數(shù)，是由線性函數(shù)抽象而得的函數(shù)。例1、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）

4、0，f（1）2，求f（x）在區(qū)間2，1上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)f（x）是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)f（x）的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)，當(dāng)，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域?yàn)?，2。例2、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意，滿足條件f（x）f（y）2 + f（xy），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 分析：由題設(shè)條件可猜測(cè)：f（x）是yx2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的

5、函數(shù)符號(hào)，從而可求得不等式的解。 解：設(shè)，當(dāng)，則， 即，f（x）為單調(diào)增函數(shù)。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解為1 a 0時(shí)，0f(x)0的結(jié)論。這是解題的關(guān)鍵性步驟，完成這些要在抽象函數(shù)式中進(jìn)行。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類比思維都有助于問(wèn)題的思考和解決。定義在R上的函數(shù)滿足：且，求的值。 解：由， 以代入，有， 為奇函數(shù)且有 又由 故是周期為8的周期函數(shù)， 例2 已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，求在上的值域。 解：設(shè) 且， 則， 由條件當(dāng)時(shí)， 又 為增函數(shù)， 令，則 又令 得 ， 故為奇函數(shù)， ， 上的值域?yàn)槎? 求參數(shù)范圍 這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)

6、鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。 例3 已知是定義在（）上的偶函數(shù)，且在（0，1）上為增函數(shù)，滿足，試確定的取值范圍。 解：是偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)， 由得。 （1）當(dāng)時(shí)， ，不等式不成立。 （2）當(dāng)時(shí)， （3）當(dāng)時(shí)， 綜上所述，所求的取值范圍是。例4 已知是定義在上的減函數(shù)，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解： 對(duì)恒成立 對(duì)恒成立 對(duì)恒成立， 三. 解不等式 這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，再通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。 例5 已知函數(shù)對(duì)任

7、意有，當(dāng)時(shí)，求不等式的解集。 解：設(shè)且 則 ， 即， 故為增函數(shù)， 又 因此不等式的解集為。四. 證明某些問(wèn)題 例6 設(shè)定義在R上且對(duì)任意的有，求證：是周期函數(shù)，并找出它的一個(gè)周期。 分析：這同樣是沒(méi)有給出函數(shù)表達(dá)式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關(guān)系式進(jìn)行遞推，若能得出（T為非零常數(shù)）則為周期函數(shù)，且周期為T。 證明： 得 由（3）得 由（3）和（4）得。 上式對(duì)任意都成立，因此是周期函數(shù)，且周期為6。 例7 已知對(duì)一切，滿足，且當(dāng)時(shí)，求證：（1）時(shí)，（2）在R上為減函數(shù)。 證明：對(duì)一切有。 且，令，得， 現(xiàn)設(shè)，則， 而 ， 設(shè)且， 則 ， 即為減函數(shù)。五. 綜合問(wèn)題求解 抽象函數(shù)的綜合問(wèn)題

8、一般難度較大，常涉及到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，抽象思維程度要求較高，解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)“”前的“負(fù)號(hào)”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“”。 例8 設(shè)函數(shù)定義在R上，當(dāng)時(shí)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)。 （1）證明； （2）證明：在R上是增函數(shù)； （3）設(shè)， ，若，求滿足的條件。 解：（1）令得， 或。 若，當(dāng)時(shí)，有，這與當(dāng)時(shí)，矛盾， 。 （2）設(shè)，則，由已知得，因?yàn)椋魰r(shí)，由 （3）由得 由得 （2） 從（1）、（2）中消去得，因?yàn)?， 即 例9 定義在（）上的函數(shù)滿足（1），對(duì)任意都有， （2）當(dāng)時(shí)，有， （1）試判斷的奇偶性；（2）判斷的單調(diào)性；

9、 （3）求證。 分析：這是一道以抽象函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，再以這些性質(zhì)為基礎(chǔ)去研究數(shù)列求和的綜合題。 解：（1）對(duì)條件中的，令，再令可得 ，所以是奇函數(shù)。 （2）設(shè)，則 ， ，由條件（2）知，從而有，即，故上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，在（0，1）上仍是單調(diào)減函數(shù)。 （3） 抽象函數(shù)問(wèn)題分類解析 我們將沒(méi)有明確給出解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。近年來(lái)抽象函數(shù)問(wèn)題頻頻出現(xiàn)于各類考試題中，由于這類問(wèn)題抽象性強(qiáng)，靈活性大，多數(shù)同學(xué)感到困惑，求解無(wú)從下手。本文試圖通過(guò)實(shí)例作分類解析，供學(xué)習(xí)參考。 1. 求定義域 這類問(wèn)題只要緊緊抓?。簩⒑瘮?shù)中的看作一個(gè)整體，相當(dāng)于中的x這一特性，問(wèn)題就會(huì)迎

10、刃而解。 例1. 函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是_。 分析：因?yàn)橄喈?dāng)于中的x，所以，解得或。 例2. 已知的定義域?yàn)?，則的定義域是_。 分析：因?yàn)榧熬喈?dāng)于中的x，所以 (1)當(dāng)時(shí)，則 (2)當(dāng)時(shí)，則 2. 判斷奇偶性 根據(jù)已知條件，通過(guò)恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求與的關(guān)系。 例3. 已知的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足，求證：是偶函數(shù)。 分析：在中，令， 得 令，得 于是 故是偶函數(shù)。 例4. 若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求證：函數(shù)是偶函數(shù)。 證明：設(shè)圖象上任意一點(diǎn)為P（） 與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上， 又 即對(duì)于函數(shù)定義域上的任意x都有，所以是偶函數(shù)。 3. 判斷單調(diào)

11、性 根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問(wèn)題迅速獲解。 例5. 如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且有最小值為5，那么在區(qū)間上是 A. 增函數(shù)且最小值為B. 增函數(shù)且最大值為 C. 減函數(shù)且最小值為D. 減函數(shù)且最大值為 分析：畫(huà)出滿足題意的示意圖1，易知選B。圖1 例6. 已知偶函數(shù)在上是減函數(shù)，問(wèn)在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。 分析：如圖2所示，易知在上是增函數(shù)，證明如下： 任取 因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以。 又是偶函數(shù)，所以 ， 從而，故在上是增函數(shù)。 圖2 4. 探求周期性 這類問(wèn)題較抽象，一般解法是仔細(xì)分析題設(shè)條件，通過(guò)類似，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過(guò)對(duì)函數(shù)原型的

12、分析或賦值迭代，獲得問(wèn)題的解。 例7. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意的x，y有，并存在正實(shí)數(shù)c，使。試問(wèn)是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。 分析：仔細(xì)觀察分析條件，聯(lián)想三角公式，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：滿足題設(shè)條件，且，猜測(cè)是以2c為周期的周期函數(shù)。 故是周期函數(shù)，2c是它的一個(gè)周期。 5. 求函數(shù)值 緊扣已知條件進(jìn)行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過(guò)程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問(wèn)題巧妙獲解。 例8. 已知的定義域?yàn)?，且?duì)一切正實(shí)數(shù)x，y都成立，若，則_。 分析：在條件中，令，得 ， 又令， 得， 例9. 已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足：，求的值。 分析：緊

13、扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)是周期函數(shù)，顯然，于是 ， 所以 故是以8為周期的周期函數(shù)，從而 6. 比較函數(shù)值大小 利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問(wèn)題獲解。 例10. 已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，時(shí)，是增函數(shù)，若，且，則的大小關(guān)系是_。 分析：且， 又時(shí)，是增函數(shù)， 是偶函數(shù)， 故7. 討論方程根的問(wèn)題 例11. 已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足，并且有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根之和是_。 分析：由知直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸。 又有三個(gè)實(shí)根，由對(duì)稱性知必是方程的一個(gè)根，其余兩根關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故。 8. 討論不等式的解 求解這類問(wèn)題利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)

14、行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號(hào)。 例12. 已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求k的值。 分析：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號(hào)，得 由題意知(1)(2)兩式對(duì)一切恒成立，則有 9. 研究函數(shù)的圖象 這類問(wèn)題只要利用函數(shù)圖象變換的有關(guān)結(jié)論，就可獲解。 例13. 若函數(shù)是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線_對(duì)稱。 分析：的圖象的圖象，而是偶函數(shù)，對(duì)稱軸是，故的對(duì)稱軸是。 例14. 若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），則的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)_。 分析：的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），從而的圖象過(guò)點(diǎn)，由原函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的關(guān)系易知，的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)。10. 求解析式 例15. 設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，與的圖象關(guān)于直線

15、對(duì)稱，則函數(shù) A. B. C. D. 分析：要求的解析式，實(shí)質(zhì)上就是求圖象上任一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系。 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)適合，即。 又， 即，選B。抽象函數(shù)的周期問(wèn)題 2001年高考數(shù)學(xué)（文科）第22題：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱。對(duì)任意都有。 （I）設(shè)求； （II）證明是周期函數(shù)。 解析：（I）解略。 （II）證明：依題設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱 故 又由是偶函數(shù)知 將上式中以代換，得 這表明是上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期 是偶函數(shù)的實(shí)質(zhì)是的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 又的圖象關(guān)于對(duì)稱，可得是周期函數(shù) 且2是它的一個(gè)周期 由此進(jìn)行一般化推廣，我們得到 思考一：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)

16、于直線對(duì)稱，證明是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期。 證明：關(guān)于直線對(duì)稱 又由是偶函數(shù)知 將上式中以代換，得 是上的周期函數(shù) 且是它的一個(gè)周期 思考二：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于直線和對(duì)稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期。 證明：關(guān)于直線對(duì)稱 將上式的以代換得 是上的周期函數(shù) 且是它的一個(gè)周期 若把這道高考題中的“偶函數(shù)”換成“奇函數(shù)”，還是不是周期函數(shù)？經(jīng)過(guò)探索，我們得到 思考三：設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱。證明是周期函數(shù)，且4是它的一個(gè)周期。， 證明：關(guān)于對(duì)稱 又由是奇函數(shù)知 將上式的以代換，得 是上的周期函數(shù) 且4是它的一個(gè)周期 是奇函數(shù)的實(shí)質(zhì)是的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）中心

17、對(duì)稱，又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得是周期函數(shù)，且4是它的一個(gè)周期。由此進(jìn)行一般化推廣，我們得到 思考四：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期。 證明：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于直線對(duì)稱 將上式中的以代換，得 是上的周期函數(shù) 且是它的一個(gè)周期 由上我們發(fā)現(xiàn)，定義在上的函數(shù)，其圖象若有兩條對(duì)稱軸或一個(gè)對(duì)稱中心和一條對(duì)稱軸，則是上的周期函數(shù)。進(jìn)一步我們想到，定義在上的函數(shù)，其圖象如果有兩個(gè)對(duì)稱中心，那么是否為周期函數(shù)呢？經(jīng)過(guò)探索，我們得到 思考五：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)和對(duì)稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期。 證明：關(guān)于對(duì)稱 將上式中的以代

18、換，得 是周期函數(shù) 且是它的一個(gè)周期抽象函數(shù)解法例談 抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點(diǎn)的函數(shù)值,特定的運(yùn)算性質(zhì)等,它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn),也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn),由于抽象函數(shù)沒(méi)有具體的解析表達(dá)式作為載體,因此理解研究起來(lái)比較困難.但由于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質(zhì),又能考查學(xué)生的思維能力,所以備受命題者的青睞,那么,怎樣求解抽象函數(shù)問(wèn)題呢,我們可以利用特殊模型法,函數(shù)性質(zhì)法,特殊化方法,聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法,等多種方法從多角度,多層面去分析研究抽象函數(shù)問(wèn)題,一:函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)的特征是通過(guò)其性質(zhì)(如

19、奇偶性,單調(diào)性周期性,特殊點(diǎn)等)反應(yīng)出來(lái)的,抽象函數(shù)也是如此,只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì),靈活進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,抽象函數(shù)問(wèn)題才能轉(zhuǎn)化,化難為易,常用的解題方法有:1,利用奇偶性整體思考;2,利用單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化;3,利用周期性回歸已知4;利用對(duì)稱性數(shù)形結(jié)合;5,借助特殊點(diǎn),布列方程等.二:特殊化方法1在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí),一般用代換的方法,將x換成-x或?qū)換成等2在求函數(shù)值時(shí),可用特殊值代入3研究抽象函數(shù)的具體模型,用具體模型解選擇題,填空題,或由具體模型函數(shù)對(duì)綜合題,的解答提供思路和方法.總之,抽象函數(shù)問(wèn)題求解,用常規(guī)方法一般很難湊效,但我們?nèi)绻芡ㄟ^(guò)對(duì)題目的信息分析與研

20、究,采用特殊的方法和手段求解,往往會(huì)收到事半功倍之功效,真有些山窮水復(fù)疑無(wú)路,柳暗花明又一村的快感.1 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x、yR都有f(x+y)f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1若t為自然數(shù),(t0)試求f(t)的表達(dá)式滿足f(t)=t的所有整數(shù)t能否構(gòu)成等差數(shù)列?若能求出此數(shù)列,若不能說(shuō)明理由若t為自然數(shù)且t4時(shí), f(t) mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.2 已知函數(shù)f(x)= ,且f(x),g(x)定義域都是R,且g(x)0, g(1) =2,g(x) 是增函數(shù). g(m) g(n)= g(m+n)(m、nR) 求證：f(x)是R上的

21、增函數(shù)當(dāng)nN,n3時(shí),f(n)解: 設(shè)x1x2 g(x)是R上的增函數(shù), 且g(x)0 g(x1) g(x2) 0 g(x1)+1 g(x2)+1 0 0 - 0 f(x1)- f(x2)=- =1-(1-) =-0 f(x1) f(x2) f(x)是R上的增函數(shù) g(x) 滿足g(m) g(n)= g(m+n)(m、nR) 且g(x)0 g(n)= g(1)n=2n 當(dāng)nN,n3時(shí), 2nn f(n)=1- ，1- 2n（1+1）n1+n+n+12n+1 2n+12n+21-當(dāng)nN,n3時(shí),f(n)3 設(shè)f1(x) f2(x)是(0,+)上的函數(shù),且f1(x)單增,設(shè)f(x)= f1(x)

22、+f2(x) ,且對(duì)于(0,+)上的任意兩相異實(shí)數(shù)x1, x2恒有| f1(x1) f1(x2)| | f2(x1) f2(x2)|求證：f (x)在(0,+)上單增.設(shè)F(x)=x f (x), a0、b0.求證：F(a+b) F(a)+F(b) .證明:設(shè) x1x20f1(x) 在(0,+)上單增f1(x1) f1(x2)0| f1(x1) f1(x2)|= f1(x1) f1(x2)0| f1(x1) f1(x2)| | f2(x1) f2(x2)|f1(x2)- f1(x1)f2(x1) f2(x2) f1(x2)+ f2(x2)f(x1) f(x2)f (x)在(0,+)上單增F(x

23、)=x f (x), a0、b0a+ba0,a+bb0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (x)在(0,+)上單增F(a+b)af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)4 函數(shù)yf(x)滿足f(a+b)f (a)f (b)，f(4)16, m、n為互質(zhì)整數(shù)，n0求f()的值f(0) =f(0+0)=f(0) f(0)=f2(0)f(0) =0或1.若f(0)=0則f(4)=16=f(0+4)=f(0) f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2) f(2)=f(1) f(1) f(1) f(1)=16f(1)=f2()0f(1)=2.仿此可證得f(

24、a)0.即y=f(x)是非負(fù)函數(shù).f(0)=f(a+(-a)=f(a) f(-a)f(-a)=nN*時(shí)f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(+)=fn()=2f()= f()=f()m= 5 定義在（-1，1）上的函數(shù)f (x)滿足 任意x、y（-1，1）都有f(x)+ f(y)f ()，x（-1，0）時(shí)，有f(x) 01) 判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并說(shuō)明理由2) 判定f(x)在（-1，0）上的單調(diào)性，并給出證明3) 求證：f ()f ()f ()或f ()+f ()+f () f () (nN*) 解:1) 定義在（-1，1）上的函數(shù)f (x)滿足任意x、y（-1，1）都有f(x)+ f(y)f (),則當(dāng)y=0時(shí), f(x)+ f(0)f(x) f(0)=0 當(dāng)-x=y時(shí), f(x)+ f(-x)f(0) f(x)是（-1，1）上的奇函數(shù)2) 設(shè)0x1x2-1f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)=0x1x2-1 ,x（-1，0）時(shí)，有f(x) 0,1-x1 x20, x1-x200即f(x)在（-1，0）上單調(diào)遞增.3) f ()=f()=f( )=f()=f()-f()f ()+f ()+f ()=f()-f()+f()-f()+f()+f()-f()= f() -f()=f()