第六章 靜電場

1、第二篇 電場和磁場,電磁場討論電場和磁場、電磁場與物質(zhì)的相互,從而出現(xiàn)了現(xiàn)代社會(huì)中無處不見的電磁與光學(xué)設(shè)備和器件,在卡文迪許、庫侖、奧斯特和法拉第等對(duì)電磁現(xiàn)象和規(guī)律的深入研究和貢獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，1864年，麥克斯韋建立了統(tǒng)一完整的電磁學(xué)理論,作用以及電場和磁場的相互聯(lián)系等規(guī)律及其應(yīng)用,發(fā)電機(jī),電動(dòng)機(jī),射電望遠(yuǎn)鏡,雷達(dá),第六章 靜電場,6-1 電荷 庫侖定律,6-2 電場 電場強(qiáng)度,6-3 電場線 電場強(qiáng)度通量,6-4 高斯定理,6-5 靜電場力的功 電勢,6-6 等勢面 電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系,6-7 帶電粒子在外電場中受到的力及其運(yùn)動(dòng),靜電場,相對(duì)于觀察者靜止的電荷所產(chǎn)生的電場,一、電荷,1. 電

2、荷,帶電的物體稱為帶電體，小的帶電體稱電荷,2. 電荷的分類,3. 電荷量,物體所帶電荷的多少稱為電荷(量),單位 庫侖(C ),稱為靜電場,6-1 電荷 庫侖定律,4. 電荷守恒定律,在一個(gè)與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)不論發(fā)生,5. 電荷的量子化,一切帶電體的電荷量都是電子電荷量 e 的整數(shù)倍,保持不變,什么樣的過程系統(tǒng)內(nèi)一切正、負(fù)電荷的代數(shù)和總是,測量電子荷質(zhì)比的密立根油滴實(shí)驗(yàn),(理想模型),二、真空中的庫侖定律,1. 點(diǎn)電荷,d1,d2,當(dāng)線度 d1 和 d2 r,點(diǎn)電荷,點(diǎn)電荷,帶電體的線度與它們間的距離相較甚小時(shí)，,形狀、大小和電荷分布對(duì)相互作用力的影響可不計(jì),點(diǎn)電荷,2. 庫侖定律,

3、電荷間相互作用力的大小,扭秤實(shí)驗(yàn),1785年庫侖扭秤實(shí)驗(yàn)確定：,號(hào)電荷相吸,連線，同號(hào)電荷相斥，異,作用力的方向沿兩電荷的,間的距離r12的平方成反比，,的乘積成正比，與它們之,F12 與它們的電荷量q1、q2,真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn),大小,方向,沿 的連線，同性相斥，異性相吸,注意：,庫侖定律僅適用于兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的相互作用,實(shí)驗(yàn)證明，庫侖相互作用力滿足力的疊加原理,電荷 q 所受合力為,用矢量合成法計(jì)算,當(dāng)四個(gè)點(diǎn)電荷為同號(hào)電荷時(shí),具有可加性,一、電場及其表現(xiàn),2. 電場力,1. 電場,3. 靜電場,相對(duì)于觀察者靜止的電荷周圍的場,電荷,電荷,電場,4. 靜電場的最重要表現(xiàn),力,功,一種特殊形態(tài)

4、的物質(zhì),電荷的周圍存在電場，電荷通過電場相互作用,6-2 電場 電場強(qiáng)度,電荷間的相互作用力,二、電場強(qiáng)度,同一試驗(yàn)電荷q0,1. 試驗(yàn)電荷 q0,電荷量足夠小的點(diǎn)電荷,2. 實(shí)驗(yàn)表明,Q,大小,方向,q0置于場中某一確定點(diǎn)，其受力,受力的大小、方向不同,置于場中的不同點(diǎn),是確定的,結(jié)論,電場中某一確定點(diǎn)處的比值 (大小和方向),3. 電場強(qiáng)度,是矢量,大小,方向,正電荷在該點(diǎn)處受力的方向,單位,與試驗(yàn)電荷q0無關(guān),電場中某點(diǎn)的電場強(qiáng)度,該點(diǎn)處單位正電荷所受的力,三、點(diǎn)電荷的場強(qiáng),由定義， P 點(diǎn)處,大小,方向,Q,Q,庫侖定律給出點(diǎn)電荷Q 對(duì) P 點(diǎn)處q0的作用力為,p,p,+,-,Q 為正

5、，與 同向； Q 為負(fù)，與 反向,1. 點(diǎn)電荷系的場強(qiáng),P,場強(qiáng)疊加原理,四、電場強(qiáng)度疊加原理,P 點(diǎn)場強(qiáng),+,+,-,電偶極子,r,-q,+q,由等值異號(hào)的點(diǎn)電荷 +q 及-q 組成,條件,l r,P,電偶極矩(電矩),-q 到 +q 的徑矢,正電中心,分子偶極子,電偶極子的軸,+q,例題 6-1 已知電偶極子的電矩 ，求電偶極,-q,A,r,O,解,設(shè)O為電偶極子軸的中點(diǎn),子在它的軸的延長線上點(diǎn) A 的電場強(qiáng)度。,A點(diǎn)的電場強(qiáng)度,大小,方向,與電矩 的方向相同,又因 r l，故,在A點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為,P,2. 連續(xù)分布帶電體 Q 的場強(qiáng),Q,dq,Q,帶電體的電荷體密度為,分解,dq在

6、P 點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為,Q在P點(diǎn)的場強(qiáng)為,視為點(diǎn)電荷,dq,疊加,選電荷元dq,則,例題 6-2 均勻帶電細(xì)棒OA長為l，帶電荷量q，,O,A,解,y,x,x,l - x,在P點(diǎn)的場強(qiáng)大小,P,d,dq,電場強(qiáng)度，P與端點(diǎn)A的距離為d。,求通過棒的一個(gè)端點(diǎn) A與棒垂直的平面上一點(diǎn)P 的,其中,O,A,y,x,x,l - x,P,d,同理,dq,p,例題 6-3 電荷q均勻分布于半徑為R 的圓環(huán)L上，,R,x,x,dl,取弧元 dl,解,在P點(diǎn)的場強(qiáng) 的大小,方向,如圖,由于電荷分布的軸對(duì)稱性,L,所帶電荷量為,計(jì)算在環(huán)的軸線上與環(huán)心相距x的P點(diǎn)的電場強(qiáng)度。,又,方向沿軸線,P,例題 6-4 均勻帶

7、電圓盤半徑為R，電荷面密度s,R,r,解,圓盤視為由許,dq在P點(diǎn)的場強(qiáng)大小,x,x,因各 同向,則圓盤在P點(diǎn)的場強(qiáng),計(jì)算軸線上與盤心相距x的P點(diǎn)的電場強(qiáng)度。,多同心細(xì)圓環(huán)組成。,半徑r、寬dr 細(xì)圓環(huán),方向,沿x軸方向,當(dāng)R 時(shí)，,討論,無限大平面兩側(cè)的電場強(qiáng)度大小,大小,一、電場線,曲線上各點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn),1. 電場線,2. 電場線密度,單位橫截面積的電場線數(shù),P 點(diǎn)的電場線密度,P,P 點(diǎn)的 E,規(guī)定,6-3 電場線 電場強(qiáng)度通量,通過垂直于電場強(qiáng)度方向,電場中所作的一系列曲線,方向一致,3. 幾種典型電場的電場線,4. 電場線的性質(zhì),兩電場線不相交,始于正電荷,p,若相交，p點(diǎn)將有

8、兩場強(qiáng),有始,有終,不閉合,終于負(fù)電荷,二、電場強(qiáng)度通量,1. 平面dS 與 垂直,已規(guī)定,則,2. 平面dS 的法線矢量 與 交角為,dS,電場強(qiáng)度通量 =,dS,電場中通過某一曲面的電場線數(shù),3. 任意曲面S 的電場強(qiáng)度通量,dS,S,視為平面,選取面積元,4. 任意閉合曲面S 的電場強(qiáng)度通量,dS,S,向外法線,向外法線,dS,1. 點(diǎn)電荷在閉合曲面內(nèi),q,S,r,一、點(diǎn)電荷q 的電場中任意閉合曲面的電場強(qiáng)度通量,以q為中心、半徑任意的球面S 的電場強(qiáng)度通量,由庫侖定律得P 點(diǎn)場強(qiáng),P,dS,面積元dS的電場強(qiáng)度通量,對(duì)整個(gè)球面 S,6-4 高斯定理,以q為中心任意閉合曲面S 的電場強(qiáng)度

9、通量,q,S,S1,與球面 S1 通量相同,2. 點(diǎn)電荷在閉合曲面S 外,通過任意閉合曲面 S 的電場強(qiáng)度通量,0,( q在S內(nèi) ),( q在S外 ),q,S,S1,結(jié)論：,在點(diǎn)電荷 q 的電場中,二、點(diǎn)電荷系的電場中任意閉合曲面的電場強(qiáng)度通量,S,各電荷單獨(dú)存在時(shí),對(duì)點(diǎn)電荷系,三、高斯定理,等于該閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的 倍,S內(nèi)一切電荷代數(shù)和,空間所有電荷產(chǎn)生,高斯面S上積分,注意：,通過任一閉合曲面的電場強(qiáng)度通量,在靜電場中與庫侖定律等效,高斯定理由庫侖定律導(dǎo)出,由電荷分布的對(duì)稱性分析電場分布的對(duì)稱性,選取恰當(dāng)?shù)母咚姑?由高斯定理求出 的大小，并說明其方向,四、高斯定理應(yīng)用,可應(yīng)用

10、高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度,步驟如下：,具有某種對(duì)稱性的電場,例題 6-5 半徑為R、均勻帶正電 +q 的球面，,O,解,取半徑為 r 的同心球面 S 為高斯面，則,r R,r R,+q,求球面內(nèi)、外及球面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度。,例題 6-6 電荷線密度為+l的無限長帶電直線，,解,過P 點(diǎn)作閉合圓柱面S，則,因,求與帶電直線相距 r 的一點(diǎn) P 的電場強(qiáng)度。,例題 6-7 無限大均勻帶電平面電荷面密度為 ，,作閉合圓柱面S,解,與圓柱側(cè)面法向垂直，,與左、右底法向平行，故,S,求與平面距離為 r 的一點(diǎn) P 的電場強(qiáng)度。,方向垂直于板面,對(duì)兩無限大均勻帶等值,兩板間,兩板外,所以,異號(hào)電荷平面,試驗(yàn)電

11、荷q0 在點(diǎn)電荷q 的電場中從 a 移到b，,一、靜電場力的功,1. 點(diǎn)電荷電場,q,a,b,只與始末位置有關(guān),6-5 靜電場力的功 電勢,靜電場力 對(duì)q0 作的功,2. 靜電場力的特點(diǎn),靜電場力作功只與始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān),靜電場力為保守力，靜電場為保守力場,二、靜電場環(huán)路定理,靜電場基本規(guī)律靜電場的環(huán)路定理,上述結(jié)果可推廣到點(diǎn)電荷系，以致任意帶電體,也從庫侖定律導(dǎo)出,由場強(qiáng)疊加原理,三、電勢能,電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，通常取,從 a 點(diǎn)移到 b 點(diǎn)靜電場力作的功,在 a 點(diǎn)的電勢能,在 b 點(diǎn)的電勢能,等于 從該點(diǎn)移到遠(yuǎn)處電場力作的功,保守力作的功等于勢能增量的負(fù)值,四、電勢,1. 電

12、勢,電場中 a 點(diǎn)的電勢,電勢是標(biāo)量，可為正為負(fù),單位 伏特，符號(hào)為V，1 V = 1 J/C,電勢是相對(duì)量，與電勢零點(diǎn)的選取有關(guān),只與產(chǎn)生電場的電荷以及電勢零點(diǎn)的選取有關(guān),2. 電勢差,電場中 a 、b 兩點(diǎn)的電勢差,從 a 點(diǎn)移到 b 點(diǎn)時(shí)，電場力作的功,3. 點(diǎn)電荷的電勢,點(diǎn)電荷 q 的電場中 a 點(diǎn)的電勢,q,a,ra,1. 點(diǎn)電荷系的電勢,點(diǎn)電荷 單獨(dú)存在時(shí)場強(qiáng)和電勢分別為,電場中 a 點(diǎn)的電勢,電勢疊加原理,五、電勢疊加原理,點(diǎn)電荷系總電場強(qiáng)度,qi到a徑矢,利用電勢定義計(jì)算電勢，即,2.電荷連續(xù)分布的帶電體的電勢,帶電體可以看成由許多電荷元 dq 組成,dq,q,六、電勢的計(jì)算,

13、計(jì)算電勢的兩種基本方法：,用電勢疊加原理計(jì)算電勢,P,q,dq,視為點(diǎn)電荷,分解,疊加,P點(diǎn)電勢,為V = 0處,例題 6-8 求均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn) P 的電勢。,R,x,P,L,x,解 取長為dl電荷元 dq,dq在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢,q在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢,dl,討論,x = 0 處，,+ + + + + + + +,例題 6-9 求無限長均勻帶電直線外一點(diǎn) a 的電勢。,a,解,無限長帶電直線外一點(diǎn)的場強(qiáng),設(shè)b 點(diǎn)的電勢為零，則a 點(diǎn)的電勢,b,當(dāng) 時(shí)，,a 點(diǎn)的電勢為,的電勢。設(shè)球面半徑為R，所帶電荷量為+q 。,解,選處 V= 0，則,設(shè)r為所求點(diǎn)距球心的距離，,( r R ),O,+

14、q,例題 6-10 計(jì)算均勻帶電球面電場中任意一點(diǎn),均勻帶電球面內(nèi)外的電場強(qiáng)度為,( r = R ),( r R ),V-r 曲線,r,V,R,O,例題 6-11 有兩個(gè)半徑為 和 ( ) 的,內(nèi)球面上電荷+q 在內(nèi)外球面上產(chǎn)生的電勢各為,解,O,+q,-q,產(chǎn)生的電勢同為,求兩球面的電勢差。,均勻帶電同心球面，內(nèi)球面帶電+q，外球面帶電 -q，,外球面上電荷-q 在內(nèi)外球面上,外球面上的總電勢,內(nèi)、外兩球面的電勢差,內(nèi)球面上的總電勢,一、等勢面,等勢面 電勢相等的點(diǎn)構(gòu)成的曲面,等勢面的性質(zhì)：,沿等勢面移動(dòng)電荷，電場力不作功,靜電場中等勢面與電場線正交,兩個(gè)等勢面不相交,等勢面,電場線,6-6

15、 等勢面 電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系,二、幾種典型電場的電場線和等勢面,a,三、電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系,在電場中移動(dòng)單位正電荷從ab,ab = dl，電場力作的功為,設(shè),電場強(qiáng)度在某方向上的分量,b,等于電勢在該方向的變化率的負(fù)值,令,與V 的關(guān)系,結(jié)論：,三維直角坐標(biāo)系下,電場中任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度等于該點(diǎn)的電勢梯度的負(fù)值,例 6-12 由均勻帶電圓環(huán)軸線上電勢表達(dá)式，,解,均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢為,則,求軸線上的電場強(qiáng)度。,+q,例 6-13 求電偶極子電場中任一點(diǎn)A的電勢和,-q,l,O,r,解 A點(diǎn)的電勢為,l r,A,電場強(qiáng)度。,取坐標(biāo)系如圖,+q,-q,l,O,x,y,r, A點(diǎn)的場強(qiáng),A,在電偶極子的延長線上，,在電偶極子的中垂線上，,一、電偶極子在均勻外電場中受到的力矩,-q,+q,受到一力偶的作用,力偶,和,力偶矩,矢量式,6-7 帶電粒子在外電場中受到的