概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo).ppt

1、a,1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo),王曉謙 ,a,2,引言 數(shù)學(xué)是刻畫(huà)自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語(yǔ)言和有效工具。在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的應(yīng)用不斷深入。與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，使以前只有理論而無(wú)法計(jì)算的內(nèi)容找到了廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域。 概率和統(tǒng)計(jì)具有不同于其他數(shù)學(xué)分支的思維方式。我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中既要體會(huì)概率和統(tǒng)計(jì)思想與其他數(shù)學(xué)思想的不同，但也必須注意到它們與其他數(shù)學(xué)分支之間的密切關(guān)系。要培養(yǎng)利用概率、統(tǒng)計(jì)的思想思考、處理問(wèn)題的能力,a,3,第一部分 概率 第一節(jié) 隨機(jī)事件及其概率 A. 隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支,a,4,研究隨機(jī)現(xiàn)象的第一步：定義事件 在給定條件下，可能發(fā)

2、生這樣的結(jié)果，也可能發(fā)生那樣的結(jié)果，這就是隨機(jī)現(xiàn)象。 特點(diǎn)：一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，我們知道所有可能的結(jié)果有哪些，但是在條件沒(méi)有實(shí)現(xiàn)之前，無(wú)法判斷會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。 隨機(jī)事件：我們把在給定條件實(shí)現(xiàn)之后，可以判斷是否發(fā)生的結(jié)果叫做隨機(jī)事件，用大些英文字母表示,a,5,例如，研究某個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員的射擊水平。 在正常條件下，他射出一發(fā)子彈，落點(diǎn)會(huì)是隨機(jī)的，都有哪些隨機(jī)事件呢？無(wú)窮多個(gè)隨機(jī)事件：A:十環(huán) B:九環(huán)，E:沒(méi)有脫靶，F(xiàn):脫靶，等等等等，這些都是可能發(fā)生的結(jié)果，都是隨機(jī)事件。 只要實(shí)現(xiàn)一次條件，即在正常條件下，他射出一發(fā)子彈，哪個(gè)事件發(fā)生，哪個(gè)沒(méi)有發(fā)生，一目了然,a,6,兩個(gè)特例： 不可能事件：用字母表示

3、。 例如上面例子里，“既沒(méi)有脫靶，也沒(méi)有上靶”這個(gè)事件就是不可能事件。 必然事件：用字母表示。 例如上面例子里，“脫靶或沒(méi)有脫靶”就是一個(gè)必然事件,a,7,a,8,B. 事件的概率 事件的概率就是刻劃該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)。設(shè)A是一個(gè)事件，用P(A)表示這個(gè)事件的概率。 概率的第一個(gè)基本性質(zhì)：對(duì)于任意事件A,這是一種要求,a,9,例：七個(gè)有變異的豌豆特征（P89） 子的形狀，子的顏色，豆莢的形狀，豆莢外衣的顏色，未成熟豆莢的顏色，花的位置，豆梗的長(zhǎng)度 孟德?tīng)柊丫G色豌豆與黃色豌豆雜交，結(jié)果下一代都是黃色豌豆。 對(duì)其他六個(gè)特征做試驗(yàn)，也有類(lèi)似的結(jié)果。 我們把這一代叫做雜交第一

4、子代，簡(jiǎn)稱(chēng)為子一代。問(wèn)題是，用它們作為種子，下一代會(huì)怎樣呢？這是中學(xué)教師孟德?tīng)柕膯?wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的解決讓他名崔青史。（18221884,a,10,孟德?tīng)柊央s交黃色豌豆作為第一子代F1，培育出第二子代F2。在第二子代中豌豆會(huì)是什么顏色的呢？他提出了一種遺傳學(xué)理論，用這個(gè)理論來(lái)預(yù)測(cè)第二子代的顏色。他的預(yù)言是： 75%的黃色豌豆 25%綠色豌豆 即兩者比例為3：1,a,11,用G代表綠色基因，Y代表黃色基因，則第一子代F1可表示為YG。 這樣的豌豆自由雜交，在第二子代F2中會(huì)出現(xiàn)四種情況：YY,YG,GY,GG。每種情況出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等。其中 黃色：YY,YG,GY； 綠色：GG 所以黃色豌豆與綠色豌豆

5、數(shù)量的比例應(yīng)該是3：1。】 課本上89頁(yè)表7-1-1的數(shù)據(jù)就是試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果。這里用的是頻率估計(jì)概率的思想,a,12,我們不知道當(dāng)初老孟是先有的數(shù)據(jù)還是先做的理論分析。不過(guò)大多數(shù)人相信是 1、先做的試驗(yàn)， 2、然后利用觀測(cè)到的現(xiàn)象（概率統(tǒng)計(jì)思想）提 出大膽的理論， 3、利用提出的理論對(duì)觀測(cè)結(jié)果作出解釋?zhuān)?4、再利用理論作預(yù)測(cè)， 5、然后通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證理論預(yù)測(cè)的可靠性。 這是科學(xué)研究的一種基本方法,a,13,為了估計(jì)事件A發(fā)生的概率，我們?cè)谙嗤瑮l件下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，記錄試驗(yàn)次數(shù)n和事件A發(fā)生的次數(shù)m，然后用事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為事件A發(fā)生的概率的估計(jì)值,求概率之基本方法試驗(yàn)法。有誤差,a,

6、14,概率的第二個(gè)基本性質(zhì),這不是公式，是一種規(guī)范化要求,a,15,第二節(jié) 古典概型 試驗(yàn)或觀測(cè)只有有限多種可能的基本結(jié)果，這些結(jié)果具有以下特點(diǎn)： （1）、這些可能結(jié)果有限多個(gè)； （2）、每次試驗(yàn)，這些結(jié)果中必有一個(gè)會(huì)發(fā)生，而且 只有一個(gè)會(huì)發(fā)生； （3）、每個(gè)結(jié)果的發(fā)生是等可能的。 滿(mǎn)足前兩條的結(jié)果叫基本事件。假設(shè)共有n個(gè)基本事件。如果還滿(mǎn)足第三條的話，這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的概率計(jì)算模型就叫做古典概型,a,16,古典概型里，每個(gè)基本事件的概率都是,如果事件A的發(fā)生等價(jià)于m個(gè)基本事件之一發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率就是,a,17,第三節(jié) 幾何概型 試驗(yàn)或觀測(cè)有無(wú)限多種可能的基本結(jié)果，這些結(jié)果具有以下特點(diǎn)

7、： （1）、這些可能結(jié)果有無(wú)限多個(gè)； （2）、每次試驗(yàn)，這些結(jié)果中必有一個(gè)會(huì)發(fā)生，而且 只有一個(gè)會(huì)發(fā)生； （3）、每個(gè)結(jié)果的發(fā)生是等可能的。 這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的概率計(jì)算模型就叫做幾何概型,a,18,方程有實(shí)根的概率是多少,例一、方程,中的系數(shù),分別在,區(qū)間隨機(jī)取值，那么這個(gè),解：我們把,放到一起考慮,那么任取,中的,兩個(gè)值作為,矩形區(qū)域 S 中任取一個(gè)點(diǎn)，把橫坐標(biāo)作為,可以看作是在平面直角坐標(biāo)系中,縱坐,坐標(biāo)作為,a,19,方程有實(shí)根等價(jià)于,這等價(jià)于要求點(diǎn)必須取在區(qū)域A中。所以,a,20,例二、怎樣求一個(gè)不規(guī)則圖形的面積？ 做正方形S，隨機(jī)向圖中投點(diǎn)，計(jì)算落在A中的點(diǎn)的頻率，A的面積的近似值就是

8、該頻率與S的面積的乘積,a,21,例三 貝特朗奇論 在圓內(nèi)任取一弦，問(wèn)其長(zhǎng)度超過(guò)內(nèi)接等邊三角形 邊長(zhǎng)的概率是多少？ 貝特朗給出了三中求解方法,設(shè)該圓半徑為,則內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)為,記弦的長(zhǎng)度為,a,22,1）、由于弦長(zhǎng)只跟它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無(wú)關(guān)，因而可假定弦垂直于某直徑EF。如圖所示,當(dāng)且僅當(dāng)弦AB與圓形的 距離小于,時(shí)，有,所以所求概率為,a,23,2)、弦長(zhǎng)由其中點(diǎn)唯一確定。當(dāng)且僅當(dāng)弦的中點(diǎn)落到 半徑為,的同心圓內(nèi)時(shí)，弦長(zhǎng),所以，如圖所示,所求概率為,a,24,3）、因?yàn)槿魏蜗叶冀粓A于兩點(diǎn)，并且具有對(duì)稱(chēng)性， 所以不妨固定弦的一端A于圓周上，另一端在圓周上任 意取。如圖，考慮等邊三

9、角形ADE，如B落在角A所對(duì) 應(yīng)的弧,上，則弦長(zhǎng),所以所求概率為,a,25,第四節(jié) 互斥事件與概率 兩個(gè)事件互斥 一組事件是互斥的 設(shè)是A,B是兩個(gè)互斥事件，我們用 A+B表示一個(gè)新 的事件，即 “A,B中至少有一件發(fā)生” 這個(gè)事件,a,26,是一組互斥事件，那么,中至少有一個(gè)發(fā)生這個(gè)事件,表示,概率的第三個(gè)基本性質(zhì)要求,a,27,例如,表示某射擊運(yùn)動(dòng)員打中k環(huán)這個(gè)事件，k=1， 2，10. 那么它們是10個(gè)互斥事件。如果知道每個(gè) 事件的概率，我們就可以算出許多其它事件的概率。 例如打到8環(huán)以?xún)?nèi)這樣的事件的概率,例如,a,28,對(duì)立事件：如果兩個(gè)事件互斥，而且每次試驗(yàn)或觀測(cè)兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)

10、生，那么這兩個(gè)事件就叫做一對(duì)對(duì)立事件。如果用A表示其中的一個(gè)事件，另一個(gè)就用,來(lái)表示。顯然,所以,或等價(jià)地,a,29,例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。 解法一、用A表示“500人中至少有一人生日在今天”， 用,表示“500人中恰有k人生日在今天”， k=0，1,500,互斥，而且,所以,則不難發(fā)現(xiàn)這501個(gè)事件,a,30,由于,所以,a,31,解法二、顯然,表示,所以,500人中沒(méi)有一人在今天過(guò)生日,我們可以求出,a,32,比較這兩個(gè)結(jié)果你可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)公式,即,事實(shí)上,a,33,第五節(jié) 獨(dú)立性概念 積事件：設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，稱(chēng) “事件A與B同時(shí)發(fā)生” 這個(gè)事件為事件A與事件B

11、的積事件，記作AB。類(lèi)似地，用,表示一個(gè)新事件，該事件的發(fā)生等價(jià)于,這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生,a,34,例如,表示第k次投擲硬幣出現(xiàn)正面，k=1,2,就表示“連續(xù)投擲硬幣n次都出現(xiàn)正面”這個(gè)隨機(jī)事件,那么,a,35,定義：稱(chēng)事件A,B相互獨(dú)立，如果,一般地，稱(chēng)一組事件相互獨(dú)立，如果其中任意有限個(gè)同時(shí)發(fā)生的概率等于它們每一個(gè)發(fā)生的概率的乘積。 所以，如果知道事件相互獨(dú)立，那么事件同時(shí)發(fā)生的概率就等于每一個(gè)發(fā)生的概率的積,a,36,例、求500人中至少有一人生日在今天的概率,表示,不難理解,也是相互獨(dú)立的一組事件，而且,方法三、用,第k個(gè)人在今天過(guò)生日，k=1,2,500,則我們一般認(rèn)為這500個(gè)事件相

12、互獨(dú)立。顯然,a,37,所以,a,38,連續(xù)投擲一枚硬幣n次，計(jì)算其中恰好出現(xiàn) k次正面的概率,這個(gè)問(wèn)題有如下三點(diǎn)要注意： （1）.每次試驗(yàn)（或觀測(cè)）只有兩種可能的結(jié)果，其 一記為 A,另一個(gè)就是,2）.每次試驗(yàn)（或觀測(cè)）結(jié)果不受其它試驗(yàn)（或觀 測(cè)）結(jié)果的影響。即各次試驗(yàn)或觀測(cè)相互獨(dú)立,3）.每次A發(fā)生的概率都相同，記為,a,39,這個(gè)問(wèn)題的答案就是二項(xiàng)概率公式,這種隨機(jī)試驗(yàn)或觀測(cè)我們叫做獨(dú)立試驗(yàn)序列。在研究獨(dú)立試驗(yàn)序列時(shí)，一個(gè)基本問(wèn)題就是，n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率是多少,a,40,特別地,所以,每個(gè)人是否在今天過(guò)生日相互獨(dú)立。所以500人中恰有k人在今天過(guò)生日的概率為,方法四、每個(gè)

13、人在今天過(guò)生日的概率都是,例、求500人中至少有一人生日在今天的概率,a,41,某車(chē)間有十臺(tái)機(jī)床，彼此獨(dú)立工作。據(jù)統(tǒng)計(jì)每臺(tái)機(jī)床每小時(shí)有12分鐘在工作，工作時(shí)需8千瓦的電力。供電部門(mén)供多少電給該車(chē)間合適呢,該車(chē)間恰好有k臺(tái)機(jī)床在同時(shí)工作的概率為,解：用A表示一臺(tái)機(jī)床在工作，則,a,42,我們把恰好有0，1，2，10臺(tái)機(jī)床在同時(shí)工作的概率都計(jì)算出來(lái)，列在下表里,從表中數(shù)據(jù)可以看出,所以，供給,千瓦電力就可以保證有0.9936的,概率不會(huì)誤事。完全沒(méi)有必要供給80千瓦的電力,a,43,第五節(jié) 隨機(jī)變量簡(jiǎn)介 隨機(jī)變量是這樣的一種“函數(shù)”，它把隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)基本結(jié)果對(duì)應(yīng)成一個(gè)實(shí)數(shù)。 例如，擲一枚硬幣有

14、兩個(gè)基本結(jié)果，正面和反面。我們?nèi)是這樣的一種對(duì)應(yīng)法則： 如果擲出正面，取X=1，如果擲出反面，取X=-1. 則X就是一個(gè)隨機(jī)變量，取-1和1兩個(gè)值，到底取哪個(gè) 在實(shí)驗(yàn)沒(méi)有結(jié)束之前不能確定，即取值是隨機(jī)的,所有可能取值的概率總和必為1,a,44,我們關(guān)心的是隨機(jī)變量的取某個(gè)值或取值落在某個(gè)范圍里的概率。怎樣計(jì)算，依不同情況而定。 隨機(jī)變量有兩種類(lèi)型，一種是它的所有可能的取值可以一一列舉出來(lái)。例如上面提到的。這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。對(duì)于這樣的隨機(jī)變量，我們要搞清楚它可能取的每一個(gè)值，而且要求出取每一個(gè)值的概率。 例如，投擲一個(gè)硬幣100次，用X表示其中出現(xiàn)的正面次數(shù)，則所有可能的取值是

15、0，1，2，100，且,所有可能取值的概率總和必為1,a,45,對(duì)于隨機(jī)變量，我們常常會(huì)求它的取值的平均值，還要考慮它的取值的分散程度,那么這個(gè)運(yùn)動(dòng)員的水平該怎樣評(píng)價(jià)呢？我們計(jì)算一下他打一槍平均來(lái)說(shuō)可能的環(huán)數(shù),這個(gè)數(shù)叫隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,例如，X表示一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員命中的環(huán)數(shù)，則它是一個(gè)隨機(jī)變量。假設(shè)我們已經(jīng)知道X取每一個(gè)值的概率，如下表所示,a,46,相對(duì)于數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量的取值有時(shí)偏大，有時(shí)偏小，那么平均偏差該怎樣計(jì)算呢？先把這些偏差做平方，然后再平均?？紤]到每一個(gè)偏差出現(xiàn)的可能性實(shí)際上就是原先的取值對(duì)應(yīng)的概率，所以也要用求數(shù)學(xué)期望那樣的方法來(lái)求偏差平方的平均值。例如，上面的X,由上表可

16、見(jiàn)，偏差平方的平均值為,這個(gè)數(shù)叫隨機(jī)變量X的方差,a,47,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反映了它取值的平均大小，是一個(gè)平均值； 隨機(jī)變量的方差反映了它相對(duì)于平均值而言的分散程度。方差越小，取值的分散程度越小。如果方差為0，那這個(gè)隨機(jī)變量就幾乎是一個(gè)常數(shù),a,48,例： 據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)下月有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01。設(shè)工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，為保護(hù)設(shè)備，有以下三種方案： 1、運(yùn)走設(shè)備，需花費(fèi)3800元； 2、建一保護(hù)墻，需花費(fèi)2000元。但無(wú)法抵御大洪水，大洪水來(lái)臨的話，設(shè)備受損，損失60000元； 3、不采取任何措施，祈禱不發(fā)生洪水。大洪水來(lái)臨損失60000元，小洪水來(lái)臨損失1

17、0000元。 試比較哪種方案好,a,49,解：分別用X,Y,Z表示三種方案下可能帶來(lái)的費(fèi)用，則都是隨機(jī)變量。我們把各個(gè)隨機(jī)變量的分布列在下表里,則 E(X)=3800 E(Y)=2600 E(Z)=3100 平均來(lái)說(shuō)，方案二比較好,a,50,第二部分 統(tǒng)計(jì) 統(tǒng)計(jì)在我們國(guó)家有兩種意義： 社會(huì)統(tǒng)計(jì) 數(shù)理統(tǒng)計(jì) 我們要討論的是數(shù)理統(tǒng)計(jì),a,51,引言 你要研究什么？ 研究對(duì)象總體 由全體成員構(gòu)成。 例如 1、某地區(qū)高中學(xué)生的身高發(fā)育情況 2、袁隆平新水稻品種的畝產(chǎn)量 3、某班學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī) 4、某個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī) 5、姚明的技術(shù)水平（投籃，三分球，命中 率， 籃板等） 6、學(xué)習(xí)成績(jī)與性別的關(guān)系

18、 7、紅樓夢(mèng)前80回與后40回的用字、用詞的 差異,a,52,為什么要學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)？ 1、當(dāng)我們要對(duì)總體進(jìn)行研究時(shí)，由于種種原因，不 可把每個(gè)個(gè)體的特征都記錄研究； 2、不可能收集到所有數(shù)據(jù)； 3、可能收集到所有數(shù)據(jù)，但是要花費(fèi)大量的財(cái)力物 力； 4、即使收集到了所有的數(shù)據(jù)資料，面對(duì)大量的雜亂 無(wú)章的數(shù)據(jù)，不用科學(xué)的方法處理，我們也無(wú)法 得到想要得到的信息,a,53,統(tǒng)計(jì)正是處理上面遇到的窘境的理想手段： 1、怎樣收集數(shù)據(jù)資料； 2、怎樣對(duì)收集到的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行科學(xué)的分析處理； 3、合理解釋處理結(jié)果,a,54,樣本 從總體中抽取一部分個(gè)體出來(lái)，測(cè)量其相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)和特征并記錄。這一部分個(gè)體放到一起就

19、叫做一個(gè)樣本。 一般來(lái)說(shuō)，我們總是把測(cè)得的數(shù)據(jù)全體叫做樣本。 樣本中所考慮的個(gè)體的數(shù)目叫樣本容量,a,55,例如：1、隨機(jī)抽查某地區(qū)100名高中二年級(jí)學(xué)生測(cè)量身高得到的200個(gè)數(shù)據(jù)； 2、將水稻新品種種植在其他條件相同的10塊試驗(yàn)田里，收割后測(cè)得的10個(gè)畝產(chǎn)量數(shù)據(jù),a,56,第一節(jié) 抽樣方法 A、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法 從有N個(gè)個(gè)體的總體中不重復(fù)地取出n個(gè)個(gè)體，nN，每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)被抽到。 抽簽法： 編號(hào)、制簽、攪勻、隨機(jī)抽簽k次 隨機(jī)數(shù)表：省掉制簽、攪勻、隨機(jī)抽簽過(guò)程,a,57,隨機(jī)數(shù)表是一個(gè)重要工具。 它是一張由數(shù)字0到9構(gòu)成的數(shù)表，可能三個(gè)三個(gè)地由三位數(shù)構(gòu)成。也可能由四位數(shù)構(gòu)成 。 我們

20、可以用某種編程語(yǔ)言產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)表。 用Excel就可以方便地產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)表,a,58,1、在單元格C1里輸入 =RAND() 產(chǎn)生一個(gè)0到1之間的隨機(jī)數(shù)，拖拽C1的填充柄就可以產(chǎn)生不同的隨機(jī)數(shù)。65536行，可產(chǎn)生大量隨機(jī)數(shù)。（0，1之間隨機(jī)數(shù)） 2、輸入 =INT(100*RAND()產(chǎn)生0到99之間的整隨機(jī)數(shù)。 （兩位隨機(jī)數(shù)） 3、隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 選擇 工具數(shù)據(jù)分析隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 （隨機(jī)數(shù)） 4、 計(jì)算器可能會(huì)有不同的方法，要參考有關(guān)說(shuō)明書(shū),a,59,B、系統(tǒng)抽樣 分成相同的n組，每組隨機(jī)抽取一個(gè)。 C、分層抽樣 總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成，各部分稱(chēng)為層。根據(jù)比例在各層進(jìn)行抽樣,a,60,第二節(jié)

21、 總體分布的估計(jì) 統(tǒng)計(jì)的任務(wù)： 在統(tǒng)計(jì)里我們感興趣的是：如果從總體中任取一個(gè)個(gè)體，這個(gè)個(gè)體的某個(gè)或幾個(gè)數(shù)量指標(biāo)會(huì)有什么特征？我們不知道其指標(biāo)會(huì)是多少。統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是希望搞清楚，任取一個(gè)個(gè)體，其指標(biāo)會(huì)遵循什么規(guī)律。 當(dāng)然不會(huì)是一個(gè)確定性的規(guī)律，而是一個(gè)“統(tǒng)計(jì)規(guī)律”，就是一個(gè)具有概率意義的規(guī)律。例如某地某段時(shí)間里高溫出現(xiàn)概率；某校高一年級(jí)男生的身高在某個(gè)范圍里的概率,a,61,從總體中任取一個(gè)個(gè)體，其指標(biāo)不知道會(huì)是多少，就把它作為一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)待。 對(duì)總體的研究，就是要達(dá)到搞清楚這個(gè)隨機(jī)變量的分布的目的。這就是統(tǒng)計(jì)的基本目的。 在概率論里，我們研究各種分布。在統(tǒng)計(jì)里，我們要利用樣本數(shù)據(jù)確定表示總體

22、指標(biāo)的那個(gè)隨機(jī)變量到底應(yīng)該是什么分布。如果分布完全是已知的，那統(tǒng)計(jì)就沒(méi)有任何意義了,a,62,參數(shù)問(wèn)題：對(duì)總體指標(biāo)的數(shù)字特征，比如數(shù)學(xué)期望，方差，中為數(shù)等的估算、刻畫(huà)。 非參數(shù)問(wèn)題 多個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系問(wèn)題,a,63,所以，要知道我們會(huì)遇到的問(wèn)題： 刻劃總體分布 刻劃總體數(shù)字特征 刻劃各種關(guān)系 在所有的問(wèn)題中，歸根結(jié)底是估計(jì)概率的問(wèn)題，而估計(jì)概率最基本的方法，就是利用頻率。要計(jì)算頻率，就要抽樣做實(shí)驗(yàn)獲取數(shù)據(jù),a,64,由于我們是從樣本出發(fā)做出的結(jié)論，結(jié)論勢(shì)必會(huì)有出錯(cuò)的可能。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的結(jié)論不同于其他的結(jié)論，其精華就在于： 在給出結(jié)論的同時(shí)，還會(huì)告訴你， 這個(gè)結(jié)論出錯(cuò)的概率有多大,a,65,總

23、體分布的估計(jì)方法 頻率分布表 全距 組距 頻數(shù) 頻率 頻率/組距 頻率分布直方圖與折線圖 頻率直方圖,a,66,a,67,第三節(jié) 總體特征數(shù)的估計(jì) 總體分布的特征數(shù)有各種各樣，我們?cè)诟怕收摾锝兴鼈冏鲾?shù)字特征。例如數(shù)學(xué)期望，方差，中位數(shù)，眾數(shù)，等等。 在統(tǒng)計(jì)里這些往往都是不知道的。統(tǒng)計(jì)的任務(wù)之一就是利用樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)這些數(shù)字特征。在這里就是要向?qū)W生介紹其中最基本的幾種估計(jì)量,a,68,A、平均數(shù)的估計(jì) 平均數(shù)指總體X平均數(shù)，即數(shù)學(xué)期望E(X)，一般用希臘字母表示。怎樣用樣本值來(lái)估計(jì)這個(gè)數(shù)呢？ 設(shè)我們得到的樣本為,那么我們就用,來(lái)做為的估計(jì)值，有時(shí)記為,這個(gè)公式叫做樣本均值或樣本平均數(shù),a,69,

24、在統(tǒng)計(jì)研究中我們正是要討論這種公式的意義和價(jià)值，而不會(huì)對(duì)具體的計(jì)算結(jié)果說(shuō)它的優(yōu)劣。 為什么？因?yàn)樵俸玫墓揭矔?huì)有計(jì)算出糟糕結(jié)果的時(shí)候。例如抽樣的時(shí)候碰巧樣本取的不好，這是有可能的,a,70,樣本均值的最大優(yōu)點(diǎn)有兩個(gè)，無(wú)偏性和最小方差性,a,71,總體X的方差是,描述了總體取值相對(duì)于其平均值的離散程度。我們要估計(jì)方差，就要先算出的估計(jì)來(lái)，然后看看樣本值相對(duì)于這個(gè)估計(jì)值的離散程度有多大。所以就用,作為總體方差的估計(jì)值。這就是樣本方差。對(duì)其開(kāi)方，就得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差,a,72,例如，要對(duì)一種新的水稻品種和一種老的品種做比較，看看新品種到底好不好，怎樣比？ 我們需要進(jìn)行抽樣，得到樣本： 對(duì)每個(gè)品種種植試驗(yàn)

25、，例如，新品種種m塊試驗(yàn)田，得到m個(gè)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)，老品種種n塊試驗(yàn)田，得到n個(gè)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)。我們就有了兩個(gè)樣本。 分別計(jì)算相應(yīng)的樣本均值和樣本方差。樣本均值越大越好，樣本方差則越小越好,a,73,MODE鍵 +3鍵：進(jìn)入統(tǒng)計(jì)模式 SHIFT鍵+KAC鍵：開(kāi)始輸入數(shù)據(jù) 每輸入一個(gè)數(shù)據(jù)按一次 DATA鍵 輸完后，KOUT鍵+n鍵，顯示數(shù)據(jù)個(gè)數(shù) SHIFT+1鍵：顯示樣本均值 SHIFT+2鍵：顯示樣本標(biāo)準(zhǔn)差，再按平方鍵可得樣本方差。 KOUT+2鍵可計(jì)算樣本值的總和,a,74,叫回歸方程,第四節(jié) 線性回歸方程 有兩個(gè)量 x 和 y，x 的變化會(huì)導(dǎo)致 y 發(fā)生變化。但 是，并不是每一個(gè)x值唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)y值

26、，即使已知x的取值，也無(wú)法完全確定y的取值，它有隨機(jī)性。y與x之間不是我們以前學(xué)過(guò)的函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系我們叫相關(guān)關(guān)系。對(duì)于具有相關(guān)關(guān)系的 y 和 x ，我們?cè)鯓永脭?shù)學(xué)知識(shí)比較準(zhǔn)確地刻畫(huà)它們之間的關(guān)系呢？我們希望能夠搞清楚，如果不考慮隨機(jī)因素，y與x之間的確定性關(guān)系是什么,a,75,叫回歸方程,這就是傳說(shuō)中的回歸模型。相應(yīng)的函數(shù)叫回歸函數(shù)，而把,設(shè)這個(gè)確定性關(guān)系可以用函數(shù)f(x)表示。那么y與x之間的相關(guān)關(guān)系應(yīng)該用下式來(lái)刻畫(huà),a,76,回歸分析的基本理論任務(wù)有三個(gè)： 1、確定到底有沒(méi)有這種回歸關(guān)系？ 2、如果有，回歸函數(shù)是什么樣子的？ 3、誤差項(xiàng)作為隨機(jī)變量服從什么分布？至少應(yīng)該估 計(jì)出它的數(shù)

27、學(xué)期望和方差。 至于它的應(yīng)用，非常廣泛,a,77,為了解決以上問(wèn)題，必須有樣本！作n次觀測(cè)，每次觀測(cè)一個(gè)x值和它相應(yīng)的y值，依次記為,這就是樣本。在這一章我們假設(shè)已經(jīng)得到了樣本，下面解決相應(yīng)的問(wèn)題。樣本一般用一張表列出,a,78,的形式。這樣的回歸分析叫線性回歸分析，相應(yīng)的關(guān)系叫線性回歸關(guān)系,我們要先考慮選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后看看這個(gè)函數(shù)是不是合適。在中學(xué)課本里，我們選擇線性函數(shù)，就是取,a,79,如果y與x之間完全沒(méi)有任何線性依賴(lài)關(guān)系，那么給定x對(duì)計(jì)算y沒(méi)有任何意義。這時(shí)b自然應(yīng)該是0。所以在線性回歸里如果b幾乎是0，那么線性回歸就沒(méi)有什么意義了,我們也正是通過(guò)數(shù)據(jù)計(jì)算這兩個(gè)系數(shù)的，而且也

28、是通過(guò)判斷 b與 0的接近程度來(lái)判斷 y 與 x 之間有沒(méi)有線性回歸關(guān)系的,a,80,散點(diǎn)圖,a,81,回歸系數(shù)的計(jì)算 選用怎樣的直線最好呢？假如我們選定了一條直線是,那么如果不考慮隨機(jī)因素，把x帶入這個(gè)方程計(jì)算出來(lái)的,應(yīng)該與觀測(cè)到的y值越接近越好。如果把樣本里的所有x的取值依次帶入，就可以計(jì)算得到相應(yīng)的,好的直線應(yīng)該使得這里計(jì)算出來(lái)的值與相應(yīng)的觀測(cè)值,相差不大,a,82,把所有的誤差的平方累積起來(lái)就是,我們要取這樣的,使得,達(dá)到最小,最小二乘思想,a,83,a,84,a,85,a,86,a,87,其中,a,88,不難看出，為使,達(dá)到最小，只要取,就可以了。而且這時(shí),達(dá)到最小值,a,89,我們得到的回歸直線為,帶入到此方程，即可得到一個(gè)相應(yīng)的,此值可以看作是,的計(jì)算值,把樣本中的,a,90,我們把,叫做殘差平方和?；貧w直線就是使殘差平方和達(dá)到最小的那條直線,a,91,越小，說(shuō)明直線回歸越好。這就部分地解決了我們判斷線性回歸好不好的問(wèn)題,這里還得到一個(gè)副產(chǎn)品,從而,所以,a,92,相關(guān)系數(shù),a,93,可見(jiàn),r|越接近于1，直線回歸越好,如果|r|接近于1，F(xiàn)值就會(huì)比較大。但是如果沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系，F(xiàn)值較大的可能性很小。所以據(jù)此判斷有線性相關(guān)關(guān)系,事實(shí)上，如果