2016年高考江蘇數(shù)學(xué)試題及答案

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)參考公式：樣本數(shù)據(jù)的方差，其中棱柱的體積，其中是棱柱的底面積，是高棱錐的體積，其中是棱錐的底面積，為高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分 請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上（1）【2016年江蘇，1，5分】已知集合，則_【答案】【解析】由交集的定義可得【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合的交集及其運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題（2）【2016年江蘇，2，5分】復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的實(shí)部是_【答案】5【解析】由復(fù)數(shù)乘法可得，則則的實(shí)部是5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題（3）【2016年江蘇，3，5

2、分】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的焦距是_【答案】【解析】，因此焦距為【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)（4）【2016年江蘇，4，5分】已知一組數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是_【答案】【解析】，【點(diǎn)評(píng)】本題考查方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方差計(jì)算公式的合理運(yùn)用（5）【2016年江蘇，5，5分】函數(shù)的定義域是_【答案】【解析】，解得，因此定義域?yàn)椤军c(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的定義域，二次不等式的解法，難度不大，屬于基礎(chǔ)題（6）【2016年江蘇，6，5分】如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的值是_ 【答案】9【解析

3、】的變化如下表：159975則輸出時(shí)【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時(shí)，可采用模擬程序法進(jìn)行解答（7）【2016年江蘇，7，5分】將一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有個(gè)點(diǎn)為正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是_【答案】【解析】將先后兩次點(diǎn)數(shù)記為，則共有個(gè)等可能基本事件，其中點(diǎn)數(shù)之和大于等于10有六種，則點(diǎn)數(shù)之和小于10共有30種，概率為【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用（8）【2016年江蘇，8，5分】已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和若，則的值是_【答案】20【解析】設(shè)公差為，則由

4、題意可得，解得，則【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的第9項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用（9）【2016年江蘇，9，5分】定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是_【答案】7【解析】畫出函數(shù)圖象草圖，共7個(gè)交點(diǎn)【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象，作出函數(shù)與在區(qū)間上的圖象是關(guān)鍵，屬于中檔題（10）【2016年江蘇，10，5分】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓 的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是_【答案】【解析】由題意得，直線與橢圓方程聯(lián)立可得，由可得，則，由可得，則【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為1，考

5、查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題（11）【2016年江蘇，11，5分】設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上 其中，若，則的值是_【答案】【解析】由題意得，由可得，則，則【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的周期性，根據(jù)已知求出a值，是解答的關(guān)鍵（12）【2016年江蘇，12，5分】已知實(shí)數(shù)滿足 則的取值范圍是_【答案】【解析】在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域如下：為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方可以看出圖中點(diǎn)距離原點(diǎn)最近，此時(shí)距離為原點(diǎn)到直線的距離，則，圖中點(diǎn)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)，點(diǎn)為與交點(diǎn)，則，則【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及距離的計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵（13）【2016

6、年江蘇，13，5分】如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上兩個(gè)三等分點(diǎn)，則的值是_【答案】【解析】令，則，則，則，由，可得，因此， 因此【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，平面向量的線性運(yùn)算，難度中檔（14）【2016年江蘇，14，5分】在銳角三角形中，則的最小值是_【答案】8【解析】由，可得（*），由三角形為銳角三角形，則，在（*）式兩側(cè)同時(shí)除以可得，又(#)，則，由可得，令，由為銳角可得，由(#)得，解得， ，由則，因此最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)，解得（或互換），此時(shí)均為銳角【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等式的變化技巧和函數(shù)單調(diào)性知識(shí)，有一定靈活性二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)?/p>

7、答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（15）【2016年江蘇，15，14分】在中， （1）求的長(zhǎng)； （2）求的值解：（1），為三角形的內(nèi)角，即：（2），又為三角形的內(nèi)角， ，【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，考查兩角和差的余弦公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題（16）【2016年江蘇，16，14分】如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，求證：（1）直線平面； （2）平面平面解：（1）為中點(diǎn)，為的中位線，又為棱柱，又平面，且，平面 （2）為直棱柱，平面，又，且，平面，平面，又，平面，又平面，又，且平面，平面，又，平面平面【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的證明，

8、以及平面與平面相互垂直的證明，把握常用方法最關(guān)鍵，難答不大（17）【2016年江蘇，17，14分】現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的倍 （1）若，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少； （2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，當(dāng)為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？解：（1），則，故倉(cāng)庫(kù)的容積為（2）設(shè)，倉(cāng)庫(kù)的容積為，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)，取到最大值，即時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐和棱柱的體積，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最大值，難度中檔（18）【2016年江蘇，18，16分】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已

9、知以為圓心的圓：及其上一點(diǎn) （1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）因?yàn)樵谥本€上，設(shè)，因?yàn)榕c軸相切，則圓為，又圓與圓外切，圓：，則，解得，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題意得， 設(shè)，則圓心到直線的距離，則，即，解得或，即：或（3），即，即，又，即，解得，對(duì)于任意，欲使，此時(shí)，只需要作直線的平行線，使圓心到直線的距離為，必然與圓交于兩點(diǎn)，此時(shí)，即，因此對(duì)于任意，均滿足題意，綜上【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是

10、中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用（19）【2016年江蘇，19，16分】已知函數(shù) （1）設(shè)，求方程的根；若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值； （2）若，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求的值解：（1），由可得， 則，即，則，由題意得恒成立，令，則由可得， 此時(shí)恒成立，即恒成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此實(shí)數(shù)的最大值為（2），由，可得，令，則遞增，而，因此時(shí)，因此時(shí)，則；時(shí)，則；則在遞減，遞增，因此最小值為， 若，時(shí)，則；logb2時(shí)， 則；因此且時(shí)，因此在有零點(diǎn)， 且時(shí)，因此在有零點(diǎn)， 則至少有兩個(gè)零點(diǎn)，與條件矛盾； 若，由函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，最小值為，可得， 由，因此，因此，即

11、，即， 因此，則【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力（20）【2016年江蘇，20，16分】記對(duì)數(shù)列（）和的子集，若，定義；若，定義例如：時(shí)，現(xiàn)設(shè)（）是公比為的等比數(shù)列，且當(dāng)時(shí)， （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）對(duì)任意正整數(shù)（），若，求證：；（3）設(shè)，求證：解：（1）當(dāng)時(shí)，因此，從而，（2）（3）設(shè)， ，因此原題就等價(jià)于證明由條件可知 若，則，所以 若，由可知，設(shè)中最大元素為，中最大元素為， 若，則由第小題，矛盾因?yàn)?，所以，所以?，即綜上所述，因此【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及新定義的內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是正確理

12、解題目中對(duì)于新定義的描述數(shù)學(xué)【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（21-A）【2016年江蘇，21-A，10分】（選修4-1：幾何證明選講）如圖，在中，為垂足，是中點(diǎn)，求證：解：由可得，由是中點(diǎn)可得，則，由可得，由可得，因此，又可得【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的性質(zhì)應(yīng)用，利用C+DBC=ABD+DBC=90，證得ABD=C是關(guān)鍵，屬于中檔題（21-B）【2016年江蘇，21-B，10分】（選修4-2：矩陣與變換）已知矩陣，矩陣的逆矩陣，求矩陣解：，因此【點(diǎn)評(píng)】本題考查逆變換與逆矩陣，考查

13、矩陣乘法的性質(zhì)，屬于中檔題（21-C）【2016年江蘇，21-C，10分】（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為，橢圓的參數(shù)方程為，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)解：直線方程化為普通方程為，橢圓方程化為普通方程為，聯(lián)立得，解得或，因此【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的參數(shù)方程，考查了參數(shù)方程化普通方程，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題（21-D）【2016年江蘇，21-D】（本小題滿分10分）（選修4-4：不等式選講）設(shè)，求證：解：由可得，【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值不等式的證明，注意運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，以及不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題【必做題】第22、23題，每小題10分，計(jì)20分請(qǐng)把答案寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)（22）【2016年江蘇，22，10分】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，拋物線（1）若直線過拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的方程；（2）已知拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)和求證：線段上的中點(diǎn)坐標(biāo)為； 求的取值范圍解：（1），與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，即拋物線的焦點(diǎn)為，（2） 設(shè)點(diǎn)，則：，即，又關(guān)于直線對(duì)稱，即，又中點(diǎn)一定在直線上，線段上的中點(diǎn)坐標(biāo)為； 中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，即關(guān)于有兩個(gè)不等根，【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線方程的求法，直線