拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件

1、2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)（1,定義：在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫拋物線,拋物線的定義及標準方程,y2=-2px (p0,x2=2py (p0,y2=2px (p0,x2=-2py (p0,一、溫故知新,由拋物線y2 =2px（p0,所以拋物線的范圍為,二、探索新知,如何研究拋物線y2 =2px（p0）的幾何性質(zhì),拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時，y也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸,即點(x,-y) 也在拋物線上,故 拋物線y2 = 2px(p0)關(guān)于x軸對稱,則 (-y)2 = 2px,若點(x,y)在拋物線上, 即滿足y2

2、= 2px,定義：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點,y2 = 2px (p0)中， 令y=0,則x=0,即：拋物線y2 = 2px (p0)的頂點（0，0,注:這與橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點不同,拋物線上的點與焦點的距離和它到準線的距離之比，叫做拋物線的離心率,由定義知， 拋物線y2 = 2px (p0)的離心率為e=1,下面請大家得出其余三種標準方程拋物線的幾何性質(zhì),二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì),y2 = 2px （p0,y2 = -2px （p0,x2 = 2py （p0,x2 = -2py （p0,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,0,0,x軸,y軸,1,特點,1

3、.拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線,2.拋物線只有一條對稱軸,沒有 對稱中心,3.拋物線只有一個頂點、 一個焦點、一條準線,4.拋物線的離心率是確定的,為1,思考：拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響,P越大,開口越開闊,補充（1）通徑,通過焦點且垂直對稱軸的直線， 與拋物線相交于兩點，連接這 兩點的線段叫做拋物線的通徑,PF|=x0+p/2,F,P,通徑的長度：2P,P越大,開口越開闊,2）焦半徑,連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑,焦半徑公式,標準方程中2p的幾何意義,利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖,因為拋

4、物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（，,解,所以設(shè)方程為,因此所求拋物線標準方程為,例：已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（，），求它的標準方程,三、典例精析,坐標軸,當(dāng)焦點在x(y)軸上,開口方向不定時,設(shè)為y2=2mx(m 0) (x2=2my (m0),可避免討論,練習(xí)一,1、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是,2、已知點A（-2，3）與拋物線 的焦點的距離是5，則P=,4,四、歸納總結(jié),拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線,拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心,拋物線的

5、離心率是確定的，等于,拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準線,拋物線的通徑為2P, 2p越大，拋物線的張口越大,1、范圍,2、對稱性,3、頂點,4、離心率,5、通徑,2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)（2,一、直線與拋物線位置關(guān)系種類,1、相離；2、相切；3、相交（一個交點， 兩個交點,與雙曲線的情況一樣,x,y,O,二、判斷方法探討,1、直線與拋物線相離，無交點,例：判斷直線 y = x +2與 拋物線 y2 =4x 的位置關(guān)系,計算結(jié)果：得到一元二次方程，需計算判別式。相離,x,y,O,2、直線與拋物線相切，交與一點,例：判斷直線 y = x +1與 拋物線 y2 =4x 的位置關(guān)系,計算結(jié)

6、果：得到一元二次方程，需計算判別式。相切,二、判斷方法探討,3、直線與拋物線的對稱軸平行，相交與一點,例：判斷直線 y = 6與拋物線 y2 =4x 的位置關(guān)系,計算結(jié)果：得到一元一次方程，容易解出交點坐標,二、判斷方法探討,x,y,O,例：判斷直線 y = x -1與 拋物線 y2 =4x 的位置關(guān)系,計算結(jié)果：得到一元二次方程，需計算判別式。相交,4、直線與拋物線的對稱軸不平行，相交與兩點,二、判斷方法探討,三、判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序（一,把直線方程代入拋物線方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直線與拋物線的 對稱軸平行（重合,相交（一個交點,計 算 判 別 式,幾何畫板

7、演示,解法一:由已知得拋物線的焦點為F(1,0),所以直線AB的方程為y=x-1,解法二:由題意可知,分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷,變式： 過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m， 交這拋物線于A、B兩點，求證：以AB為直徑的圓 和這拋物線的準線相切,證明：如圖,所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EHl，因而圓E和準線l相切,設(shè)AB的中點為E，過A、E、B分別向準線l引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C,則AFAD，BFBC,AB AFBF ADBC =2EH,X=3,點評：本題用了分類討論的方法.若先用數(shù)形結(jié)合，找出符合條件的直線的條數(shù)，就不會造成漏解,2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)（3,x,y,解：因為直線AB過定點F且不與x軸平 行