主成分分析與因子分析的優(yōu)缺點

1、主成分分析就是將多項指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾項綜合指標(biāo)，用綜合指標(biāo)來解釋多變量的方差-協(xié)方差結(jié)構(gòu)綜合指標(biāo)即為主成分所得出的少數(shù)幾個主成分，要盡可能多地保留原始變量 的信息，且彼此不相關(guān)因子分析是研究如何以最少的信息丟失，將眾多原始變量濃縮成少數(shù)幾個因子變量，以及如 何使因子變量具有較強的可解釋性的一種多元統(tǒng)計分析方法聚類分析是依據(jù)實驗數(shù)據(jù)本身所具有的定性或定量的特征來對大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行分組歸類以 了解數(shù)據(jù)集的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，并且對每一個數(shù)據(jù)集進(jìn)行描述的過程其主要依據(jù)是聚到同一個數(shù) 據(jù)集中的樣本應(yīng)該彼此相似，而屬于不同組的樣本應(yīng)該足夠不相似三種分析方法既有區(qū)別也有聯(lián)系，本文力圖將三者的異同進(jìn)行比較，并舉例說明三

2、者在實際11應(yīng)用中的聯(lián)系，以期為更好地利用這些高級統(tǒng)計方法為研究所用有所裨益二、基本思想的異同（一）共同點主成分分析法和因子分析法都是用少數(shù)的幾個變量（因子）來綜合反映原始變量（因子）的主要信息，變量雖然較原始變量少，但所包含的信息量卻占原始信息的85 %以上,所以即使用少數(shù)的幾個新變量，可信度也很高，也可以有效地解釋問題并且新的變量彼此間互不相 關(guān),消除了多重共線性這兩種分析法得出的新變量，并不是原始變量篩選后剩余的變量在 主成分分析中,最終確定的新變量是原始變量的線性組合,如原始變量為x1 ,x2 ,. . . ,x3 , 經(jīng)過坐標(biāo)變換，將原有的p個相關(guān)變量xi作線性變換，每個主成分都是由

3、原有p個變量線 性組合得到在諸多主成分Zi中,Z1在方差中占的比重最大，說明它綜合原有變量的能力 最強,越往后主成分在方差中的比重也小，綜合原信息的能力越弱因子分析是要利用少數(shù)幾個公共因子去解釋較多個要觀測變量中存在的復(fù)雜關(guān)系，它不是對原始變量的重新組合而是對原始變量進(jìn)行分解，分解為公共因子與特殊因子兩部分公共因子是由所有變量共同 具有的少數(shù)幾個因子；特殊因子是每個原始變量獨自具有的因子對新產(chǎn)生的主成分變量及 因子變量計算其得分，就可以將主成分得分或因子得分代替原始變量進(jìn)行進(jìn)一步的分析，因為主成分變量及因子變量比原始變量少了許多 ，所以起到了降維的作用，為我們處理數(shù)據(jù)降 低了難度聚類分析的基本

4、思想是：采用多變量的統(tǒng)計值，定量地確定相互之間的親疏關(guān)系，考慮對象 多因素的聯(lián)系和主導(dǎo)作用，按它們親疏差異程度，歸入不同的分類中一元，使分類更具客觀 實際并能反映事物的內(nèi)在必然聯(lián)系也就是說,聚類分析是把研究對象視作多維空間中的許 多點,并合理地分成若干類，因此它是一種根據(jù)變量域之間的相似性而逐步歸群成類的方法 它能客觀地反映這些變量或區(qū)域之間的內(nèi)在組合關(guān)系3 .聚類分析是通過一個大的對稱矩陣來探索相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)分析方法，是多元統(tǒng)計分析方法，分析的結(jié)果為群集對向量聚類后，我們對數(shù)據(jù)的處理難度也自然降低，所以從某種意義上說，聚類分析也起到了降 維的作用（二）不同之處主成分分析是研究如何通過少數(shù)

5、幾個主成分來解釋多變量的方差一協(xié)方差結(jié)構(gòu)的分析方法 也就是求出少數(shù)幾個主成分（變量），使它們盡可能多地保留原始變量的信息，且彼此不相 關(guān).它是一種數(shù)學(xué)變換方法，即把給定的一組變量通過線性變換，轉(zhuǎn)換為一組不相關(guān)的變量 （兩兩相關(guān)系數(shù)為0 ,或樣本向量彼此相互垂直的隨機變量），在這種變換中，保持變量的總 方差（方差之和）不變,同時具有最大方差，稱為第一主成分；具有次大方差，稱為第二主成 分.依次類推.若共有p個變量,實際應(yīng)用中一般不是找p個主成分,而是找出m（m p）個 主成分就夠了，只要這m個主成分能反映原來所有變量的絕大部分的方差.主成分分析可以 作為因子分析的一種方法出現(xiàn)因子分析是尋找潛在的

6、起支配作用的因子模型的方法因子分析是根據(jù)相關(guān)性大小把變量分組,使得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，但不同的組的變量相關(guān)性較低，每組變量代表一 個基本結(jié)構(gòu)，這個基本結(jié)構(gòu)稱為公共因子.對于所研究的問題就可試圖用最少個數(shù)的不可測 的所謂公共因子的線性函數(shù)與特殊因子之和來描述原來觀測的每一分量通過因子分析得來的新變量是對每個原始變量進(jìn)行內(nèi)部剖析因子分析不是對原始變量的重新組合,而是對 原始變量進(jìn)行分解，分解為公共因子和特殊因子兩部分具體地說，就是要找出某個問題中 可直接測量的具有一定相關(guān)性的諸指標(biāo)，如何受少數(shù)幾個在專業(yè)中有意義、又不可直接測量 到、且相對獨立的因子支配的規(guī)律，從而可用各指標(biāo)的測定來間接確定

7、各因子的狀態(tài)因子分析只能解釋部分變異，主成分分析能解釋所有變異.？ 聚類分析算法是給定 m維空間R中的n個向量,把每個向量歸屬到k個聚類中的某一個， 使得每一個向量與其聚類中心的距離最小聚類可以理解為：類內(nèi)的相關(guān)性盡量大，類間相 關(guān)性盡量小聚類問題作為一種無指導(dǎo)的學(xué)習(xí)問題，目的在于通過把原來的對象集合分成相 似的組或簇，來獲得某種內(nèi)在的數(shù)據(jù)規(guī)律從三類分析的基本思想可以看出，聚類分析中并沒于產(chǎn)生新變量，但是主成分分析和因子分析都產(chǎn)生了新變量三、數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的比較主成分分析中為了消除量綱和數(shù)量級，通常需要將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，將其轉(zhuǎn)化為均值為 0方差為1的無量綱數(shù)據(jù)而因子分析在這方面要求不是太高，因

8、為在因子分析中可以通過 主因子法、加權(quán)最小二乘法、不加權(quán)最小二乘法、重心法等很多解法來求因子變量，并且因子變量是每一個變量的內(nèi)部影響變量，它的求解與原始變量是否同量綱關(guān)系并不太大，當(dāng)然在采用主成分法求因子變量時，仍需標(biāo)準(zhǔn)化不過在實際應(yīng)用的過程中，為了盡量避免量綱 或數(shù)量級的影響，建議在使用因子分析前還是要進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化在構(gòu)造因子變量時采用的是主成分分析方法，主要將指標(biāo)值先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理得到協(xié)方差矩陣，即相關(guān)矩陣和對應(yīng)的 特征值與特征向量，然后構(gòu)造綜合評價函數(shù)進(jìn)行評價.因此在聚類過程進(jìn)行聚類分析中如果參與聚類的變量的量綱不同會導(dǎo)致錯誤的聚類結(jié)果 之前必須對變量值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，即消除量綱的影響不同方

9、法進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，會導(dǎo)致不同的聚類結(jié)果要注意變量的分布如果是正態(tài)分布應(yīng)該采用z分?jǐn)?shù)法四、應(yīng)用中的優(yōu)缺點比較（一）主成分分析1、優(yōu)點首先它利用降維技術(shù)用少數(shù)幾個綜合變量來代替原始多個變量,這些綜合變量集中了原始變量的大部分信息其次它通過計算綜合主成分函數(shù)得分，對客觀經(jīng)濟現(xiàn)象進(jìn)行科學(xué)評價再次它在應(yīng)用上側(cè)重于信息貢獻(xiàn)影響力綜合評價2、缺點當(dāng)主成分的因子負(fù)荷的符號有正有負(fù)時，綜合評價函數(shù)意義就不明確命名清晰性低（二）因子分析1、優(yōu)點第一它不是對原有變量的取舍，而是根據(jù)原始變量的信息進(jìn)行重新組合,找出影響變量的共同因子,化簡數(shù)據(jù)；第二，它通過旋轉(zhuǎn)使得因子變量更具有可解釋性，命名清晰性高2、缺點在計算因子得分時，采用的是最小二乘法，此法有時可能會失效（三）聚類分析1、優(yōu)點聚類分析模型的優(yōu)點就是直觀，結(jié)論形式簡明2、缺點在樣本量較大時，