第三章-氣體分子速率及能量分布ppt課件

1、氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率和能量的統(tǒng)計(jì)分布律,第三章,1.氣體分子的速率分布律,一、速率分布函數(shù),分子速率分布圖,分子總數(shù),分子速率分布圖,dN 為速率在 v v+dv 區(qū)間的分子數(shù),表示速率分布在 v v+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率,速率分布函數(shù),表示在一定溫度下的氣體，分布在速率 v 附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率,物理意義,速率分布函數(shù)的歸一化條件,速率位于 區(qū)間的分子數(shù),速率位于 區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率,二、麥克斯韋速率分布律,在平衡狀態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在任一速率區(qū)間vvdv內(nèi)的分子的比率為,速率分布函數(shù),速率分布曲線,最可幾速率vp,與f（

2、v）極大值對(duì)應(yīng)的速率,物理意義,如果把整個(gè)速率范圍分成許多相等的小區(qū)間，則分布在vp所在的區(qū)間內(nèi)的分子比率最大,對(duì)于給定的氣體（即m一定），分布曲線的形狀隨溫度而變；在同一溫度下，分布曲線的形狀因氣體的不同（即m不同）而異,不同溫度下的分布曲線,溫度高低反映氣體分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。當(dāng)溫度升高時(shí)，氣體中速率較小的分子減少而速率較大的分子加多，最可幾速率變大，所以曲線的高峰移向速率大的一方。但由于曲線下的總面積應(yīng)恒等于1，所以溫度升高時(shí)曲線變得較為平坦,三、用麥克斯韋速率分布函數(shù)求平均值,1、分子的平均速率,2、分子的方均根速率,由以上結(jié)果可見：氣體分子的三種速率 都與 成正比，與 或 成反

3、比。在這三種速率中，方均根速度最大，平均速率次之，最可幾速率最小,麥克斯韋（James Clerk Maxwell 1831-1879,麥克斯韋是19世紀(jì)偉大的英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。 1831年11月13日生于蘇格蘭的愛丁堡，自幼聰穎，父親 是個(gè)知識(shí)淵博的律師，使麥克斯韋從小受到良好的教育。 10歲時(shí)進(jìn)入愛丁堡中學(xué)學(xué)習(xí)，14歲就在愛丁堡皇家學(xué)會(huì) 會(huì)刊上發(fā)表了一篇關(guān)于二次曲線作圖問題的論文，已顯露出出眾的才華。1847年進(jìn)入愛丁堡大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理。1850年轉(zhuǎn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)，1854年以第二名的成績(jī)獲史密斯獎(jiǎng)學(xué)金，畢業(yè)留校任職兩年。1856年在蘇格蘭阿伯丁的馬里沙耳任自然哲學(xué)教授

4、。1860年到倫敦國(guó)王學(xué)院任自然哲學(xué)和天文學(xué)教授。 1861年選為倫敦皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。1865年春辭去教職回到家鄉(xiāng)系統(tǒng)地總結(jié)他的關(guān)于電磁學(xué)的研究成果，完成了電磁場(chǎng)理論的經(jīng)典巨著論電和磁，并于1873年出版，1871年受聘為劍橋大學(xué)新設(shè)立的卡文迪什試驗(yàn)物理學(xué)教授，負(fù)責(zé)籌建著名的卡文迪什實(shí)驗(yàn)室，1874年建成后擔(dān)任這個(gè)實(shí)驗(yàn)室的第一任主任，直到1879年11月5日在劍橋逝世,麥克斯韋主要從事電磁理論、分子物理學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、光學(xué)、力學(xué)、彈性理論方面的研究。尤其是他建立的電磁場(chǎng)理論，將電學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)統(tǒng)一起來，是19世紀(jì)物理學(xué)發(fā)展的最光輝的成果，是科學(xué)史上最偉大的綜合之一。 麥克斯韋大約于1855年開始

5、研究電磁學(xué)，在潛心研究了法拉第關(guān)于電磁學(xué)方面的新理論和思想之后，堅(jiān)信法拉第的新理論包含著真理。于是他抱著給法拉第的理論“提供數(shù)學(xué)方法基礎(chǔ)”的愿望，決心把法拉第的天才思想以清晰準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)形式表示出來。他在前人成就的基礎(chǔ)上，對(duì)整個(gè)電磁現(xiàn)象作了系統(tǒng)、全面的研究，憑借他高深的數(shù)學(xué)造詣和豐富的想象力接連發(fā)表了電磁場(chǎng)理論的三篇論文：論法拉第的力線（1855年12 月至1856年2月）；論物理的力線（1861至1862年）；電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論（1864年12月8日）。對(duì)前人和他自己的工作進(jìn)行了綜合概括，將電磁場(chǎng)理論用簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、完美數(shù)學(xué)形式表示出來，經(jīng)后人整理和改寫，成為經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)主要基礎(chǔ)的麥克斯韋方程組

6、。據(jù)此，1865年他預(yù)言了電磁波的存在，電磁波只可能是橫波，并計(jì)算了電磁波的傳播速度等于光速，同時(shí)得出結(jié)論：光是電磁波的一種形式，揭示了光現(xiàn)象和電磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系。1888年德國(guó)物理學(xué)家赫茲用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了電磁波的存在,麥克斯韋于1873年出版了科學(xué)名著電磁理論。系統(tǒng)、全面、完美地闡述了電磁場(chǎng)理論。這一理論成為經(jīng)典物理學(xué)的重要支柱之一。在熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)方面麥克斯韋也作出了重要貢獻(xiàn)，他是氣體動(dòng)理論的創(chuàng)始人之一。1859年他首次用統(tǒng)計(jì)規(guī)律麥克斯韋速度分布律，從而找到了由微觀兩求統(tǒng)計(jì)平均值的更確切的途徑。1866年他給出了分子按速度的分布函數(shù)的新推導(dǎo)方法，這種方法是以分析正向和反向碰撞為基礎(chǔ)的他引入

7、了遲豫時(shí)間的概念，發(fā)展了一般形式的輸運(yùn)理論，并把它應(yīng)用于擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)和氣體內(nèi)摩擦過程。1867年引入了“統(tǒng)計(jì)力學(xué)”這個(gè)術(shù)語。麥克斯韋是運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析物理問題和精確地表述科學(xué)思想的大師，他非常重視實(shí)驗(yàn)，由他負(fù)責(zé)建立起來的卡文迪什實(shí)驗(yàn)室，在他和以后幾位主任的領(lǐng)導(dǎo)下，發(fā)展成為舉世聞名的學(xué)術(shù)中心之一。他善于從實(shí)驗(yàn)出發(fā)，經(jīng)過敏銳的觀察思考，應(yīng)用嫻熟的數(shù)學(xué)技巧，從縝密的分析和推理，大膽地提出有實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)的假設(shè)，建立新的理論，再使理論及其預(yù)言的結(jié)論接受實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，逐漸完善，形成系統(tǒng)、完整的理論。特別是湯姆孫W卓有成效地運(yùn)用類比的方法使麥克斯韋深受啟示，使他成為建立各種模型來類比研究不同物理現(xiàn)象的能手。在他的電

8、磁場(chǎng)理論的三篇論文中多次使用了類比研究方法，尋找到了不同現(xiàn)象之間的聯(lián)系，從而逐步揭示了科學(xué)真理。 麥克斯韋嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和科學(xué)研究方法是人類極其寶貴的精神財(cái)富,麥克斯韋速率分布中最可幾速率 的概念 下面哪種表述正確？ （A） 是氣體分子中大部分分子所具有的速率. （B） 是速率最大的速度值. （C） 是麥克斯韋速率分布函數(shù)的最大值. （D） 速率大小與最概然速率相近的氣體分子的比 率最大,例 計(jì)算在27C 時(shí)，氫氣和氧氣分子的方均根速率,氫氣分子,氧氣分子,例:已知分子數(shù)N ，分子質(zhì)量m，分布函數(shù) f(v) , 求 1） 速率在 間的分子數(shù)； 2）速率在 間所有分子動(dòng)能之和,速率在 間的分子數(shù)

9、,2,1,例 如圖示兩條 曲線分別表示氫氣和 氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線， 從圖 上數(shù)據(jù)求出氫氣和氧氣的最可幾速率,n為分子數(shù)密度,說明下列各量的物理意義,思考題,解,分布在速率 v 附近 v v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率,分布在速率 v 附近 v v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù),單位體積內(nèi)分子速率分布在速率 v 附近 v v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù),分布在有限速率區(qū)間v1 v2 內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率,分布在有限速率區(qū)間 v1 v2 內(nèi)的分子數(shù),分布在 0 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。（ 歸一化條件,v2 的平均值,四、麥克斯韋速度分布律,

10、設(shè)總分子數(shù)N，在平衡狀態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，速度分量vx在區(qū)間 vx vx+dvx 內(nèi)，速度分量vy在區(qū)間 vy vy+dvy 內(nèi) ，速度分量vz在區(qū)間 vz vz+dvz 內(nèi)的分子的比率為,引用速度空間的概念，可以對(duì)這個(gè)定律得到更直觀的理解,速度空間：以vx， vy， vz為軸的直角坐標(biāo)系（或以v、為坐標(biāo)的球坐標(biāo)系）所確定的空間,速率分布公式,速度分量vx的分布函數(shù),速度分量vy和vz的分布函數(shù),例題：用麥克斯韋速度分布律求每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù),解：取直角坐標(biāo)系xyz，在垂直于x軸的器壁上取一小塊面積dA。設(shè)單位體積內(nèi)的氣體分子數(shù)為n，則單位體積內(nèi)速度分量vx

11、在vxvxdvx之間的分子數(shù)為nf(vx)dvx.在所有vx介于vxvxdvx之間的分子中，在一段時(shí)間dt內(nèi)能夠與dA相碰的分子只是位于以dA為底，以vxdt為高的柱體內(nèi)的那一部分，其數(shù)目為nf(vx)dvxvxdtdA=nf(vx)dvx dtdA。因此，每秒碰到單位面積器壁上速度分量vx在vxvxdvx之間的分子數(shù)即為,將上式從0到對(duì)vx積分，即求得每秒碰到單位面積上的分子總數(shù)為,其中,代入前式，即得,由于分子的平均速率為,結(jié)果表示為,五、誤差函數(shù),速度的x分量在區(qū)間 內(nèi)的分子數(shù)為,因此，速度的x分量在0vx這一范圍內(nèi)的分子數(shù)為,六、統(tǒng)計(jì)規(guī)律性和漲落現(xiàn)象,什么是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(statisti

12、cal regularity,大量偶然性從整體上所體現(xiàn)出來的必然性,例. 扔硬幣,對(duì)于由大量分子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)從微觀上加以研究時(shí)，必須用統(tǒng)計(jì)的方法,從入口投入小球,與釘碰撞,落入狹槽,為清楚起見 , 從正面來觀察,偶然,隔板,鐵釘,統(tǒng)計(jì)規(guī)律和方法 伽爾頓板,大量偶然事件整體所遵循的規(guī)律 統(tǒng)計(jì)規(guī)律,再投入小球,經(jīng)一定段時(shí)間后 , 大量小球落入狹槽,分布情況,中間多，兩邊少,重復(fù)幾次 ，結(jié)果相似,單個(gè)小球運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)的 ,大量小球運(yùn)動(dòng)分布是確定的,統(tǒng)計(jì)規(guī)律和方法 伽爾頓板,小球數(shù)按空間 位置 分布曲線,統(tǒng)計(jì)的基本概念,1. 概率,如果N次試驗(yàn)中出現(xiàn)A事件的次數(shù)為NA,當(dāng)N時(shí)，比值NA/N稱為出現(xiàn)A

13、事件的概率,概率的性質(zhì),1) 概率取值域?yàn)?統(tǒng)計(jì)規(guī)律特點(diǎn): （1）只對(duì)大量偶然的事件才有意義. （2）它是不同于個(gè)體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變). （3） 永遠(yuǎn)伴隨著漲落現(xiàn)象,2) 各種可能發(fā)生的事件的概率總和等于1,幾率歸一化條件,3) 二互斥事件的概率等于分事件概率之和,4) 二相容事件的概率等于分事件概率之積,2. 概率分布函數(shù),隨機(jī)變量,在一定條件下, 變量以確定的概率取各種不相同的值,1） 離散型隨機(jī)變量,取值有限、分立,表示方式,2） 連續(xù)型隨機(jī)變量,取值無限、連續(xù),隨機(jī)變量X的概率密度,變量取值在xx+dx間隔內(nèi)的概率,概率密度等于隨機(jī)變量取值在單位間隔內(nèi)的概率,又稱為概率分布函

14、數(shù)（簡(jiǎn)稱分布函數(shù),3. 統(tǒng)計(jì)平均值,算術(shù)平均值為,統(tǒng)計(jì)平均值為,對(duì)于離散型隨機(jī)變量,隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均值等于一切可能狀態(tài)的概率與其相應(yīng)的取值 乘積的總和,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量,統(tǒng)計(jì)平均值為,漲落”現(xiàn)象,測(cè)量值與統(tǒng)計(jì)值之間總有偏離,處在平衡態(tài)的系統(tǒng)的宏觀量，如壓強(qiáng)P，不隨時(shí)間改變， 但不能保證任何時(shí)刻大量分子撞擊器壁的情況完全一樣， 分子數(shù)越多，漲落就越小,布朗運(yùn)動(dòng)是可觀測(cè)的漲落現(xiàn)象之一,可以證明 在粒子數(shù)可自由出入的某空間范圍內(nèi)的粒子數(shù)的相對(duì)漲落反比于系統(tǒng)中粒子數(shù)N的平方根,粒子數(shù)越少，漲落現(xiàn)象越明顯,應(yīng)用,小鏡子的小角度振蕩 漲落電流的熱噪聲,2. 用分子射線實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證麥克斯韋速度分布律,一、

15、分子射線,產(chǎn)生分子射線實(shí)驗(yàn)裝置示意圖,二、 葛正權(quán)實(shí)驗(yàn),三、 密勒和庫士實(shí)驗(yàn),若氣體分子處于恒定的外力場(chǎng)（如重力場(chǎng)）中,氣體分子分布規(guī)律如何,一 、 玻爾茲曼分布律,3. 玻爾茲曼分布律 重力場(chǎng)中微粒按高度的分布,如氣體分子處于外力場(chǎng)中，分子能量,在麥克斯韋速度分布律中,因子,理想氣體分子僅有動(dòng)能,麥克斯韋速度分布可以看作是無外場(chǎng)中分子數(shù)按能量的分布,外力場(chǎng)中，粒子分布不僅按速率區(qū)vv+dv間分布，還應(yīng)按位置區(qū)間xx+dx、 yy+dy、 zz+dz分布,該區(qū)間內(nèi)的分子總數(shù)為,玻爾茲曼分布律,分布在坐標(biāo)區(qū)間xx+dx； yy+dy； zz+dz內(nèi)單位體積內(nèi)的分子數(shù)為,二、重力場(chǎng)中粒子按高度的分

16、布,令 z=0 處 單位體積內(nèi)的分子數(shù)為 n0,重力場(chǎng)中的氣體分子按高度分布的規(guī)律,則分布在高度為z處體積元dxdydz內(nèi)的分子數(shù)為,而分布在高度為z處單位體積內(nèi)的分子數(shù)為,由氣體狀態(tài)方程,重力場(chǎng)中粒子按高度的分布規(guī)律,式中p0n0kT為z=0處的大氣壓強(qiáng)，p為z處的大氣壓強(qiáng)，m是大氣分子質(zhì)量，為氣體的摩爾質(zhì)量,在重力場(chǎng)中氣體分子的數(shù)密度n隨高度的增大按指數(shù)減小。 分子的質(zhì)量m越大（重力的作用顯著），n就減小得越迅速； 氣體的溫度越高（分子的無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)劇烈），n就減小得越緩慢,大氣密度和壓強(qiáng)隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減?。ǜ呖湛諝庀”?，氣壓低,兩邊取對(duì)數(shù),測(cè)知地面和高空處的壓強(qiáng)與溫度，可估算所在高

17、空離地面的高度,等溫氣壓公式,4. 能量按自由度均分定理,一、自由度,決定一個(gè)物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù),一般氣體分子的運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和分子內(nèi)原子間的振動(dòng),剛體的運(yùn)動(dòng)：質(zhì)心的平動(dòng)和繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng),一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置用x、y、z三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)決定,一個(gè)剛體的位置用（1）x、y、z三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)決定質(zhì)心位置，（2）用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)決定轉(zhuǎn)軸的方位；（3）用一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)決定剛體相對(duì)于某一起始位置轉(zhuǎn)過的角度,自由度數(shù)目,剛性分子能量自由度,單原子分子平均能量,二、能量均分定理,能量按自由度均分定理,分子的平均總動(dòng)能為,在溫度為T的平衡狀態(tài)下，物質(zhì)（氣體、液體或固體）分子的每一個(gè)自由度都具有相同的平均動(dòng)能，其大小都等于,分子的平均總能量為