第11章-隨機(jī)振動-線性系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)ppt課件

1、第11章 線性系統(tǒng)對隨機(jī)激勵的響應(yīng) Responses of Linear System to Random Excitation,李小珍 晉智斌 朱艷 西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院,主要內(nèi)容,1、激勵與響應(yīng)的統(tǒng)計特性之間的關(guān)系 Relation between statistical property of excitation and response 2、單自由度線性系統(tǒng)對于隨機(jī)激勵的響應(yīng) Responses of single DOF linear system to random excitation,主要內(nèi)容,3、多自由度系統(tǒng)對隨機(jī)激勵的響應(yīng) Responses of multi-DO

2、F system to random excitation,1、激勵與響應(yīng)的統(tǒng)計特性之間的關(guān)系Relation between statistical property of excitation and response,如圖所示，對于隨機(jī)輸入和輸出，線性系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系同樣適用。也就是說，仍然可以利用脈沖響應(yīng)函數(shù)或頻率響應(yīng)函數(shù)來描述系統(tǒng)的特性。 Relation between input and output of the linear system is applied to random system, that is, impulse response function or f

3、requency response function can be adopted to describe the characteristic of the random system,1、激勵與響應(yīng)的統(tǒng)計特性之間的關(guān)系Relation between statistical property of excitation and response,但是，由于通常用統(tǒng)計性規(guī)律來描述隨機(jī)過程，所以為了求解線性系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)的隨機(jī)激勵下的響應(yīng)特性，首先要建立線性系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)統(tǒng)計特性與輸入的統(tǒng)計特性以及系統(tǒng)的傳遞特性三者之間的關(guān)系。 However, statistical rules are use

4、d to define random process, so in order to obtain the properties of the responses about the linear system, it should be established that the relationship among the statistical characteristic of random responses, the statistical characteristic of input, and transmission properties of the system,1、激勵與

5、響應(yīng)的統(tǒng)計特性之間的關(guān)系Relation between statistical property of excitation and response,假定已知系統(tǒng)的動態(tài)特性（脈沖響應(yīng)函數(shù)或頻率響應(yīng)函數(shù)）與隨機(jī)過程激勵的統(tǒng)計參數(shù)（主要是激勵的均值 、自相關(guān)函數(shù) 與功率譜密度函數(shù) ），求響應(yīng)過程的統(tǒng)計參數(shù)（主要是振動響應(yīng)的均值 、自相關(guān)函數(shù) 與功率譜密度函數(shù) ），而不是具體計算系統(tǒng)對于各個激勵樣本的響應(yīng) 。 Assuming the dynamic properties (impulse response function or frequency response function ) an

6、d statistical parameter of the random stimulation (mainly is mean value of the stimulation , Self-correlation function and PSD ) are known, it should be done to get the statistical parameter (mainly about the mean value of the dynamic response , Self-correlation function and PSD ) , instead of calcu

7、lating particular responses to each random stimulation,1單自由度線性系統(tǒng)對單個隨機(jī)激勵的晌應(yīng) 設(shè)質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)受到隨機(jī)力F(t)激勵，動力學(xué)方程為,2、單自由度系統(tǒng)對于隨機(jī)激勵的響應(yīng)Response of single DOF linear system to random excitation,系統(tǒng)的響應(yīng)特性可用脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)或復(fù)頻響應(yīng)函數(shù) 描述(圖6.10)。寫出杜哈梅積分形式的解，將積分的上下限擴(kuò)展為 不影響結(jié)果， （6.3.2） 若激勵F(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是平穩(wěn)隨機(jī)過程，其統(tǒng)計特性可計算如下,圖6.10 受

8、單個隨機(jī)激勵的單自由度線形系統(tǒng),1)均值 對式(6.3.2)求平均，并將求平均與積分的次序互換，導(dǎo)出 由于F(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，有 (6.3.4,則式(6.3.3)化作 上式中的積分可用 時的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)值H(0)表示。 得到 即響應(yīng)的均值與激勵的均值只相差一個常值乘子H(0,當(dāng)激勵的靜態(tài)分量為零時，響應(yīng)的靜態(tài)分量亦為零。 今后為分析方便，只討論激勵力與響應(yīng)的均值皆為零的情形,2)自相關(guān)函數(shù) 用 表示積分變量，并交換求平均與積分求和的次序，導(dǎo)出 (6.3.7) 此積分僅依賴于時差 與時間t無關(guān),3)激勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù) 利用式(6.1.9)和(6.3.2)計算激勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)，導(dǎo)出

9、(6.3.8,即互相關(guān)函數(shù)等于激勵的自相關(guān)函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積積分。當(dāng)激勵為理想白噪聲時 (6.3.9) 其中 為激勵的常值功率譜密度。代人式(6.3.8)，得到白噪聲激勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)為 (6.3.10) 利用此結(jié)果可從實(shí)驗測得的 推算出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù),4)自譜 (6.3.11,注意到中括號內(nèi)的積分即激勵的自譜 且由式(2.5.22)導(dǎo)出 (6.3.12) 其中*號表示復(fù)數(shù)的共扼,代人式(6.3.11)后得到 (6.3.13) 此結(jié)果表明，根據(jù)激勵譜 與系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)的幅頻特性 即可求出響應(yīng)譜,5)均方值 計算響應(yīng)的均方值，得到 (6.3.14,當(dāng)激勵為理想白噪聲時 等于常值

10、 ，均方值為 (6.3.15) 其中積分 可查閱附錄中的積分公式,對于弱阻尼系統(tǒng)，其阻尼比 ，幅頻特性曲線在固有頻率 附近有很尖的峰值，則 有更尖的峰值。 當(dāng)激勵譜 具有較平坦形狀時，式(6.3.14)右端積分中對均方值 的貢獻(xiàn)主要來自共振頻率附近的小區(qū)間內(nèi)，因此可近似地取固有頻率 處的激勵譜值 代替,亦即近似地認(rèn)為系統(tǒng)受到功率譜密度 的白噪聲激勵。 從式(6.3.13)還可看出，即使激勵譜 為較平坦的寬帶，但響應(yīng)譜 主要集中在 附近的窄帶內(nèi)。 因此線性系統(tǒng)在實(shí)踐中常起到窄帶濾波器的作用,6)激勵與響應(yīng)的互譜 對式(6.3.8)作傅里葉變換，得到 (6.3.16,導(dǎo)出 (6.3.17) 此簡潔

11、結(jié)果表明互譜與激勵譜之間通過復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)相聯(lián)系。 從實(shí)驗測得 與 之后，也可利用式(6.3.17)求出復(fù)頻響應(yīng)函數(shù) 所包含的幅頻和相頻的完整信息。而利用式(6.3.13)只能得到 的幅頻特性，且在推導(dǎo)過程中未計入噪聲的影響。式(6.3.17)在有噪聲存在時其結(jié)果不變，因此關(guān)系式(6.3.17)比(6.3.13)更為有用,在實(shí)踐中常引入系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)的譜相干函數(shù)，定義為 (6.3.18,對于線性系統(tǒng)，將式(6.3.13)和(6.3.17)代入后，得到 (6.3.19) 因此系統(tǒng)為線性時，譜相干函數(shù)應(yīng)等于1。如果測試得到的譜相干函數(shù)不等于1，則可能是系統(tǒng)內(nèi)存在非線性因素，也可能是測試過程中存在噪

12、聲影響,如果路面不平度的激勵譜密度函數(shù)為 ，求車身振動響應(yīng)的譜密度和均方值 If the excitation spectral density function of road inequality is ,find the spectral density of and mean square value of car body vibration response,例題 Example,例題 Example,例6.3.1 一單自由度線性系統(tǒng)受到隨機(jī)激勵力F(t)作用(圖6.11)。F(t)是均值為零、自譜為 的理想白噪聲平穩(wěn)過程。 求系統(tǒng)響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)、自譜、均方值和激勵與響應(yīng)的互相關(guān)

13、函數(shù)及互譜,圖6.11 受隨機(jī)激勵的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng),例題 Example,解： 已知系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為 （a,將白噪聲自相關(guān)函數(shù)代人式(6.3.7)計算響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)，得到 （b,將式(a)代入上式，積分得到 （c,由于自相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)，對于情形，可將上式中的代以，寫作 （d） 此相關(guān)函數(shù)為幅值按負(fù)指數(shù)衰減的振蕩曲線,計算響應(yīng)的均方值，得到 （e） 當(dāng)響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)不易求得時，也可利用式(6.3.15)計算響應(yīng)的均方值，其中的積分可應(yīng)用附錄中的積分公式計算,計算響應(yīng)的自譜，得到 （f,利用式(6.3.8)計算激勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)，得到 （g,利用式（6.3.17）計算激勵與響應(yīng)的

14、互譜，得到 （h,2多自由度線性系統(tǒng)對單個隨機(jī)激勵的響應(yīng) 以上對單自由度線性系統(tǒng)的討論過程也適用于受單個激勵 F(t)的多自由度線性系統(tǒng)(圖6.12)。設(shè)系統(tǒng)的自由度為n，其第 i個廣義坐標(biāo)的響應(yīng)統(tǒng)計特性與單自由度系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計特性表達(dá)式完全相同，只需相應(yīng)地用對激勵力F(t)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行計算。 實(shí)踐表明，在頻率域內(nèi)進(jìn)行響應(yīng)的統(tǒng)計特性分析要比時差域內(nèi)的分析簡單得多,圖6.12受單個隨機(jī)激勵的多自由度線性系統(tǒng),例6.3.2 圖6.13為一雙層隔振系統(tǒng)，m為隔振對象的質(zhì)量，為隔振器質(zhì)量，彈簧和阻尼皆為線性。設(shè)基礎(chǔ)位移激勵是均值為零自譜為的理想白噪聲。 求振動傳遞率和隔振對象位移響

15、應(yīng)的均方值,圖6.13雙層隔振系統(tǒng),解 ： 設(shè)絕對位移如圖示，列出系統(tǒng)的動力學(xué)方程 （a,定義振動的傳遞率的平方為隔振對象輸出量的自譜與輸入量 的自譜 之比，即 （b,對于線性系統(tǒng)，利用式(6.3.13)從上式導(dǎo)出 （c） 為計算各復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)，設(shè)輸入量簡諧變化各輸出量為 （d,將各簡諧函數(shù)代人方程組(a)，得到，的一組線性代數(shù)方程并解出 （e,其中 （f,且有 （g） 代人式(e)，(c)計算振動的傳遞率，得到 （h,隔振對象位移的均方值為 （i） 可利用附錄中的積分表計算,3 線性系統(tǒng)對多個隨機(jī)激勵的響應(yīng),3.1 脈沖晌應(yīng)矩陣和幅頻響應(yīng)矩陣 設(shè)n自由度的線性系統(tǒng)受到m個平穩(wěn)隨機(jī)激勵( ），

16、討論系統(tǒng)的響應(yīng)問題(圖6.14)。第i坐標(biāo)的響應(yīng) 對于沿第j坐標(biāo)的激勵的脈沖響應(yīng)函數(shù)和復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)分別為 和,圖6.14受多個隨機(jī)激勵的多自由度線性系統(tǒng),它們分別構(gòu)成脈沖響應(yīng)矩陣和復(fù)頻響應(yīng)矩陣 (6.4.1,由于有個坐標(biāo)不受激勵，因此可將原 階矩陣中相應(yīng)的列略去,成為 階矩陣， 和互相構(gòu)成傅里葉變換對，即有 (6.4.2) (6.4.3) 工程中常采用實(shí)驗方法測出或,3.2 響應(yīng)的統(tǒng)計特性 將和 排成列陣 (6.4.4) 分別表示系統(tǒng)激勵和響應(yīng)，則可進(jìn)行與上節(jié)類似的分析，只須將標(biāo)量以矩陣代替,1）相關(guān)矩陣 n個響應(yīng)的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)為 (6.4.5) 以為元素構(gòu)成的相關(guān)矩陣 (6.4.6,將

17、上式中的和以杜哈梅積分表示，用和作為積分變量，得到 (6.4.7) 進(jìn)行與之類似的推倒，得到響應(yīng)與激勵的相關(guān)矩陣之間的關(guān)系式 (6.4.8,2)功率譜密度矩陣 定義平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度矩陣為相關(guān)矩陣的傅里葉變換，而后者為前者的逆變換，則對式(6.4.8)兩邊作傅里葉變換后，進(jìn)行與式(6.3.11)類似的推導(dǎo) (6.4.9,得到響應(yīng)與激勵的功率譜密度矩陣之間的關(guān)系式 (6.4.10) 其中 為的共扼陣，即,3)激勵與響應(yīng)的互相關(guān)矩陣 n個響應(yīng)與m個激勵之間的互相關(guān)矩陣為 (6.4.11,進(jìn)行與式(6.3.8)類似的推導(dǎo)， (6.4.12) (6.4.13,4)激勵與響應(yīng)的互譜密度矩陣 定義激

18、勵與響應(yīng)的互譜密度矩陣為互相關(guān)矩陣的傅里葉變換。對式(6.4.13)兩邊作傅里葉變換后，進(jìn)行與式(6.3.16)類似的推導(dǎo) (6.4.14,得到互譜密度矩陣與激勵的功率譜密度矩陣和系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)矩陣 之間的關(guān)系式 (6.4.15,例6.4.1 以勻速v沿不平路面行駛的汽車簡化為剛體，質(zhì)量和對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為m和，質(zhì)心位置如圖6.15所示，彈簧和粘阻系數(shù) 均已知，設(shè)路面高度沿路程s的變化為高斯隨機(jī)場，汽車的前后輪著地高度和 的功率譜密度 為已知。 求響應(yīng)的功率譜密度矩陣,圖6.15 不平路面上的汽車,解 ： 以汽車的質(zhì)心垂直位移x和相對水平面的傾角為廣義坐標(biāo)，建立二自由度剛體微幅振動的動力學(xué)方程

19、 (a) (b,先計算系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，為此令 (c) 代入方程(a)和(b)，得到 和 的二元線性代數(shù)方程組，解出 (d,再令 (e) 代入方程(a)和(b)，得到 和 的二元線性代數(shù)方程組，解出,其中 (g,則得到復(fù)頻響應(yīng)矩陣 (h) 作為激勵的前后輪高度變化 和 之 間具有相關(guān)性， (i,其中 為常值時差，則相關(guān)函數(shù)為 (j) 功率譜密度為 (k,激勵過程 和 有相同的自譜 由路面隨機(jī)場導(dǎo)出。用同樣步驟還可導(dǎo)出 (l) (m,得到激勵的功率譜密度矩陣 (n) 將式(h)和(n)代大式(6.4.10)，得到響應(yīng) 的功率譜密度矩陣 (o,4 隨機(jī)響應(yīng)的模態(tài)分析法,1多自由度系統(tǒng)的隨機(jī)晌應(yīng) 除以

20、上直接應(yīng)用脈沖響應(yīng)函數(shù)和復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)求線性系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的方法以外，模態(tài)分析法是另一種求隨機(jī)響應(yīng)的有效方法。由于只有低階模態(tài)對響應(yīng)有顯著影響，因此模態(tài)分析法對于自由度多的系統(tǒng)可明顯減少計算工作量,討論受隨機(jī)激勵的n自由度線性系統(tǒng)，其動力學(xué)方程為 (6.5.1) 其中質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K可利用作以下變換 (6.5.2,其中 為系統(tǒng)的振型矩陣，E為n階單位陣， 為本征值矩陣, 為振型阻尼矩陣，亦假設(shè)為對角陣 (6.5.3) (6.5.4,將坐標(biāo)x變換為廣義坐標(biāo) (6.5.5) 則動力學(xué)方程解耦為 (6.5.6,包含n個獨(dú)立的微分方程 (6.5.7) 可對每個方程利用杜哈梅積分計算隨機(jī)響

21、應(yīng)， (6.5.8,寫作矩陣形式 (6.5.9) 其中 為正則坐標(biāo)下的脈沖響應(yīng)矩陣。由于各方程相互獨(dú)立，因此 為對角陣， (6.5.10,將式(6.5.9)變換至原坐標(biāo)x(t)，積分變量 改作 ，得到 (6.5.11) 利用上式導(dǎo)出響應(yīng)的相關(guān)矩陣 (6.5.12,對上式兩端進(jìn)行傅里葉變換，經(jīng)過推導(dǎo)，得到響應(yīng)的功率譜密度矩陣 (6.5.13) 其中 是關(guān)于正則坐標(biāo)的復(fù)頻響應(yīng)矩陣， 為其共軛陣 (6.5.14) 利用式(6.5.13)可從已知的激勵的功率譜矩 求出響應(yīng)的功率譜矩陣,對 作傅里葉逆變換，可得到響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)矩陣 (6.5.15) 當(dāng)振動系統(tǒng)的阻尼較小且各固有頻率差別較大時，可將式(6

22、.5.13)中 的交叉乘積項予以忽略使計算簡化。多自由度系統(tǒng)通常是低階模態(tài)起主要作用，因此計算時只取幾個低階模態(tài)，仍可有較好的精度,2連續(xù)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng) 以梁的彎曲振動為例說明連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)分析法。 設(shè)均質(zhì)等截面梁受到線性外阻尼作用，在動力學(xué)方程中增加與成比例的阻尼項，設(shè)c為粘阻系數(shù) （6.5.16,設(shè)其中分布力f(x,t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程。計算無阻尼情形的固有頻率和正則化的模態(tài)函數(shù) ，后者滿足正交性條件。假設(shè)模態(tài)函數(shù)關(guān)于阻尼也存在類似的正交性 （6.5.17,應(yīng)用模態(tài)分析法，將解y(x,t)寫作模態(tài)函數(shù)的線性組合 （6.5.18） 代大方程(6.5.16)，導(dǎo)出廣義坐標(biāo) 的一組獨(dú)立的動力學(xué)方程， （6.5.19,其中廣義力為 （6.5.20） 利用杜哈梅積分寫出方程（6.5.19）的解，并計算平穩(wěn)響應(yīng)過程與之間的互相關(guān)函數(shù)