小學(xué)奧數(shù)-幾何計(jì)數(shù)25道

1、標(biāo)準(zhǔn)文案 【題型】應(yīng)用題 【題目】 用3根等長的火柴可以擺成一個(gè)等邊三角形如圖19-1,用這樣的等邊三角形拼合成一個(gè)更大的等邊三角形如果這個(gè)大等邊三角形昀每邊由20根火柴組成，那么一共要用多少根火柴? 【答案】630 【解析】把大的等邊三角形分為20“層”分別計(jì)算火柴的根數(shù)： 最上一“層”只用了3根火柴； 從上向下數(shù)第二層用了326根火柴； 從上向下數(shù)第三層用了339根火柴； 從上向下數(shù)第20層用了32060根火柴 所以，總共要用火柴3(1+2+3+20)630根 【難度】 難度3 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 大全 【題目】 如圖19-2，用長短相同的火柴棍擺成31996的方格網(wǎng)，其中每個(gè)小方格的邊都

2、由一根火柴棍組成，那么一共需用多少根火柴棍? 【答案】 13975 【解析】 橫放需19964根，豎放需19973根，共需19964+1997313975根 【難度】 難度2 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 圖19-3是一個(gè)跳棋棋盤，請你計(jì)算出棋盤上共有多少個(gè)棋孔? 【答案】 121 【解析】 把棋盤分割成一個(gè)平行四邊形和四個(gè)小三角形，如下圖平行四邊形中棋孔數(shù)為9981，每個(gè)小三角形中有10個(gè)棋孔，所以棋孔共有81+104121個(gè) 或直接數(shù)出有121個(gè) 【難度】 難度3 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 如圖19-4，在桌面上，用6個(gè)邊長為l的正三角形可以拼成一個(gè)邊長為1的正六邊形如果在桌面上要拼出

3、一個(gè)邊長為6的正六邊形，那么，需要邊長為1的正三角形多少個(gè)？ 【答案】 216 【解析】 如圖AB6，組成AOB需要邊長為1的正三角形共： 1+3+5+7+9+1136個(gè)，而拼成邊長為6的正六邊形需要6個(gè)AOB，因此總共需要邊長為1的正三角形366216個(gè) 【難度】 難度4 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 如圖19-5，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長度依次為5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米求圖中長方形的個(gè)數(shù)，以及所有長方形面積的和 【答案】 100，10664 【解析】 確定好長方形的長和寬，長方形就唯一確定，而圖中只需確定好橫向線段，豎向線段

4、，即可 于是橫向線段有(1+2+3+4)10種選法，豎向線段也有(1+2+3+4)10種選法，則共有1010100個(gè)長方形 這些長方形的面積和為： (5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)1248610664(平方厘米) 【難度】 難度4 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 如圖19-6，18個(gè)邊長相等的正方形組成了一個(gè)36的方格表，其中包含“*”的長方形及正方形共有多少個(gè)? 【答案】 36 【解析】 正方形的個(gè)數(shù)相等每類的長、正方形按占有的行數(shù)分為三類，我們把所求的長、 其中只占有下面一行的有如下12種情況： 于是共有12336個(gè)正

5、、長方形包含“*” 【難度】 難度4 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 圖19-7是由若干個(gè)相同的小正方形組成的那么，其中共有各種大小的正方形多少個(gè)? 【答案】 130 【解析】 每個(gè)44正方形中有： 邊長為1的正方形44個(gè)；邊長為2的正方形33個(gè)；邊長為3的正方形22個(gè)，邊長為4的正方形11個(gè) 總共有44+33+22+1130個(gè)正方形 圖中正方的正方形因此，22個(gè)4它們重疊部分是的正方形，44個(gè)5現(xiàn)在 形的個(gè)數(shù)是30554130 【難度】 難度4 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 圖19-8中共有多少個(gè)三角形? 【答案】 22 【解析】 邊長為1的正三角形，有16個(gè)邊長為2的正三角形，尖向上的有3個(gè)

6、，尖向下的也有3個(gè)因此共有16+3+322個(gè) 【難度】 難度2 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 其中某些相鄰的小正三個(gè)大小相同的小正三角形拼成的四邊形，18是由19-9圖 角形可以拼成較大的正三角形那么，圖中包含“*”的各種大小的正三角形一共有多少個(gè)? 【答案】6 【解析】設(shè)小正三角形的邊長為1，分三類計(jì)算計(jì)數(shù)包含*的三角形中， 邊長為1的正三角形有1個(gè)；邊長為2的正三角形有4個(gè)，邊長為3的正三角形有1個(gè)； 因此，圖中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1+4+16個(gè) 【難度】 難度2 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 如圖19-10，AB，CD，EF，MN互相平行，則圖中梯形個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的差是

7、多少? 【答案】 20 【解析】 圖中共有三角形(1+2+3+4)440個(gè)，梯形(1+2+3+4)(1+2+4)60個(gè)，梯形比三角形多604020個(gè) 【難度】 難度3 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 在圖19-1l中，共有多少個(gè)不同的三角形? 【答案】85 【解析】下圖中共有35個(gè)三角形，兩個(gè)疊加成題中圖形時(shí)，又多出5+5215個(gè)三角形， 個(gè)三角形852+1535共計(jì) 【難度】 難度5 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 如圖19-12，一塊木板上有13枚釘子用橡皮筋套住其中的幾枚釘子，可以構(gòu)成三角形、正方形、梯形等等，如圖19-13那么，一共可以構(gòu)成多少個(gè)不同的正方形? 【答案】 11 【解析】 按

8、正方形的面積分類，設(shè)最小的正方形面積為1， 面積為1的正方形有5個(gè)，如圖a所示； 所示；b個(gè)，如圖4的正方形有2面積為 面積為4的正方形有1個(gè)，如圖c所示； 還有1個(gè)面積比4大的正方形，如圖d所示； 于是，一共可以構(gòu)成5+4+1+111個(gè)不同的正方形 【難度】 難度3 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 如圖19-14，用9枚釘子釘成水平和豎直間隔都為1厘米的正方陣用一根橡皮筋將3枚不共線的釘子連結(jié)起來就形成一個(gè)三角形在這樣得到的三角形中，面積等于1平方厘米的三角形共有多少個(gè)? 【答案】 32 【解析】 我們分三種情況來找面積為1平方厘米的三角形，這些三角形的底與高分別為1厘米或2厘米，利用正方形的

9、對稱性： ，BOH，GOA，EOG，COE，AOC所示有a等腰直角三角形，如下圖(1) DFB，F(xiàn)HD，HBF，共計(jì)8個(gè)，其中以AC，CF，F(xiàn)G，GA為底的各一個(gè)，以BF，DH為底的各兩個(gè) (2)直角三角形，如圖b所示有ACH，CHD，ACD，DHA，BEF，BCE，CEF，CFB，DEG，DGH，EGH，EHD，GAB，GBF，F(xiàn)AB，F(xiàn)GA，共計(jì)16個(gè)，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB為斜邊的各兩個(gè) (3)鈍角三角形，如圖c所示有ABE，AHE，ADE，AFE，CBG，CFG，CDG，CHG共計(jì)8個(gè)，其中以AE、CG為邊的各四個(gè) 于是，綜上所述，共有面積為1平方厘米的三

10、角形32個(gè) 【難度】 難度4 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 如圖19-15，木板上釘著12枚釘子，排成三行四列的長方陣那么用橡皮筋共可套出多少個(gè)不同的三角形? 【答案】 200 【解析】 我們先任意選取三個(gè)點(diǎn)，那么第1個(gè)點(diǎn)有12個(gè)位置可以選擇，第2個(gè)點(diǎn)有11個(gè)位置可以選擇，第3個(gè)點(diǎn)有10個(gè)位置可以選擇，但是每6種選法對應(yīng)的都是同一個(gè)圖形，如下圖，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA均是同一個(gè)圖形 所以有1211106220種選法，但是如果這3點(diǎn)在同一條直線上就無法構(gòu)成三角形，其中每行有4種情況，共34；每列有1種情況，共14；2個(gè)邊長為2的正方形的4條對角線，共4種情況 所以，可以套

11、出22034144200個(gè)不同的三角形 【難度】 難度2 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 如圖19-16，正方形ACEG的邊界上有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G這7個(gè)點(diǎn)，其中B，D，F(xiàn)分別在邊AC，CE，EG上以這7個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的不同四邊形的個(gè)數(shù)等于多少? 【答案】 12 【解析】 如果暫時(shí)不考慮點(diǎn)之間的排列位置關(guān)系，從7個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，則第一個(gè)點(diǎn)有7個(gè)位置可選，第二個(gè)點(diǎn)有6個(gè)位置可選，第三個(gè)點(diǎn)有5個(gè)位置可選，第四個(gè)點(diǎn)有4個(gè)位置可選，而不考慮先后，那么有432124種選法的實(shí)質(zhì)是一樣的，所有可能的組合數(shù)目應(yīng)該是(7654)2435我們只要從中減去不能構(gòu)成四邊形的情形 對圖19-16而言

12、，任取4個(gè)點(diǎn)而又不構(gòu)成四邊形的情形只能發(fā)生在所取的4個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)來自正方形ACEG的一條邊，而另一個(gè)則任意選取的時(shí)候，例如選定A、B、C3點(diǎn)，第4個(gè)點(diǎn)無論如何選取都不能構(gòu)成四邊形 正方形的4條邊中有3條都存在這樣的情況而每次這種情況發(fā)生時(shí)，第4個(gè)頂點(diǎn)的選取有4種可能 所取的頂點(diǎn)只有4個(gè)，因此不可能出現(xiàn)同時(shí)選擇了2條有3點(diǎn)共線的邊的情況 那么需要排除的情況有4312種 所以，滿足題意的四邊形個(gè)數(shù)有351223個(gè) 【難度】 難度4 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 數(shù)一數(shù)下列圖形中各有多少條線段. 【答案】 15 【解析】 要想使數(shù)出的每一個(gè)圖形中線段的總條數(shù)，不重復(fù)、不遺漏，就需要按照一定的順序、按

13、照一定的規(guī)律去觀察、去數(shù).這樣才不至于雜亂無章、毫無頭緒.我們可以按照兩種順序或兩種規(guī)律去數(shù). 第一種：按照線段的端點(diǎn)順序去數(shù)，如上圖（1）中，線段最左邊的端點(diǎn)是A，即以A為左端點(diǎn)的線段有AB、AC兩條以B為左端點(diǎn)的線段有BC一條，所以上圖（1）中共有線段213條.同樣按照從左至右的順序觀察圖（2）中，以A為左端點(diǎn)的線段有AB、AC、AD三條，以B為左端點(diǎn)的線段有BC、BD兩條，以C為左端點(diǎn)的線段有CD一條.所以上頁圖（2）中共有線段為3216條. 第二種：按照基本線段多少的順序去數(shù).所謂基本線段是指一條大線段中若有n個(gè)分點(diǎn)，則這條大線段就被這n個(gè)分點(diǎn)分成n1條小線段，這每條小線段稱為基本線段

14、.如上頁圖（2）中，線段AD上有兩個(gè)分點(diǎn)B、C，這時(shí)分點(diǎn)B、C把AD分成AB、BC、CD三條基本線段，那么線段AD總共有多少條線段？首先有三條基本線段，其次是包含有二條基本線段的是：AC、BD二條，然后是包含有三條基本線段的是AD這樣一條.所以線段AD上總共有線段3216條，又如上頁圖（3）中線段AE上有三個(gè)分點(diǎn)B、C、D，這樣分點(diǎn)B、C、D把線段AE分為AB、BC、CD、DE四條基本線段，那么線段AE上總共有多少條線段？按照基本線段多少的順序是：首先有4條基本線段，其次是包含有二條基本線段的有3條，然后是包含有三條基本線段的有2條，最后是包含有4條基本線段的有一條，所以線段AE上總共有線段是

15、432110條. 解：213（條）. 3216（條）. 432110（條）. 小結(jié)：上述三例說明：要想不重復(fù)、不遺漏地?cái)?shù)出所有線段，必須按照一定順序開始的連續(xù)幾個(gè)自然數(shù)的1線段的總條數(shù)等于從這個(gè)規(guī)律就是：有規(guī)律的去數(shù)， 和，這個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和的最大的加數(shù)是線段分點(diǎn)數(shù)加1或者是線段所有點(diǎn)數(shù)（包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)）減1.也就是基本線段的條數(shù).例如右圖中線段AF上所有點(diǎn)數(shù)（包括兩個(gè)端點(diǎn)A、F）共有6個(gè)，所以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是615，或者線段AF上的分點(diǎn)有4個(gè)（B、C、D、E）.所以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是415.也就是線段AF上基本線段（AB、BC、CD、DE、EF）

16、的條數(shù)是5.所以線段AF上總共有線段的條數(shù)是5432115（條）. 【難度】 難度3 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 數(shù)出下圖中總共有多少個(gè)角. 【答案】 10 【解析】 在AOB內(nèi)有三條角分線OC1、OC2、OC3，AOB被這三條角分線分成4個(gè)基本角，那么AOB內(nèi)總共有多少個(gè)角呢？首先有這4個(gè)基本角，其次是包含有2個(gè)基本角組成的角有3個(gè)（即AOC2、C1OC3、C2OB），然后是包含有3個(gè)基本角組成的角有2個(gè)（即AOC3、C1OB），最后是包含有4個(gè)基本角組成的角 內(nèi)總共有角：AOB），所以AOB個(gè)（即1有 432110（個(gè)）. 解：432110（個(gè)）. 小結(jié)：數(shù)角的方法可以采用例1數(shù)線段的方

17、法來數(shù)，就是角的總數(shù)等于從1開始的幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，這個(gè)和里面的最大的加數(shù)是角分線的條數(shù)加1，也就是基本角的個(gè)數(shù). 【難度】 難度3 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 數(shù)一數(shù)下圖中總共有多少個(gè)角？ 【答案】 55 【解析】 因?yàn)锳OB內(nèi)角分線OC1、OC2OC9共有9條，即9+1=10個(gè)基本角. 所以總共有角：10+9+8+4+3+2+1=55（個(gè)）. 【難度】 難度3 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 如下圖中，各個(gè)圖形內(nèi)各有多少個(gè)三角形？ 【答案】 （1）6（2）10 【解析】 可以采用類似 例1數(shù)線段的兩種方法來數(shù)，如圖（2）： 第一種方法：先數(shù)以AB為一條邊的三角形共有： ABD、ABE、A

18、BF、ABC四個(gè)三角形. 再數(shù)以AD為一條邊的三角形共有： ADE、ADF、ADC三個(gè)三角形. 以AE為一條邊的三角形共有： AEF、AEC二個(gè)三角形. 最后以AF為一條邊的三角形共有AFC一個(gè)三角形. 所以三角形的個(gè)數(shù)總共有4+3+2+1=10. 第二種方法：先數(shù)圖中小三角形共有： ABD、ADE、AEF、AFC四個(gè)三角形. 再數(shù)由兩個(gè)小三角形組合在一起的三角形共有： ABE、ADF、AEC三個(gè)三角形， 以三個(gè)小三角形組合在一起的三角形共有： ABF、ADC二個(gè)三角形， . 一個(gè)ABC最后數(shù)以四個(gè)小三角形組合在一起的只有 所以圖中三角形的個(gè)數(shù)總共有：4+3+2+1=10（個(gè)）. 解：3+2+

19、1=6（個(gè)） 4+3+2+1=10（個(gè)）. 答：圖（1）及圖（2）中各有三角形分別是6個(gè)和10個(gè). 小結(jié)：計(jì)算三角形的總數(shù)也等于從1開始的幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，其中最大的加數(shù)就是三角形一邊上的分點(diǎn)數(shù)加1，也就是三角形這邊上分成的基本線段的條數(shù). 【難度】 難度3 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 如下圖中，數(shù)一數(shù)共有多少條線段？共有多少個(gè)三角形？ 【答案】 60,30 【解析】 分析在數(shù)的過程中應(yīng)充分利用上幾例總結(jié)的規(guī)律，明確數(shù)什么？ 怎么數(shù)？這樣兩個(gè)問題.數(shù)：就是要數(shù)出圖中基本線段（基本三角形）的條數(shù)，算：就是以基本線段（基本三角形）條數(shù)為最大加數(shù)的從1開始的連續(xù)幾個(gè)自然. 數(shù)的和 要數(shù)多少條線段

20、：先看線段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2個(gè)分點(diǎn)，各分成3條基本線段，再看BC、MN、GH這3條線段上各有3個(gè)分點(diǎn)，各分成4條基本線段.所以圖中總共有線段是： （3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（條）. 要數(shù)有多少個(gè)三角形，先看在AGH中，在GH上有3個(gè)分點(diǎn)，分成基本小三角形有4個(gè).所以在AGH中共有三角形4+3+2+1=10（個(gè)）.在AMN與ABC中，三角形有同樣的個(gè)數(shù)，所以在ABC中三角形個(gè)數(shù)總共： （4+3+2+1）3=103=30（個(gè)）. 解：在ABC中共有線段是： （3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（條） 在ABC中共有三角形是： （

21、4+3+2+1）3=103=30（個(gè)）. 【難度】 難度3 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 如右圖中，共有多少個(gè)角？ 【答案】 13 【解析】 . 分析本題雖然與上幾例有區(qū)別，但仍可以采用上幾例所總結(jié)的規(guī)律去解決 與個(gè)基本角組成的有：1我們可視為4個(gè)基本角，由21、2、3、4個(gè)基本角組成的角有：由34個(gè)角.，共3與4、4與12、2與3、個(gè)角，共41與24與1；4、與1、2與3；2、34；3、. 個(gè)基本角組成的角只有一個(gè)由4. （個(gè)）43+1=13所以圖中總共有角是：. （個(gè)）43+1=13解：所以圖中共有角是：那么它上面角的總個(gè)基本角，小結(jié)：由本題可以推出一般情況：若周角中含有n+1. ） n（

22、n-1數(shù)是 【難度】4 難度 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 ：單位：厘米)在圖中(? 一共有幾個(gè)長方形 ? 所有這些長方形面積的和是多少 51281247 3 【答案】100,12384 【解析】 )長方形；一共有(個(gè)1002(4?3?1)?2(4?3?1)?所求的和是?1)?(5?128?12?8)?(128?1)?5?128?1(5?12)(12?8)(8?1)(5 ?3)?4?7(277)?(4?3)?4(23)(77)(44)(23742?(平方厘米)。 12384?14486 【難度】 難度3 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù) 【題目】 由20個(gè)邊長為1的小正方形拼成一個(gè)長方形中有一格有“”圖中含有“”54?的所有長方形(含正方形)共有 個(gè)，它們的面積總和是 。 【答案】 48,360 【解析】 含的一行內(nèi)所有可能的長方形有：(八種) ) (六種含的一列內(nèi)所有可能的長方形有： 個(gè)，面積總和為所以總共長方形有48?8?6 。3604)3?2?3?2(15)443322(1? 【難度】3 難度 【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)